Scarica Seconda parte studio di funzione e più Appunti in PDF di Matematica Generale solo su Docsity!
ŞI
- fE)^ i^ risultati^ saranno le^ coordinate^ deglieventuali puntidiintersezione
y=l una funzione (^) puo avere al (^) pic due asintoti orizzontali (^) diversi, wno a - oe who a too per trovare^ gli eventuali^ asintoticrizzontali^ diuna^ funzione^ sifa^ il^ limite^ a^1 oo^ e siguardase il^ limite^ esiste^ finito lim 770 o flle^ CEIR (^) =3Y=l éasintoto^ orizzontale 1 DO NE (^).^ 3=^ non ci sono asintotiorizzontali Lose il risultato (^) é 7 wo (^) potrebbero esserci (^) comunque degli asintoti (^) cobliqui Asintoto (^) obliquo - ysidice che la retta (^) y (^) - mytg a (^) un asintoto (^) obliquo difes (^) per 77400 se lim3400' fE1-mx-g 70 in differenza didue (^) coordinateunasol (^) grafico della funzioneel'altrasollasintoto se tende^ a o^ la^ loro^ differenza (^) significa che tende aDanche la^ lorodistanza una funziome^ puoavere al^ mnassimo^ due^ asintotiobliqui diversi,wno^ a^ tooe^ wno^ a-o^0 é (^) possibile anche che lastessa retta (^) sia (^) contemporaneamente asintoto (^) obliquo destro (^) e sinistro la (^) funzione e l'asintoto (^) possono intersecarsi (^). Per trovare le (^) eventuali intersezioni dero (^) risolvere il^ sistemna della funzione (^) con (^) l'equazione deli asintoto (^) obliquo Y=f(z) { y=mxtq sm-coefficiente^ angolare per trovare^ eventuali^ asintoti^ obliqui si^ devono^ svolgere i^ limiti^ m xs-lim^1 oo flx? se^ mERemto^ asemole^ QEIR) si^ ricade^ nel^ caso^ degli asintoti aatermine noto^ deliasintoto^ seqEB qlim xoo [f-mx) orizzontali y-mmq é^ l'asintoto^ obliquo caso di^ funzioni^ razionali c 'é asin Ne to to obliquo se esdlo se (^) il grado del (^) numeratore supera (^) di z (^) il grado deldenominatore^ le (^) inquesto caso (^) pud essere determinato anchre^ tramite^ la^ divisione^ tra^ polinomi) Hôpital m limitec. f171-700 (^) per x-100, (^) per il limite (^) dim (^) sipro tentare (^) Hôpital m ooffx-lim (^4700) =lim fL)=lim 7-0 fo (^) 'e applicándolo scopriamo che il cida il (^) coefficiente (^) angolare é (^) equivalente a cakdlare direttamente il limite (^) per ts (^100) della derivata (^) prima della funzione (funziona (^) solo se il limite him stoo^ f^ 'calesiste) Il (^) concetto di asint oto unin intorno (^) di 7 w (^0) puó essere (^) generalizza to (^) al caso in cui (^) ilgrafico della funzione , invese (^) di avere la distanza (^) da uha rettache Tende (^) a0, ha (^) la distanza (^) da wha curva che tende (^) aO-sparliamo dicurre asintotiche sinteruallo Massimo-asia (^) f:D-IR COMDEIR valore mun massimo si (^) dise che M e'il (^) massimo della funzione (^) finD SE (^) feEM FXED ed esiste Calmeno un (^) punto) XOED Tale che (^) f[xo)=M il (^) punto lo i (^) puntil di (^) coordinate (xo,M) (^) prende il (^) nome di (^) massimo assoloto Minsimo (^) - ssidice che mé ilminimo (^) dif in D (^) se (^) fElm KED ed esiste (^) Calmeno wh (^) ponto) XOED Tale che (^) feo )-m il (^) pur to (^) ( xom) prende il (^) nome di (^) punto di (^) minimo assoluto sperché fa^ riferimento^ all^ intero^ intervallo^ in^ cuié^ definita^ la^ funzione ma ci^ sono dei^ punti che si^ comportano da^ massimi^ e minimi in^ wha zoma (^) piú limitata^ della^ funzione d massimo reLatiO E minimO ReLATIVO Non (^) éobligatorio che una funzione abbia (^) dei puntidimassimo e (^) minimo (he assoluti né relativi) soppure puó averne^ un^ numero^ qualsiasi,^ anche^ infiniti Teorema di Weierstrass-ssia (^) f:la,b)-sR una funzione (^) continua, allora esistono sicuramente (^) massimo e minimo Linterwallo (^) chiuso (^) e limitato
- (^) ase le (^) ipotesicomonque del teorema (^) non sono (^) rispettate, massimo e minimo (^) potrebbero esistere
Dove (^) cercare (^) gli eventuali (^) puntidi massimo (^) e minimo-s (^) punti stazionari interni! (^) sunti all interno del dominio dove prima (^) la (^) derivatasiannolla (^) oépuntidarefi-so) I punti (^) singolari interni^ Ccioe^ punti dove^ la^ derivata^ prima non^ esiste^ ) estremi (^) degli intervalli (chiusi (^) e limitati)
- sl'annullamento della^ derivata^ primaé uma^ condizione^ non^ sufficiente^ e^ nemmeno^ necessaria^ per awere^ un^ punto dimassimo^ o^ diminimo
Derivata (^) prima e (^) puntistazionari(fi 1 o) (^) per trovare eventuali (^) puntidimassimo e minimo Lecco (^) perché studiamo il (^) segno della derivata (^) prima di (^) una funzione segnodella^ derivata^ prima ci^ permette dicapire^ in quali^ trait la^ funzione^ écrescentee^ in^ qualie decrescenteledipotertracciarecos^ igraficoqualitativodella funzione
. ) La,hSafla,b3-R^ continua^ in^ La,b) e derivabile^ layb ):^ osef^4130 FxElayb) (^) a 7 f é(strettamente) crescente^ in ose (^) fsKO KxEla, blesfé (strettamente)^ decrescente in (^) La,bJ wa f'(x) minore^ o^ maggiore dizero^ in^ tutto^ l'intervallo^ m Neipunti (^) in laderivatacoi prima (^) siannulla(f'-olto) - spunto di minimo (^) relativo (prima decresce fino (^) al punto (^) to epoicresce.)min pun to^ di^ massimo^ relativo^ (la^ funzione^ cresceprima^ di^ to^ e^ poi^ decresce^ )marn punto^ di^ flesso^ a^ tangente^ orizzontale^ ascendente^ (cresce^ sia^ prima che^ dopo^ to^ s^ ) punto diflesso^ atangente^ orizzontale^ discendente^ (^ fko^ decresce^ fino^ a^ to^ edecresce^ anche dopo (^) " i ) la funzione (^) compie infinite oscillazioni (^) i (^) prossimitá delpunto (si (^) traltadiuna situazione raral 7 f' cambia (^) segno infinite^ volte nel (^) punto to f'sc0) STUDIO DEL^ SEGNO^ DELL DERIVATA PRIMAT (^) %0 - QO +T4. ...^ Io-14+++e 7 v fF^ f^ f^ f^ Tt^ ++^ +^ + (^7) - ¤o --^ - -^ puntidorela^ derivata^ énegativa f '(*^ o)^ ' minimo relativo massimorelativo (^) flessoatangente ëöflessoatangente t^ +++7 punti dowe la^ derivata é (^) positiva orizzontale orizzontale ascendente (^) discendente Criterio (^) delle derivate (^) successive- (^) supponiamo che (^) flo)-o. Procedo allora (^) a calcolare le derivate successive finché (^) non he trovo (^) wha (^) che,calcolata in (^7) o, sia diversa da zero (^). Supponiamo che la^ prima derivata inthe non (^) siammolla sial mesima, owero che^ flxo eflo)-f"Go)..fn^0 740 ge (^) hé (^) pari e (^) flnkosz (^0) c (^) 'é'un minimo relativo senépari (^) eflncol orelativocewn massimo sené (^) dispar. eftbo ceun^ flesso^ atangente orizzontale ascendente sené (^) dispar eflncdlocéunflesso a (^) tangente orizzontale discendenta Funzione (^) convessa- con la^ concaritá (^) verso l^ 'alto^ 3 siafdlerivabile (^) (dve volte^ ) egraficoconvessa in un certo^ intervallo:^ le rette^ tangentistanno solto^ il la (^) derivata (^) prima é crescente n^ f"çx^1 o^ Funzione (^) concava (^) : con la concaritá (^) verso il basso (^3) siafderivabile (^) (ove voltele^ in^ concar^? un^ certo^ intervallo:^ le rette^ tangentistano^ il sopra (^) grafico . la (^) derirata (^) prima é decrescente f"e)o^ sle^ rette^ sono le^ uniche fumzioni^ che^ sono (^) contemporancamente sia concare che^ convesse
- é- importante che (^) sia derivabile due (^) volte (^) perché sapere che (^) fal éconvessa in (^) un certo intervallo (^) non (^) implica automaticamente che (^) f'a esista (^) inTutti i (^) punti dell ' intervallo (^) Ces.y=1i) a (^) maggior (^) raggione potrebbe A (^) f"(= =7 (^) si riduce tutto allo studio del (^) segno della derivata seconda Punti diflesso - ssi dice che (^) to éun (^) punto di flesso (^) perfal se (^) fal éconcava in (^) un intorno sinistro di (^) xo e convessa in un intormo destroo (^) viceversa orrero (^) un (^) punto dowe cambia (^) la concavità (^) della funzione se (^) to é wn (^) punto di flesso ed in to esiste^ la^ derivata^ seconda, allora^ f"(xo1= le tangenti nei^ punti^ di^ flesso^ (dette (^) Tangentinflessionali) (^) altraversaro il (^) grafico della funzione possono esserci^ dei^ punti^ di^ flesso^ a^ Jangente^ orizzontale un,^ obliqua^ o^ a^ tangente^ verticale percapire quale in^ aaso^ si^ Tratta^ di^ un^ cambio^ di^ concarity^ ' in wn^ punto dove^ non (^) esistefcz ) ci troviamo basta calolare I'nel (^) punto di^ flesso f'5o)=0 flesso^ atangente orizzontale I'(o) 4 o flesso^ a (^) tangente oboliqua
- non^ é^ detto che dove si annulla f"cal^ cisia un punto di^ flesso^ per forza^ (^ condizione non necessaria e^ mon^ sufficiente^ )
