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FORMULARIO GEOMETRIA
NOME FORMULA/CONCETTO
Spazi vettoriali R^n Proprietà Prodotto di un vettore per uno scalare scelti i vettori u, v di R^n, e due scalari h, k ∈R, si ha Dipendenza e indipendenza lineare Sottospazi vettoriali di R^n Esso stesso uno spazio vettoriale è un sottospazio vettoriale di R^n se e solo se: Generatori, basi, dimensione E’ un insieme di vettori espressi come combinazione lineare Base di un sottospazio W di R^n Dimensione come il numero dei vettori di una sua qualsiasi base Teorema W un sottospazio di R^n e sia B {w1,... ,wk} => vettore w di W 0 => Prodotto scalare in R^n operazione tra vettori di R^n Dati due vettori il loro prodotto scalare è il numero reale definito da: -linearmente dipendenti se esistono m scalari k1,... , km ∈R non tutti nulli linearmente indipendenti se: k1v1 · · · + km vm = ⇒1 = · · · =km = 0 è un sistema ordinato di generatori costituito da vettori linearmente indipendenti. espresso in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B.
Proprietà modulo (o norma), denotato II v II. Proprietà vettore nullo 0 ha modulo uguale a 0 vettore non nullo associato il suo versore, denotato vers v Due vettori u e v sono ortogonali se u * v = 0 se non nulli e ortogonali sono linearmente indipendenti Una base B di R^n è:
- ortonormale se è costituita da versori a due a due ortogonali Calcolo matriciale Matrice tabella di mn numeri reali disposti secondo m righe ed n colonne. in forma più compatta, A (aij ) Matrice nulla O elementi sono tutti uguali a 0. Matrice quadrata righe uguaglia il numero di colonne ed è uguale a n. Diagonale principale a11, a22, a33,... , ann
- ortogonale se è costituita da vettori a due a due ortogonali
trasposta, denotata AT Proprietà: Matrici quadrata simmetriche AT = A Matrici quadrata antisimmetriche AT = −A Prodotto tra due matrici Proprietà: Determinati Teorema: (Laplace) matrice tutta nulla 0 => detA = 0
Proprietà matrice triangolare superiore matrice a triangolari inferiori detA = detAt mediante lo scambio di due righe (o colonne), allo detB = −detA Se A ha due righe (o colonne) uguali, allora detA = 0 Se si moltiplica k per le righe e colonne, il determinante * k. det(kA) = kn · detA Se A ha due righe (o colonne) proporzionali, allora detA = 0 Se una riga è combinazione lineare di altre righe colonne, det = 0 det(AB) = detA · detB. (Teorema di Binet) Invertibilità e matrici inverse AB = BA= In complemento algebrico Teorema una matrice quadrata A sia invertibile è che sia detA ≠ 0
Cambiamento di base in Rn relazione tra le coordinate X e le coordinate X′ matrice CB′B le due matrici del cambiamento di base sono invertibili Sistemi lineari Un sistema lineare di m equazioni in n incognite i numeri reali b1,... , bm sono i termini noti del sistema. Matrice incompleta, denotata A Matrice completa, denotata A’ Sistema omogeneo r(A) ≤ r(A′)
Sistema non omogeneo Sistema compatibile ammette soluzioni Sistema Incompatibile non ammette soluzioni Sistemi normali n equazioni in n incognite sistema lineare di m equazioni in n incognite soddisfi la condizione => r(A) = m Sistema quadrato righe coincide con il numero di colonne Teorema: (Cramer) m equazioni in n incognite M ≠ n r(A) = m < n Infatti non può essere m > n Sistemi non normali
r(A) ≥ r(A’)
Metodo di eliminazione di Gauss Operatori lineari operatore lineare sullo spazio vettoriale Rn. un’applicazione f: Rn→ Rn Proprietà Il nucleo di f l’insieme dei vettori del dominio immagine tramite f è il vettore nullo di Rn Sia f un operatore lineare su Rn Imf è un sottospazio vettoriale di Rn w1,w2 ∈Imf, e dunque f(v1) = w1 e f(v2) = w2, fissata una base B {v1, v2,... , vn} di Rn e (k1, k2,... , kn) le coordinate di v rispetto alla base B Matrice associata operatore lineare su Rn dipende strettamente dalla base di Rn Fissata una base B di Rn Af B ci permette di conoscere l’operatore f se un vettore v ha coordinate
rispetto alla base B del vettore immagine f(v) prodotto righe per colonne Teorema Due matrici A,B ∈M(n × n) si dicono simili t.c. B = C^−1 AC Teorema Nullità Rango. Automorfismi la base canonica B di Rn Af B la matrice associata a f i vettori che costituiscono il nucleo di f una generica n-pla di Rn è la colonna tutta nulla un sistema omogeneo in n incognite un sottospazio vettoriale di Rn, dimensione è data da n−r dimensione è data da n−r é il rango della matrice Af B. Teorema: (Nullità+ Rango) f: Rn→ Rn dim ker f + dim Imf = n dim ker f = n − r, con r = r(Af B) dim Im f = r(Af B) Autovalori e autovettori Se ∃ matrice invertibile C ∈M(n × n)
La matrice associata a f rispetto a tale base la base B′ diagonalizza f Teorema Sia f: Rn→ Rn un operatore lineare CN affinché f sia diagonalizzabile è che:
- tutte le soluzioni dell’equazione caratteristica siano reali Operatori lineari simmetrici su Rn il prodotto scalare di due vettori associa a due vettori di Rn un numero reale B {e1,... , en} è una base ortonormale costituita d vettori di modulo uguale a 1 f: Rn→ Rn si dice simmetrico se Teorema
- per ogni autovalore λ di f, si abbia m.a.( λ ) = m.g.( λ )
Una matrice A si dice ortogonale se AT = A^− Segue Se A è ortogonale ogni matrice quadrata DetA = detAT proprietà delle matrici ortogonali il determinante di una matrice ortogonale vale 1 oppure − B e B′ sono due basi ortonormali la matrice CBB′ è ortogonale matrice diagonale due matrici Af B e Af B′ sono congruenti A e B sono congruenti se esiste una matrice invertibile C se B e B′ sono due basi ortonormali Geometria analitica del piano l’origine O ha coordinate (0, 0) un punto situato sull’asse x ha ordinata nulla un punto sull’asse y ha ascissa nulla I quadrante x, y > 0 II quadrante x < 0, y > 0 III quadrante x, y < 0 IV quadrante x > 0, y < 0 Vettori liberi Denoteremo (AB→) un segmento orientato nel piano (BA→) il segmento orientato, ma opposto verso di percorrenza
i versori i→ e j→ tra loro perpendicolari sono linearmente indipendenti un qualsiasi vettore v→ ∈ V2 possono essere combinazione lineare v→ ∈V il rappresentante OP→ applicato nell’origine O i versori i→ e j→ Costituiscono un sistema di generatori per V essendo linearmente indipendenti formano una base tra loro perpendicolari e avendo modulo unitario una base ortonormale di V2 V2 ha dimensione 2 due qualsiasi vettori non paralleli costituiscono una base un vettore v→ ∈ V2 rispetto alla base B = {i→,j→ } la coppia (vx, vy) la combinazione lineare v→ = vxi→ + vyj→ proprietà due basi B e B′ di V2 CBB′ del cambiamento di base due basi sono ortonormali
le coordinate rispetto a B = {i→, j→} P1P2→ ha coordinate (x2, y2) − (x1, y1) = (x2 − x1, y2 − y1) due vettori u→ ,v→ ∈ V2 sono paralleli se e solo se sono linearmente dipendenti note le coordinate (ux, uy) di u→ le coordinate (vx, vy) di v→ Prodotto scalare u→, v→ ∈V2 due vettori liberi Il prodotto scalare u→ · v→ u→ e v→ sono entrambi non nulli quattro fondamentali proprietà:
Coseni direttori proprietà di perpendicolarità Area di un triangolo Distanza punto-retta distanza punto-retta Circonferenza C(x0, y0) il centro e sia r > 0 equazione cartesiana x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 ellisse
i fuochi F(c, 0) ed F′(−c, 0) iperbole Le direttrici dell’iperbole
