Formulario Matematica discreta Parte1, Formulari di Matematica Discreta

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Formulario

Algebra Lineare e Geometria

GEOMETRIA NEL PIANO

DISTANZA TRA DUE PUNTI

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

DISTANZA PUNTO-RETTA

RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

FASCIO DI RETTE PASSANTI:

DATO UN PUNTO P(X,Y)

DATA R E R’

λ(x – x1) + μ(y - y1) = 0 λ(ax+by+c)+μ(a’x+b’y+c’)=

GEOMETRIA NELLO SPAZIO

Da parametrica a cartesiana:

• Scegliamo una delle tre equazioni e esplicitiamo t ;
• Consideriamo il sistema formato dalle due equazioni rimanenti e sostituiamo la t appena trovata.

Da cartesiana a parametrica:

• Scegliamo una delle due incognite e poniamola a t. Es. x= t.
• Costruiamo così il sistema
• Risolviamo il sistema

Se un’incognita=costante il ruolo di parametro va assegnato a una delle variabili che non è uguale alla

costante.

Se tutte e due le equazioni sono incognita=costante, l’incognita che non compare nelle due equazioni avrà

il ruolo di parametro.

Equazione del piano passante per un punto e perpendicolare a una retta

• Direzione retta vr
• lx+my+nz+d=
• sostituire il punto P(xp,yp,zp) alle incognite
• risolvere l‘equazione trovando d
• riscriviamo lx+mx+nz+ d =

Distanza punto-retta

• Direzione retta vr
• Equazione del piano passante per un punto e perpendicolare a una retta
• Troviamo il punto H: mettendo a sistema la retta e l’equazione del piano trovato
• Distanza H-P: d(P,H)=�(𝑥𝑥𝑃𝑃 − 𝑥𝑥𝐻𝐻)^2 + (𝑦𝑦𝑃𝑃 − 𝑦𝑦𝐻𝐻)^2 + (𝑧𝑧𝑃𝑃 − 𝑧𝑧𝐻𝐻)^2

Distanza punto-piano

• d(P,α) =

|𝑎𝑎𝑎𝑎 (^) 𝑃𝑃 +𝑏𝑏𝑏𝑏 (^) 𝑃𝑃 +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑃𝑃 +𝑑𝑑| √𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 +𝑐𝑐 2

Coefficienti direttori del piano

• Dato α: a+by+cz+d=
• n (^) α =(a,b,c)

Fascio di piani:

• λ(ax+by+cz+d)+μ(a’x+b’y+c’z+d’)=0 con λ,μ!= oppure
• ax+by+cz+d+h(a’x+b’y+c’z+d’)=0 con risultato (a+ha’)x+(b+hb’)y+(c+hc’)z+d+hd’=

Proiezione ortogonale di una retta su un piano:

• Direzione retta vr
• Coefficienti direttori piano nα
• SE Prodotto scalare vr* n (^) α!=0 allora retta e piano incidenti
• Rk � 𝑙𝑙^ 𝑚𝑚^ 𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐

� = rango massimo incidenti e non perpendicolari

• Forma cartesiana
• Fascio di piani (il secondo, più corto)
• n (^) h (x,y,z) del fascio
• Prodotto scalare tra nh e n (^) α
• Equazione nh *nα=
• Sostituire h bell’equazione del fascio usata prima
• Così otteniamo un piano (chiamiamolo β)
• Intersezione di α e β

Piano contenente una retta e parallelo ad un’altra:

• Forma cartesiana
• Fascio di piani: (λa 1 +μa 2 )x+(λb 1 +μb 2 )y+(λc 1 +μc 2 )z+λd 1 +μd 2 =
• nF =(λa 1 +μa^2 ,^ λb 1 +μb 2 ,^ λc 1 +μc 2 )
• Direzione retta vr
• Prodotto scalare tra nF e vs

• Equazione nF*vs=
• Scegliamo un valore di λ e μ che non sia 0 e sostituiamola nell’equazione del fascio di prima
• Il piano trovato sarà il risultato

Piano contenente una retta ed ortogonale ad un piano:

• Forma cartesiana
• Fascio di piani (il secondo, più corto)
• n (^) h (x,y,z) del fascio
• Prodotto scalare tra nh e n (^) α
• Equazione nh *nα=
• Sostituire h bell’equazione del fascio usata prima
• Così otteniamo il piano

Verificare se un punto appartiene a un piano:

• Sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione del piano, se risulta diverso da zero allora non appartiene al piano
• P(x 0 , y 0 , z 0 ) α: ax+by+cz+d=0 ax 0 +by 0 +cz 0 +d=

Ricavare P’:

• xp’=(2*xM)-xP
• yp’=(2*yM)-y (^) P
• zp’=(2*zM)-zP
• P’=(xP’,y (^) P’,zP’)

Punto simmetrico rispetto a un piano:

• Verificare se P appartiene al piano
• Direzione retta vr
• Equazione retta avendo P e vr
• Troviamo M mettendo a sistema retta e piano
• Calcoliamo P’

Punto simmetrico rispetto a una retta:

• Equazione del piano passante per un punto e perpendicolare a una retta
• Ricavare Q tramite l’intersezione del piano e della retta: o Sostituiamo le coordinate parametriche della retta nell’equazione del piano (al posto delle incognite) o Risolviamo l’equazione trovando t o Sostituiamo il valore di t nel sistema della retta o Così abbiamo trovato Q
• Q-P
• P’=Q+(Q-P)

Retta passante per un punto e incidente a due rette:

• Fascio di piani per r e sostituire P alle incognite
• Dare i valori a λ e μ in modo da risultare 0
• Sostituire i valori di λ e μ all’equazione del fascio e risolverlo
• Stessa cosa con s

Retta passante per un punto, parallela ad un piano e incidente a una retta:

• Equazione del piano passante per un punto e parallelo a un piano
• Troviamo il punto di intersezione A mettendo a sistema la retta e il piano trovato

Determinante La Place

Matrice inversa

Se det=0 matrice non invertibile

A -1=(A C) T^ /det(A)

Sistemi lineari

Se rk(A)<rk(A|b) impossibile

Se rk(A)=rk(A|b) = n um.incogn. una sola soluzione

Se rk(A)=rk(A|b) < n um.incogn. ∞n-rk(A)^ soluzioni

Endomorfismi:

Kerf svolgimento:

Avendo una matrice A calcolare il determinante di A

• Vedere per quali valori di h il determinante è uguale a 0
• per i valori di h≠ da quelli trovati avremo che kerf={ 0,0,0 } e IMf = R^3
• Sostituire ad h i valori trovati, ridurre se possibile e risolvere il sistema per trovare le basi

ImF svolgimento:

• Dopo aver trovato il kerf basta usare la formula dim(Imf) = n - dim(kerf)
• Successivamente prendere le colonne (prima della riduzione) in cui si trovavano gli elementi speciali (dopo la riduzione) e risolvere il sistema formato da queste colonne

Ridurre fino a quando non si avrà una riga di soli zeri a esclusione dell’incognita

Quella sarà l’equazione che individua l’immagine

Fare questo procedimento per ogni valore del parametro che abbiamo trovato.

Autovalori e Autovettori:

det(A-λI)=

1)Per trovare gli Autovalori di un endomorfismo basta fare gli elementi della diagonale meno lambda

(esempio 2- lambda)

2)Cercare per quali valori di lambda il determinante della matrice è = 0 e scrivere anche le molteplicità

o Se ma>1 bisogna vedere che coincida con la mg o mg( autovalore )=3-rk(A- autovalore *I) o Se mg( autovalore )=ma( autovalore ) la matrice è semplice e quindi diagonalizzabile

3)sostituire a lambda i valori trovati e risolvere il sistema per trovare gli autovettori, il numero degli

autovettori trovati deve essere uguale alla molteplicitá.

Diagonalizzazione

D=P -1AP dove P è la matrice formata dagli autovettori messi in colonna

D deve risultare con tutti i valori 0 tranne la diagonale principale che avrà gli autovalori.