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LOGARITMI
0 · Regola d'Oro — Condizioni di Esistenza (C.E.)
Regola Condizione Perché?
Argomento del log f(x) > 0 Il log di un numero negativo o zero non esiste nei reali.
Base del log a > 0, a ≠ 1 Base 1 → log costante; base negativa → non definita.
1 · Proprietà Operative
Queste proprietà servono a compattare un'equazione con più logaritmi in un'equazione con un solo logaritmo per lato , prima di poterla risolvere.
1a · Somma → Prodotto
loga(x) + loga(y) = loga(x · y)
Due logaritmi con la stessa base sommati si uniscono in un solo logaritmo il cui argomento è il prodotto degli argomenti originali.
Esempio 1a-A — Semplificare: log n (3) + log n (5)
Passaggio 1: Stessa base (2) 3 → applico la proprietà
Risultato: logn(3) + logn(5) = logn(3 · 5) = logn(15)
Esempio 1a-B — Semplificare: log(4) + log(25)
Nota: log senza base = log in base 10
Passaggio 1: Stessa base (10) 3 → log(4) + log(25) = log(4 · 25)
Risultato: log(100) = 2 (perché 10² = 100)
1b · Sottrazione → Quoziente
loga(x) − loga(y) = loga(x / y)
Due logaritmi con la stessa base sottratti si uniscono in un solo logaritmo il cui argomento è il quoziente degli argomenti.
Esempio 1b-A — Semplificare: log n (18) − log n (2)
Passaggio 1: Stessa base (3) 3 → logn(18 / 2) = logn(9)
Risultato: logn(9) = 2 (perché 3² = 9)
Esempio 1b-B — Semplificare: ln(e n ) − ln(e²)
Passaggio 1: ln = log in base e, stessa base 3
Passaggio 2: ln(en) − ln(e²) = ln(en / e²) = ln(e³)
Risultato: ln(e³) = 3 (proprietà: ln(en) = n)
1c · Coefficiente → Potenza
k · loga(x) = loga(xk)
Un numero che moltiplica un logaritmo può essere portato come esponente dell'argomento. Passaggio essenziale prima di unire o rimuovere i logaritmi.
Esempio 1c-A — Semplificare: 3 · log n (2)
Passaggio 1: Coefficiente 3 → esponente
Risultato: 3 · logn(2) = logn(2³) = logn(8)
Esempio 1c-B — Semplificare: 2 · ln(x) + ln(3)
Passaggio 1: Coefficiente 2 → esponente: 2·ln(x) = ln(x²)
Passaggio 2: Somma → prodotto: ln(x²) + ln(3) = ln(3x²)
Risultato: ln(3x²)
1d · Proprietà Speciali (scorciatoie)
Formula Risultato Esempio
loga(1) = 0 logn(1) = 0
loga(a) = 1 logn(3) = 1 ; ln(e) = 1
loga(ak) = k logn(2n) = 5 ; ln(en) = 4
aloga(x)^ = x 10^log(7) = 7 ; e^ln(3) = 3
loga(b) = log(b)/log(a) cambia base logn(8) = log(8)/log(5)
2 · Metodi Risolutivi
2a · Eguaglianza degli Argomenti (metodo principale)
loga[ f(x) ] = loga[ g(x) ]
n
f(x) = g(x)
n ATTENZIONE
Puoi rimuovere i log e passare agli argomenti SOLO SE hai: un singolo log a sinistra · un singolo log a destra · la stessa base · nessun coefficiente fuori.
Esempio guidato completo — Risolvere: ln(x+1) + 2·ln(2) = ln(x+7)
C.E. Argomenti > 0 → x+1 > 0 n x > −1 e x+7 > 0 n x > − 7 La C.E. più restrittiva è x > − 1
Passo A: togli i coefficienti
2·ln(2) → ln(2²) = ln(4) Equazione: ln(x+1) + ln(4) = ln(x+7)
Passo B: compatta la somma
ln(x+1) + ln(4) = ln[ 4·(x+1) ] = ln(4x+4) Equazione: ln(4x+4) = ln(x+7)
Passo C: eguaglia gli argomenti
Un log per lato, stessa base (e) 3 → 4x+4 = x+
Passo D: risolvi algebricamente
4x − x = 7 − 4 → 3x = 3 → x = 1
