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Calcolo Combinatorio e Probabilità: Teoria e Applicazioni - Prof. Giannitrapani, Schemi e mappe concettuali di Probabilità e Statistica

Università degli Studi di Siena (UNISI)Probabilità e Statistica
Prof. Antonio Giannitrapani

Formule di: probabilità, statistica descrittiva, variabili aleatorie, V.A. notevoli, leggi congiunte di V.A., teoremi limite, valore atteso

Tipologia: Schemi e mappe concettuali

2021/2022

In vendita dal 14/09/2024

laura-mascagni
laura-mascagni 🇮🇹

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Principio del calcolo combinatorio:
r fasi, ognuna con n1,n2,…,nr possibili risultati
numero totale di possibili risultati: n1n2…nr
Permutazioni
Disposizioni
Combinazioni
Partizioni
Semplici
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→ classica P(A)=
lim
/→1
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→ frequentista
[n(a): # volte in cui si è verificato a nelle n ripetizioni]
Assiomi:
- P(A)≥0
- P(
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)=1
- se A1∩A2=∅ → P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)
Conseguenze: Leggi di De Morgan:
- P(AC)=1-P(A) ・(A∩B)C=AC∪BC
- 0≤ P(A) ≤1 ・(A∪B)C=AC∩BC
- P(A1∪A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1∩A2)
Probabilità condizionata:
P(A|B)=
!(#∩%)
'(()
- se A∩B=∅ → P(A|B)=0
[N.B.→ P(AC|B)=1-P(A|B)] - se B⊂A → P(A|B)=1
Regola del prodotto:
P(E1E2…En)=P(E1)P(E2|E1)P(E3|E1E2)…P(En|E1...En-1)
Eventi indipendenti ⇔ P(A|B)=P(A) [N.B.→se A∩B=∅-o-B⊂A ,
Eventi indipendenti ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B) A e B NON indipendenti]
Teo probabilità totale: Formula di Bayes:
P(B)=∑
"
)
*+,
(B|Ai)P(Ai) P(A|B)=
'((|.)'(.)
'(()
↳se A1,…,An è una partizione di
/
[Ai∩Aj=∅ se i≠j , A1∪A2∪…∪An=
/
-→se si verifica uno e uno solo degli eventi]

Anteprima parziale del testo

Scarica Calcolo Combinatorio e Probabilità: Teoria e Applicazioni - Prof. Giannitrapani e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity!

Principio del calcolo combinatorio:

r fasi, ognuna con n 1

,n 2

,…,n r

possibili risultati

numero totale di possibili risultati: n 1

n 2

…n r

Permutazioni Disposizioni Combinazioni Partizioni

Semplici

n!=n(n-1)…

n!

( n − k

) !

!

"

!!

"!(!%")!

!

"

!

,"

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!!

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!

Con

ripetizioni

'!

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!

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"

! … '

!

"

!

" + $ − 1

$

'

P(A)=

#"#$% '#()*+(),%

#"#$% -)$$%.%,%

→ classica P(A)= lim

/→ 1

/( 3 )

/

→ frequentista

[n(a): # volte in cui si è verificato a nelle n ripetizioni]

Assiomi:

- P(A)≥ 0

- P(()=

  • se A 1

∩A

2

=∅ → P(A

1

∪A

2

)=P(A

1

)+P(A

2

Conseguenze: Leggi di De Morgan:

  • P(A

C

)=1-P(A) ・(A∩B)

C

=A

C

∪B

C

  • 0 ≤ P(A) ≤ 1 ・(A∪B)

C

=A

C

∩B

C

  • P(A 1

∪A 2

) = P(A 1

) + P(A 2

) - P(A 1

∩A 2

)

Probabilità condizionata:

P(A|B)=

!(#∩%)

'(()

  • se A∩B=∅ → P(A|B)=

[N.B.→ P(A

C

|B)= 1 - P(A|B)] - se B⊂A → P(A|B)=

Regola del prodotto:

P(E

1

E

2

…E

n

)=P(E

1

)P(E

2

|E

1

)P(E

3

|E

1

E

2

)…P(E

n

|E

1

...E

n- 1

Eventi indipendenti ⇔ P(A|B)=P(A) [N.B.→se A∩B=∅ o B⊂A ,

Eventi indipendenti ⇔ P(A∩B)=P(A)P(B) A e B NON indipendenti]

Teo probabilità totale: Formula di Bayes:

P(B)=

)

*+,

(B|A

i

)P(A

i

) P(A|B)=

'((|.)'(.)

'(()

↳se A

1

,…,A n

è una partizione di /

[A i

∩A j

=∅ se i≠j , A 1

∪A 2

∪…∪A n

=/ →se si verifica uno e uno solo degli eventi]

Mediana : -

=P(x≤-

)=P(x>-

)=0.5 [area(dx)=area(sx)=0.5]

Mediana campionaria: ordinare il campione, valore centrale (se n pari: media

dei 2 valori n/2 e (n/2)+1)

Percentili campionari : il k-esimo percentile è il valore ≥ del k% e ≤ del (100-k)% dei

dati nel campione

Quartili campionari : q

1

=25° percentile campionario, q 2

=50°, q 3

Media campionaria : - =

)

!

!

*+)

Stima: E[-]=m x

, Var(-)=

,

$

"

!

(|m x

  • (|<)➝semiampiezza)

Varianza campionaria : S

2

)

!%)

!

*+)

Stima: E[S

2

]=σ

.

Coefficiente di correlazione campionario :

∑ (.

%

&

%'!

%.)( 0

%

% 0 )

1

∑ (.

%

&

%'!

%.)

"

∑ ( 0

%

&

%'!

% 0 )

"

INTERVALLI DI CONFIDENZA

P(-- 3 ≤m x

≤-+ 3 )=1- 4 ➝ IC di livello 1 - 4

  • mx incognita e σ

.

nota:[ - - 6

(

"

,

$

√

!

(

"

,

$

√

!

] ( "

!

"

: P(Z>"

!

"

)=

!

"

) (ampiezza: 2 +

!

"

)

√

  • m x

e σ

.

incognite: [ - -,

!

"

,+-.

/

√+

!

"

,+-.

/

√+

] ( t !,n

: P(T n

>t !,n

)=# )

  • IC su una proporzione: [ - - 6

(

"

3 .()%.)

√

!

(

"

3 .()%.)

√

!

]

V.A. NOTEVOLI

DISCRETE BERNOULLI BINOMIALE GEOMETRICA

Schema

Successo/insuccesso

Evento S:”successo”, P(S)=p

P(S)=p , n prove ripetute

Hp: risultati indipendenti

P(S)=p , prove ripetute finché non

ottengo un successo

Notazione

X∼B(1,p) X∼B(n,p) X∼geom(p)

V.a.

X=

1 se S si verifica

0 non si verifica

→ X∈{0,1}

X∈{0,1,…,n} X∈{1,2,…}

PMF P

x

(0)=1-p , P

x

(1)=p

P

x

(k)=.

'

1

/p

k

(1-p)

n-k

P

x

(k)=p(1-p)

k- 1

Media

m

x

=p m

x

=np

m

x

!

"

Varianza

x

2

=p(1-p)!

x

2

=np(1-p)

x

2

!#"

"

$

CONTINUE UNIFORME ESPONENZIALE NORMALE (GAUSSIANA)

Notazione X∼U[a,b] X∼exp( 0 ) X∼N(m

x,

x

2

PDF

f

x

!

$#%

f

x

#&'

f

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!

()*+

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$

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%

)

$

$*

%

$

CDF

F

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'#%

$#%

F

x

#&'

P(X>a+b|X>b)=P(X>a)=E

"6)

↳mancanza di memoria

Tabulati: F x

(!)=F(!)

F(-!)=1-F(!)

P(a

LEGGI CONGIUNTE DI V.A.

F

xy

(!, 3 )=P(X≤!, Y≤ 3 ) , F

xy

!:

2

"#

$

"#

;

;

)I!’d 3 ’ [ 0 ≤F xy

(!,")≤ 1 ]

f xy

<

$

0

%#

($, 2 )

%#

($, 2 )

>

( 2 )

, P(a≤X≤b|Y= 3 )= ∫

!|:

(

)

(!| 3 )d! ("=cost)

x,y indipendenti⇔ f x|y

(!| 3 )=f x

(!) ⇔ f xy

(!, 3 )=f x

(!)f y

TPT: f y

:|!

'#

"#

( 3 |!)f x

(!)d! , FB: f x|y

>

#|%

( 2 |$)>

%

(!)

>

( 2 )

( Stima Bayesiana: f x|y

(!|")=

&

"|$

((|*)&

$

(!)

∫

&

"|$

%&

'&

((|*)&

$

(!)-!

)

V.a. congiuntamente gaussiane: [ w=ax+by+c ➝ w∼N(m

w

,σ

?

9

) : m w

=am x

+bm y

+c , σ

?

9

=a

2

σ

!

9

+ P

9

σ

:

9

+2abσ xy

f x

(!), f y

( 3 ), f x|y

(!| 3 ) normali ; x,y cong normali e scorrelate ⇒ indipendenti ]

V.a. congiuntamente uniformi: f

xy

(!, 3 )=Q

)@A)(B)

(!, 3 ) ∈ R

0 STUV.

[ D⊂S ⇒ P((x,y)∈D)=

)@A)(.)

)@A)(B)

]

TEOREMI LIMITE

- Disuguaglianza di Clebyslev (DC): P(|x-m

x

|≥Y) ≤

C

%

$

D

$

x 1

,x 2

,… successioni di v.a. i.i.d. con E[x i

]=m x

e Var(x i

)=σ

!

.

- Legge dei grandi numeri (LGN):

!

,

'⋯'!

→ m x

per n→∞

- Teo limite centrale (TLC): la distribuzione di

!

,

'⋯'!

"* 7

%

C

%

√

tende a una N(0,1) per n→∞

!

,

'⋯'!

⩪N(m x

C

%

$

⩪N(nm x

,nσ

!

9