Curva regolare :C1e P'
(
t
)
≠
(
0,0,0
)
l
(
t
)
=
|
∫
t0
t
|
|
P'
(
t
)
|
|
dt
|
=
|
s
(
t
)
|
Punto biregolare :P'
(
t0
)
× P' '
(
t0
)
≠0
(
linearmenteindipendente
)
Invarianti curve equivalenti :traiettoria
(
dτ
dt ≠0
)
, lunghezza , direzione , span
{
P'
(
t
)
, P' '
(
t
)
}
, verso di N
Piano osculatore :passante per P0e∥a span
{
P'
(
t0
)
, P' '
(
t0
)
}
→ det
(
x−x0y−y0z−z0
x'
(
t0
)
y'
(
t0
)
z'
(
t0
)
x' '
(
t0
)
y' '
(
t0
)
z' '
(
t0
)
)
=0
Riferimento di Frenet :
(
T
(
t
)
, N
(
t
)
, B
(
t
)
)
→T
(
t
)
=P'
(
t
)
|
|
P'
(
t
)
|
|
N
(
t
)
=T'
(
t
)
|
|
T'
(
t
)
|
|
B
(
t
)
=T
(
t
)
× N
(
t
)
Curvatura:K
(
s
)
=
|
|
dT
ds
|
|
(
¿0⇔retta
)
Raggio curvatura :ρ
(
s
)
=1
KTorsione :
|
τ
(
s
)
|
=
|
|
dB
ds
|
|
(
¿0⇔piana
)
K=cost
τ=0⇔circonferenza 1
K
Formule di Frenet rispetto a t arbitraria:dT
dt =
|
|
P'
|
|
K N , dB
dt =
|
|
P'
|
|
τ N , dN
dt =−
|
|
P'
|
|
(
K T +τ B
)
(
rispetto a s :
|
|
P'
|
|
=1
)
Curvatura rispettoa t arbitraria:K
(
t
)
=
|
|
P'
(
t
)
× P' '
(
t
)
|
|
|
|
P'
(
t
)
|
|
3Torsione rispetto a t arbitraria :τ
(
t
)
=−
(
P'
(
t
)
× P' '
(
t
)
)
∙ P' ' '
(
t
)
|
|
P'
(
t
)
× P' '
(
t
)
|
|
2
Elica cilindrica
(
⇔K
τ=cost
)
:dP
dt ∙
g=cost , N ∙
g=0, B ∙
g=cost K
τ=−tg
(
α
)
,
g=cos
(
α
)
T+sen(α)B
→ equazioni parametriche :P
(
s
)
=Q
(
sen
(
α
)
s
)
+cos
(
α
)
s
g oppure con s =s
sen
(
α¿→ P
(
s
)
=Q
(
s
)
+cot
(
α
)
s
g
Elica circolare
(
⇔K , τ=co sto τ =0
)
:
(
rcos (t), r sen
(
t
)
,cot (α)rt
)
cos
(
arctg
(
x
)
)
=1
√
1+x2sen
(
arctg
(
x
)
)
=x
√
1+x2i−esima componente di v nella base
(
e1, … , en
)
diV
Spazio duale V ¿=
{
f:V → R :f lineare
}
base diei
¿:v∈V → ei
¿
(
v
)
=viei
¿
(
ek
)
=δk
i=1
(
se i=k
)
0
(
se i ≠ k
)
dim V ¿=dim V
Prodotto scalareo metrica g :V × V → R norma su g :
|
|
v
|
|
g=
√
g
(
v , v
)
forma quadratica F :v∈V →
|
|
v
|
|
g
2∈R
Prodottotensoriale ei
¿⨂ej
¿:V × V → R
(
v , w
)
↦ei
¿
(
v
)
ej
¿
(
w
)
=viwj
g∈Bil
(
V
)
⇒g=∑
i , j
g
(
ei, e j
)
ei
¿⨂ej
¿
Matrice rappresentativa
(
gij
)
=g
(
ei, e j
)
invertibile , simmetrica
(
diagonalizzabile
)
, det
(
gij
)
>0g
(
v , v
)
=λ∑
i
vi
2v autovettore di λ
Tensore ditipo
(
p , q
)
T:V¿× …× V ¿
⏟
pvolte
×V × …× V
⏟
qvolte
→ R T
(
p, q
)
(
V
)
∈V⨂…⨂V
⏟
pvolte
⨂V¿⨂…⨂V¿
⏟
qvolte
Prodotto simmetrico ei
¿⨀ej
¿=1
2
(
ei
¿⨂ej
¿+ej
¿⨂ei
¿
)
prodotto scalare come combinazionelineare di ei
¿⨀ej
¿
Endomorfismo autoaggiunto
(
simmetrico
)
⇔g
(
f
(
v
)
, w
)
=g
(
v , f
(
w
)
)
Applicazione bilineare simmetrica :b
(
v , w
)
=g
(
f
(
v
)
, w
)
Matrice rappresentativadi endomorfismo simmetrico :
(
Aji
)
=
(
f
(
ei
)
)
⇒f
(
ei
)
=Aji ej
b=g⋅A → A=g−1⋅b
(
prodotti tra matrici
)
costruire endomorfismo f senza uso di base :f=g−1∘b con g
b
:v∈V → g
b
(
v , ∙
)
∈V¿
Invarianti endomorfismo :quantità senza uso di base → det f =det b
det g=det A , tr
(
f
)
=tr
(
g−1b
)
=tr
(
A
)
, rk
(
A
)
=dim
(
ℑf
)
, coefficienti det
(
A−λI
)
Applicazioneindottada f :V → W è f ¿:W¿→V ¿t . c . f¿
(
θ
)
:V → R
v↦θ
(
f
(
v
)
)
rappresentatada A ¿=ATDerivata direzionale:DωF
(
q0
)
=∇F
(
q0
)
∙ ω
Superfici:P:Ω⊆R2→ R3
(
u , v
)
↦P
(
u , v
)
=
(
x
(
u , v
)
, y
(
u , v
)
, z
(
u , v
)
)
t . c . P
(
u , v
)
∈Ck
(
Ω∘
)
e rango
(
JP
)
=rango
(
xu
(
u0, v0
)
xv
(
u0, v0
)
yu
(
u0, v0
)
yv
(
u0, v0
)
zu
(
u0, v0
)
zv
(
u0, v0
)
)
=2
⏟
Pu
(
u0, v0
)
× Pv
(
u0, v0
)
≠0
