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Algebra lineare
Strumenti
1.1 L'insieme ℝⁿ~ 1.1.1 struttura lineare di ℝⁿ
𝑥 1
+𝑦 1
⋮
𝑥 𝑛
+𝑦 𝑛
) Somma
𝜆𝑥 1
⋮
𝜆𝑥 𝑛
) Moltiplicazione per scalare
1
2
𝑛
1
1
2
2
𝑛
𝑛
Combinazione lineare
1
1
𝑘
𝑘
1
2
𝑘
= 0 Linearmente indipendente
1
1
𝑘
𝑘
1
2
2
2
𝑘
2
> 0 Linearmente dipendente → uno multiplo dell'altro, uno comb. Lineare altro
1
𝑛
1
𝑛
⟧ Base di ℝⁿ
1
2
𝑛
} Base di canonica
1.1.2 struttura metrica su ℝⁿ
1
1
𝑛
𝑛
𝑖
𝑖
𝑛
𝑖= 1
Prodotto scalare standard (definito positivo)
< 𝑋, 𝑋 > Norma
⇔ 𝑋, 𝑌 𝑙𝑖𝑛. 𝑑𝑖𝑝 Disuguaglianza di Cauchy - Schwarz
cos 𝜗 =
<𝑋,𝑌>
‖𝑋‖‖𝑌‖
Angolo formato da X e Y vettori
< 𝑋, 𝑌 >= 0 Ortogonali
< 𝑋, 𝑌 >= 0 + ‖𝑋‖ = ‖𝑌‖ = 1 Orto normali X,Y≠0 lin. ind.
𝑑(𝑋, 𝑌) = ‖𝑋 − 𝑌‖ Distanza
𝑖
𝑗
𝑖𝑗
Base ortonormale 𝛿
𝑖𝑗
𝑖, 𝑗 ∈ ℕ Simbolo di Kronecker
<𝑋,𝑌>
‖𝑌‖
𝑌
‖𝑌‖
Proiezione ortogonale di X su Y
𝑥 1
‖ 𝑥 1
‖
1
2
𝑥̅ 2
‖ 𝑥̅ 2
‖
2
2
<𝑥 2
,𝑥′ 1
>
‖ 𝑥 1
‖
2
1
Procedimento di ortonormalizzazione di Gram - Schidt
1.2 L’insieme M n,m(ℝ) ~ 1.2.1 - 5 struttura lineare su Mn,m (ℝ) – trasposizione – traccia – prodotto righe per colonne – Parentesi di Lie
𝑖𝑗
𝑖𝑗
) Somma
𝑖𝑗
) Moltiplicazione per scalare
Combinazione lineare, linearmente indipendenti, linearmente dipendenti, base di M n,m(ℝ)
𝐴 ∈ M
n,m
𝑡
) ∈ M
m,n
Trasposizione
𝑡
𝑡
) Simmetria | Antisimmetria 𝐴 =
1
2
𝑡
1
2
𝑡
11
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑛
𝑖= 1
Traccia
𝑖𝑘
𝑖 1
1 𝑘
𝑖 2
2 𝑘
𝑖𝑚
𝑚𝑘
𝑖𝑗
𝑗𝑘
𝑚
𝑗= 1
Prodotto righe per colonne
𝑘
= 𝐴 … 𝐴 k volte Potenza k - esima Nilpotente 𝐴
𝑘
𝑘− 1
[
]
= 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴 Parentesi di Lie Identità di Jacobi [
[
]
, 𝐶] + [
[
]
, 𝐴] + [
[
]
, 𝐵] = 0
1.2.6- 7 struttura metrica su M n,m(ℝ) – inversa
𝑡
)𝐵) Prodotto scalare standard
− 1
− 1
− 1
)𝐴 = 𝐼 Inversa (A invertibile) 𝐴
− 1
𝑎 22
𝑎 11
𝑎 22
−𝑎 12
𝑎 21
−𝑎 12
𝑎 11
𝑎 22
−𝑎 12
𝑎 21
−𝑎 21
𝑎 11
𝑎 22
−𝑎 12
𝑎 21
𝑎 11
𝑎 11
𝑎 22
−𝑎 12
𝑎 21
− 1
𝐵𝐶 A, B ∈ ℝ(n) simili (C invertibile) ⇒ 𝑡𝑟𝐴 = 𝑡𝑟𝐵
𝑡
)𝐵𝐶 A, B ∈ ℝ(n) congruenti (C invertibile)
1.3 L’insieme ℂ dei numeri complessi
) Numeri complessi (
− 1
𝑎
𝑎
2
+𝑏
2
−𝑏
𝑎
2
+𝑏
2
numeri complessi reali
numeri complessi immaginari puri
𝑎 + 𝑖𝑏 Rappresentazione algebrica (𝑎 + 𝑖𝑏) + (𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎 + 𝑐 + 𝑖(𝑏 + 𝑑) (𝑎 + 𝑖𝑏) ∙ (𝑐 + 𝑖𝑑) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
𝑧 ̅= 𝑎 − 𝑖𝑏 Coniugato
𝑧+𝑧̅
𝑧
𝑧−𝑧̅
𝑧𝑖
Parte reale / Parte immaginaria
) Rappresentazione geometrica (piano di Argand - Gauss)
cos 𝜗 + 𝑖 sin 𝜗
2
2
(
𝑎
√𝑎
2
+𝑏
2
𝑏
√𝑎
2
+𝑏
2
1
2
cos(𝜗 1
2
) + 𝑖 sin(𝜗 1
2
𝑛
𝑛
( cos 𝑛𝜗 + 𝑖 sin 𝑛𝜗
Formula di De Moivre
𝑖𝜗
Rappresentazione esponenziale (𝜗 = 𝜋 ⇒ 𝑒
𝑖𝜋
1.4 Gli insiemi ℂ
n
e M n,m
𝑧
1
̅̅̅
⋮
𝑧 𝑛
̅̅̅
) ∈ ℂ Coniugato di Z
11
1 𝑚
𝑛 1
𝑛𝑚
) ∈ M
n,m
(ℂ) Coniugato di
∗
∗
hermitiana 𝐴 = −
∗
antihermitiana
1.4.1 struttura metrica su ℂ
n
e Mn,m(ℂ)
𝑡
1
1
𝑛
𝑛
Prodotto hermi tiano strandard su ℂ
n
(𝑍, 𝑍) Norma
𝑡
) Prodotto hermitiano standard su M n,m
1.5 Vettori liberi ~ 1.5.1 struttura lineare su V
Somma Moltiplicazione per uno scalare
1.5. 2 struttura metrica su V
< 𝑢, 𝑣 >= ‖𝑢‖‖𝑣‖ cos 𝜗 Prodotto scalare
< 𝑢, 𝑣 >= 0 Ortogonali se + ‖𝑢‖ = ‖𝑣‖ = 1 ⇒ortonormali
1.5. 3 prodotto vettoriale
𝑢 ∧ 𝑣 ‖𝑢 ∧ 𝑣‖ = ‖𝑢‖‖𝑣‖ sin 𝜗 Prodo tto vettoriale (u,v lin. ind.)
dir. ortogonale piano u e v 𝐵 = {𝑖, 𝑗, 𝑖 ∧ 𝑗} base ortonormale e positivamente orientata
verso terne positive
1.5. 3 prodotto misto
< 𝑢, 𝑣 ∧ 𝑤 > Prodotto misto
Spazi e sottospazi vettoriali
2.1 Spazi vettoriali
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉 Spazio vettoriale su ℝ reale
𝑢 ∈ 𝑉 𝜆 ∈ 𝕂 𝜆𝑢 ∈ 𝑉 su ℂ complesso
Se v sv su K (𝑑𝑖𝑚 𝕂
𝑉 < +∞)(𝑉 ≠ 0 ) ⇒ ∃𝐵 𝑑𝑖 𝑉 Teorema della base lin. ind.
𝕂
𝑉 Dimensione su K di V (n degli elementi di una base di V)
𝐾
𝐾
𝐾
𝑛
- 2 Sottos pazi vettoriali
1
1
2
2
∈ 𝑊 W ssv di V 0 ∈ 𝑊
Applicazioni lineari
3.1 Definizioni preliminari
1
1
2
2
1
1
2
2
) Applicazione lineare di V in W (L(V,W))
𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉) Endomorfi smo
3.2 Nucleo e Immagine
Nucleo di f
Immagi ne di f
1
2
1
2
Iniettiva ⇔ 𝑘𝑒𝑟𝑓 =
𝐾
𝐾
𝐾
𝐼𝑚𝑓 Teorema della nullità e del rango
𝐾
𝐾
1
𝑟
′
1
𝑟
𝑟+ 1
𝑛
𝑟+ 1
𝑛
𝑟+ 1
𝑟+ 1
𝑛
𝑛
𝑟+ 1
𝑟+ 1
𝑛
𝑛
1
1
𝑟
𝑟
′
base di V ve ttori lin. ind, coefficienti nulli
𝑟+ 1
𝑛
sistema di generazione di 𝐼𝑚𝑓 𝑠𝑖𝑎 𝑣 ∈ 𝑉|𝑓
1
1
𝑛
𝑛
𝑟+ 1
𝑟+ 1
𝑛
𝑛
𝐵
∗
Isomorfismo di V in V*
V** Spazio biduale
∗∗
∗∗
Isomorfismo canonico
4.6.2 applicazione trasposta
∗
∗
∗
∗
∗
∗
Applicazione trasposta
𝐷
∗
𝐵
∗
∗
𝐵
𝐷
𝑡
) B base di V e D base di W
𝐾
∗
𝐾
𝐾
𝐴
𝐾
( 𝐴
𝑡
)
4.6. 3 isomorfismi musicali di ( ℝ
𝑛
𝑛
𝑛
∗
𝑝𝑒𝑟 𝑜𝑔𝑛𝑖 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ Bemolle
− 1
𝑛
∗
𝑛
Diesis
Determinante e rango
5.1 Determinante
11
12
21
22
) det𝐴 = 𝑎
11
22
12
21
A invertibile ⟺ det𝐴 ≠ 0 𝐴
− 1
𝑎
22
𝑑𝑒𝑡𝐴
−𝑎
12
𝑑𝑒𝑡𝐴
−𝑎
21
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑎
11
𝑑𝑒𝑡𝐴
[𝑖𝑗]
∈ 𝕂(𝑛 − 1 ) Complemento algebrico
det: 𝕂(𝑛) → 𝕂 Determinante
det𝐴 = 𝜆det(𝐴
( 1 )
(𝑙− 1 )
, X, 𝐴
(𝑙+ 1 )
(𝑛)
) + 𝜇det(𝐴
( 1 )
(𝑙− 1 )
, Y, 𝐴
(𝑙+ 1 )
(𝑛)
(𝑙)
= 𝜆X + 𝜇Y linearità sulle
colonne o multilinearità
det 𝐴 = 0 ⟸ 𝐴 ( 𝑙
)
(𝑙+ 1 )
Alternanza
det 𝐼 = 1 Unitarietà
det(𝐴 ( 1
)
( 𝑙
)
( 𝑙+ 1
)
( 𝑛
)
) = − det(𝐴 ( 1
)
( 𝑙+ 1
)
( 𝑙
)
( 𝑛
)
det 𝐴 = 0 ⟸ 𝐴 ha due colonne uguali
det non cambia se si aggiunge ad una colonna una comb. lin. di altre colonne
𝑖+𝑗
𝑖𝑗
det 𝐴 [𝑖𝑗]
𝑛
𝑗= 1
Sviluppo di Laplace del determinante di A secondo la i - esima riga
o rispetto a colonne
𝐴 ∈ 𝕂(𝑛) ⟹ det 𝐴 = det( 𝐴
𝑡
det 𝐴 = 𝑎 11
22
33
12
23
31
13
21
32
12
21
33
11
23
32
13
22
31
#𝜎
𝜎∈𝑆 3
1 𝜎( 1 )
2 𝜎( 2 )
3 𝜎( 3 )
Regola di Sarrus
σ permutazione {1,2,3}
det(𝐴𝐵) = (det 𝐴)(det 𝐵) Teorema di Binet
det(𝐴
− 1
) = (det 𝐴)
− 1
𝐴 𝑒 𝐵 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑖 ⟹ det 𝐴 = det 𝐵
det 𝑓 = det 𝑀 𝐵
𝐵
(𝑓) 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉) Determinante di f
1
2
𝑛
𝑛
𝑙𝑖𝑛. 𝑖𝑛𝑑. ⟺ det(𝑋
1
2
𝑛
5.2 Applicazioni
det 𝐴 ≠ 0 ⟹ 𝐴𝑋 = 𝑊! 𝑥 𝑖
det(𝐴 ( 1 )
,𝐴 ( 2 )
,…,𝐴 (𝑖− 1 )
,𝑊,𝐴 (𝑖+ 1 )
,…,𝐴 (𝑛)
)
det 𝐴
Formula di Cramer
− 1
⟺ det 𝐴 ≠ 0 𝐴
− 1
𝑖𝑗
𝑖𝑗
(− 1 )
𝑖+𝑗
det 𝐴 [𝑗𝑖]
det 𝐴
5.3 Rango
𝑐
𝕂
( 1 )
( 2 )
(𝑚)
𝕂
𝐴
Caratteristica per colonne
𝑟
𝕂
( 1 )
( 2 )
(𝑛)
𝕂
( 𝐴
𝑡
)
Caratteristica per righe
𝑐
𝑟
(𝐴) = 𝑐𝑎𝑟(𝐴) Caratteristica di A
𝑀 ∈ 𝕂(𝑛) A – n-r righe e m - r colonne Minore di A di ordine r 𝑟 ≤ min{𝑛, 𝑚}
𝜌(𝐴) = max 𝑟 ∃ 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝐴 𝑑𝑒𝑡 ≠ 0 Rango
det 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝐴 𝑑𝑖 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑒 𝑟 ≠ 0 (𝑙𝑖𝑛. 𝑖𝑛𝑑. 𝑠𝑒 𝑛𝑜 𝑎𝑠𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜)
𝜌(𝐴) ≤ min
𝑡
Sommando a una riga (colonna) una comb. lin. di altre, scambiando righe (colonne) non cambia rango
𝜌(𝐴𝐵) ≤ min{𝜌(𝐴), 𝜌(𝐵)}
Moltiplicare a dx o a sx per matrici invertibili non cambia rango
𝑛,𝑚
det 𝑃 ≠ 0
A e B simili ⟹ 𝜌(𝐴) = 𝜌(𝐵)
𝕂
𝐵
𝐷
(𝑓))) Rango di 𝑓 ∈ 𝐿(𝑉, 𝑊) B base di V e D base di W
Sistemi lineari
6.1 Teorema di Rouchè - Capelli
𝐴𝑋 = 𝐵 Sistema lineare di n n=m sistema lineare quadrato
𝑖𝑗
𝑛,𝑚
Matrice dei coefficienti, incompleta
∗
𝑛,𝑚+ 1
(𝕂) Matrice completa
∗
) Teorema di Rouchè - Capelli
1
( 1 )
2
( 2 )
𝑚
(𝑚)
∗
B=0 sistema lineare omogeneo 𝑆 0
𝑚
𝐴
𝕂
0
ℝ
𝐴
ℝ
𝐴
𝐵 ≠ 0 non omogeneo
𝑛,𝑚
𝑛
𝑚
0
0
𝐴𝑋 = 𝐵 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 ⟺ det (𝐴) ≠ 0 𝑋 = 𝐴
− 1
6.2 Applicazioni
∗
𝑘(𝑚−𝜌(𝐴))
(𝑖)
(𝑖)
(𝑖)
Autovalori e autovettori
7.1 Autovalori e autovettori di matrici
𝐴𝑋 = 𝜆𝑋 X autovettore per A relativo all’autovalore λ
𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐴) = {𝜆 ∈ 𝕂|𝜆 è 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝐴} Spettro
𝜆
𝑛
|𝐴𝑋 = 𝜆𝑋} Auto spazio di A relativo all’autovalore λ
𝕂
𝜆
𝕂
𝜆
(𝐴) molteplicità geometrica
𝜆
(𝜆𝐼−𝐴)
𝐴
(𝜆) = det (𝜆𝐼 − 𝐴) Polinomio caratteristico
𝐴
0
𝜇(𝜆
0
)
0
0
) Molteplicità algebrica di 𝜆
0
𝐴
(𝜆) 𝑎𝑚𝑚𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖 (𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐴) ≠ 0 ) Teorema fondamentale dell’Algebra (D’Alambert)
𝐴
𝐵
(𝜆) e stessi autovalori
0
0
0
7.2 Diagonalizzabilità di matrici
− 1
𝐴
𝛬
1
𝑛
1
2
𝑛
1
2
𝑛
1
2
𝑘
} Criterio di diagonalizzabilità
𝑛
𝑛
𝜆
1
𝜆
2
𝜆
𝑘
𝐴
1
𝜇(𝜆 1
)
2
𝜇(𝜆 2
)
𝑛
𝜇(𝜆 𝑛
)
𝑖
𝑖
7.3 Autovalori e autovettori di endomorfismo
𝑓(𝑣) = 𝜆𝑣 v autovettore per A relativo all’autovalore λ
𝑆𝑝𝑒𝑐(𝑓) Spettro di f = insieme autovalori di f
𝜆
𝑣
− 𝑓) Autospazio di f relativo a λ
1
2
𝑘
1
2
𝑘
7.4 Diagonalizzabilità di endomorfismo
1
2
𝑘
𝜆 1
𝜆 2
𝜆 𝑘
𝑓
1
𝜇
( 𝜆 1
)
2
𝜇
( 𝜆 2
)
𝑛
𝜇
( 𝜆 𝑛
)
𝑖
𝑖
Spazi vettoriali metrici
8.1 Forme bilineari
𝑔: 𝑉 × 𝑉 → 𝕂 Forma bilineare
= {𝐴 ∈ 𝕂(𝑛)|𝑑𝑒𝑡𝐴 ≠ 0 } Gruppo lineare
𝑡
)𝐴 = 𝐼} Gruppo ortogonale di ordin e n (𝕂 = ℝ)
Se 𝐴 ∈ 𝑂(𝑛, ℝ) A matrice orto gonale (𝐴
− 1
𝑡
9.4 Operatore trasposto
(𝑡)
(𝑡)
) ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉) operatore trasposto di f rispetto a g
1
2
(𝑡)
1
(𝑡)
2
(𝑡)
(𝑡)
(𝑡)
1
2
(𝑡)
2
(𝑡)
1
(𝑡)
− 1
(𝑡)
(𝑡)
− 1
( 𝑡
)
(𝑡)
(𝑡)
= 𝑓 Operatore simmetrico, auto - duale
(𝑡)
) = −𝑓 Operatore antisimmetrico, antiauto - duale
Spazi hermitiani
10.1 Prodotti hermitiani
ℎ: 𝑉 × 𝑉 → ℂ Forma hermitiana
- 𝛽ℎ(𝑤, 𝑢) ℂ-linearità sul primo fattore
ℎ(𝑣, 𝑢) ℂ-linearità sul secondo fattore
Prodotto hermitiano
𝑡 ̅̅̅̅̅
Matrice hermitiana
cos
𝑛(𝑣,𝑤)
‖𝑣‖‖𝑤‖
𝜋
2
Angoli h-ortogonali
ℎ(𝑣, 𝑣) ≥ 0 ∀𝑣 ∈ 𝑉 (ℎ(𝑣, 𝑣) = 0 ⟺ 𝑣 = 0 ) Definito positivo
10.2 Rappresentazione matriciale di prodotti hermitiani
𝑡
𝑛
Definita positiva
𝑡
𝑑𝑒𝑓. 𝑝𝑜𝑠. ⟺ 𝑡𝑢𝑡𝑡𝑖 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑖 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑖 𝑑𝑒𝑡 > 0 Criterio di Hurzwitz
10.3 Prodotti hermitiani definiti positivi
(𝑉, ℎ) 𝑉 𝑠𝑣 𝑠𝑢 ℂ 𝑒 ℎ 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑜𝑡𝑡𝑜 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑓 𝑝𝑜𝑠 Spazio hermitiano
= √ℎ(𝑣, 𝑣) Norma
𝑣
‖𝑣‖
Versore normalizzato di v
= √𝑛(𝑣 − 𝑤)(𝑣 − 𝑤) Distanza
⊥
⊥
ℂ
⊥
ℂ
10.4 Operatore aggiunto
∗
∗
∗
) operatore aggiunto di f rispetto a h
1
2
∗
1
∗
2
∗
∗
∗
∗
∗
− 1
∗
∗
− 1
∗
) = 𝑓 Operatore autoaggiunto/hermitiano
∗
) = −𝑓 Operatore antiautoaggiunto/antihermitiano
∗
∗
) Operatore normale
Teoria spettrale
11.1 Proprietà spettrali degli operatori normali
∗
𝜆
∗
∗
𝜆
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
11.2 Teorema spettrale complesso
𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛𝑜 (dim 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎), 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑
1
𝑣 1
‖ 𝑣 1
‖
′
1
1
𝑣
1
‖𝑣 1
‖
1
⊥
1
⊥
ℂ
⊥
⊥
|𝑊
⊥ )𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜 ℎ𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑎𝑛𝑜
|𝑊
⊥
⊥
⊥
1
∗
1
1
1
1
𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒
∗
1
1
1
1
1
usando l’ipotesi di induzione ➔ ∃ base h - ortonormale ℬ
1
2
𝑛
ℬ
ℬ
𝑖
𝑗
𝑖𝑗
ℬ
ℬ
ℬ
∗
𝑡
h-ortnormale
1
𝑛
𝑡
1
𝑛
𝑡
𝑡
𝐴 ∈ ℂ(𝑛) Versione matriciale
𝑡 ̅̅̅̅
𝑡 ̅̅̅̅
𝑛
𝑡
= 𝐼} gruppo unitario
𝑛
𝐴
ℬ
ℬ
𝐴
𝒞
𝒞
𝐴
) = A A = 𝐶
− 1
𝒞
ℬ
− 1
𝑡
A = 𝑈
𝑡
∗
𝑡 ̅̅̅̅
𝑡 ̅̅̅̅
𝑡
𝑡 ̅̅̅̅
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
11.3 Teorema spettrale reale
(𝑉, 𝑔)𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜 𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑒𝑜 (dim 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎) , 𝑓 ∈ 𝐸𝑛𝑑(𝑉)
𝜆
𝑣
1
‖𝑣 1
‖
ℝ
⊥
⊥
|𝑊
|𝑊
⊥ ∃ per induzione una base
ℬ
ℬ
ℬ
(𝑡)
(𝑡)
𝐴 ∈ ℝ(𝑛) Versione matriciale
𝑛
𝑛
𝐴
11.4 Applicazioni del teorema spettrale reale
𝑡
𝑝
(𝐴) = numero degli autovalori positivi di A
𝑛
(𝐴) = numero degli autovalori negativi di A
𝑜
(𝐴) = numero degli autovalori nulli = 𝜇
ℝ
1
2
𝑛
} ordinata 𝑔 𝐴
𝑡
𝐴𝑌 prodotto scalare asscociado ad A
𝐴
1
1
𝐴
𝑟
𝑟
𝐴
𝑟+ 1
𝑟+ 1
𝐴
𝑟+𝑠
𝑟+𝑠
𝐴
𝑟+𝑠+ 1
𝑟+𝑠+ 1
𝐴
𝑛
𝑛
𝑣 𝑖
𝑖
𝑖
1
𝑛
𝐴
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
⋛ 0 ⟹ indici = segno autovalori
𝑝
𝑛
𝑜
Mutua posizione di rette nello spazio
1
2
| = 0 Complanari
| ≠ 0 Sghembe ( ∃𝜋
1
2
1
1
2
2
Rouchè - Capelli
1
2
= 0 𝑒 𝑛𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟𝑒 ∥ (𝑝𝑒𝑟 𝜌) e viceversa
Fascio di piani
′
′
′
′
′
′
′
′
𝜋
′
′
′
𝑟
′
′
′
𝜋
𝑟
𝜋
′
′
′
′
Distanze nello spazio
Fra due punti
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
Fra un punto e un piano
0
0
0
0
0
= min 𝑑
0
|𝑎𝑥
0
+𝑏𝑦
0
+𝑐𝑧
0
+𝑑|
√𝑎
2
+𝑏
2
+𝑐
2
0
𝑛 𝜋
‖𝑛
𝜋
‖
0
0
0
1
√𝑎
2
+𝑏
2
+𝑐
2
Fra un punto e una retta
1
2
0
‖( 𝑃 0
−𝑄 1
) ∧
( 𝑄 2
−𝑄 1
)‖
‖ 𝑄 2
−𝑄 1
‖
‖( 𝑃 0
−𝑄 1
) ∧𝑣 𝑟
‖
‖ 𝑣 𝑟
‖
0
0
0
1
0
1
Fra due piani paralleli
′
′
′
′
| 𝑎𝑥̅ +𝑏𝑦̅ +𝑐𝑧̅ +𝑑′
|
√𝑎
2
+𝑏
2
+𝑐
2
| 𝑑−𝑑′
|
√𝑎
2
+𝑏
2
+𝑐
2
Fra due rette
1
2
) = 0 Incidenti
1
2
2
1
Parallel e
1
2
1
2
) Sghembe
Coniche 𝒞: 𝑎 11
2
12
22
2
13
23
33
11
12
13
12
22
23
13
23
33
det 𝐴 = 0 Degenere
det 𝐴 ≠ 0 Non degenere 𝐴 [ 33 ]
11
12
12
22
det 𝐴
[ 33 ]
> 0 Ellisse ( 𝑡𝑟𝐴
[ 33 ]
det 𝐴 > 0 imm)
det 𝐴
[ 33 ]
< 0 Iperbole
det 𝐴
[ 33 ]
= 0 Parabola
∃ una rototraslazione de piano che riconduce a forme canoniche
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
𝑥
2
𝑎
2
𝑦
2
𝑏
2
2
Da teo spettrale R → ∃ rotazione riconduce conca forma 𝜆𝑥
′
′
′
′
Se 𝜆 𝑒 𝜇 autovalori di 𝐴 [ 33 ]
concordi ellisse, discordi iperbole, uno =0 parabola
Traslazione riduzione in forme canoniche
