Formulario Completo Geometria Lineare, Formulari di Matematica Discreta

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Formulario

Algebra Lineare e Geometria

GEOMETRIA NEL PIANO

DISTANZA TRA DUE PUNTI

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

DISTANZA PUNTO-RETTA

RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI

FASCIO DI RETTE PASSANTI:

DATO UN PUNTO P(X,Y)

DATA R E R’

λ(x – x1) + μ(y - y1) = 0 λ(ax+by+c)+μ(a’x+b’y+c’)=

GEOMETRIA NELLO SPAZIO

Da parametrica a cartesiana:

• Scegliamo una delle tre equazioni e esplicitiamo t ;
• Consideriamo il sistema formato dalle due equazioni rimanenti e sostituiamo la t appena trovata.

Da cartesiana a parametrica:

• Scegliamo una delle due incognite e poniamola a t. Es. x= t.
• Costruiamo così il sistema
• Risolviamo il sistema

Se un’incognita=costante il ruolo di parametro va assegnato a una delle variabili che non è uguale alla costante.

Se tutte e due le equazioni sono incognita=costante, l’incognita che non compare nelle due equazioni avrà il ruolo di parametro.

Equazione del piano passante per un punto e perpendicolare a una retta

• Direzione retta vr
• lx+my+nz+d=
• sostituire il punto P(xp,yp,zp) alle incognite
• risolvere l‘equazione trovando d
• riscriviamo lx+mx+nz+ d =

Distanza punto-retta

• Direzione retta vr
• Equazione del piano passante per un punto e perpendicolare a una retta
• Troviamo il punto H: mettendo a sistema la retta e l’equazione del piano trovato
• Distanza H-P: d(P,H)=�(𝑥𝑥𝑃𝑃 − 𝑥𝑥𝐻𝐻)^2 + (𝑦𝑦𝑃𝑃 − 𝑦𝑦𝐻𝐻)^2 + (𝑧𝑧𝑃𝑃 − 𝑧𝑧𝐻𝐻)^2

Distanza punto-piano

• d(P,α) = |𝑎𝑎𝑎𝑎 (^) 𝑃𝑃 +𝑏𝑏𝑏𝑏𝑃𝑃 +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑃𝑃 +𝑑𝑑| √𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 +𝑐𝑐 2

Coefficienti direttori del piano

• Dato α: a+by+cz+d=
• nα =(a,b,c)

Fascio di piani:

• λ(ax+by+cz+d)+μ(a’x+b’y+c’z+d’)=0 con λ,μ!= oppure
• ax+by+cz+d+h(a’x+b’y+c’z+d’)=0 con risultato (a+ha’)x+(b+hb’)y+(c+hc’)z+d+hd’=

Proiezione ortogonale di una retta su un piano:

• Direzione retta vr
• Coefficienti direttori piano nα
• SE Prodotto scalare vr* nα!=0 allora retta e piano incidenti
• Rk � 𝑙𝑙^ 𝑚𝑚^ 𝑛𝑛 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 � = rango massimo incidenti e non perpendicolari
• Forma cartesiana
• Fascio di piani (il secondo, più corto)
• nh(x,y,z) del fascio
• Prodotto scalare tra nh e nα
• Equazione nh*nα=
• Sostituire h bell’equazione del fascio usata prima
• Così otteniamo un piano (chiamiamolo β)
• Intersezione di α e β

Piano contenente una retta e parallelo ad un’altra:

• Forma cartesiana
• Fascio di piani: (λa 1 +μa 2 )x+(λb 1 +μb 2 )y+(λc 1 +μc 2 )z+λd 1 +μd 2 =
• nF=(λa 1 +μa 2 , λb 1 +μb 2 , λc 1 +μc 2 )
• Direzione retta vr
• Prodotto scalare tra nF e vs

• Equazione nF*vs=
• Scegliamo un valore di λ e μ che non sia 0 e sostituiamola nell’equazione del fascio di prima
• Il piano trovato sarà il risultato

Piano contenente una retta ed ortogonale ad un piano:

• Forma cartesiana
• Fascio di piani (il secondo, più corto)
• nh(x,y,z) del fascio
• Prodotto scalare tra nh e nα
• Equazione nh*nα=
• Sostituire h bell’equazione del fascio usata prima
• Così otteniamo il piano

Verificare se un punto appartiene a un piano:

• Sostituiamo le coordinate del punto nell’equazione del piano, se risulta diverso da zero allora non appartiene al piano
• P(x 0 , y 0 , z 0 ) α: ax+by+cz+d=0 ax 0 +by 0 +cz 0 +d=

Ricavare P’:

• x (^) p’=(2*xM )-xP
• yp’=(2*yM )-y (^) P
• zp’=(2*zM )-zP
• P’=(xP’,y (^) P’,zP’)

Punto simmetrico rispetto a un piano:

• Verificare se P appartiene al piano
• Direzione retta vr
• Equazione retta avendo P e vr
• Troviamo M mettendo a sistema retta e piano
• Calcoliamo P’

Punto simmetrico rispetto a una retta:

• Equazione del piano passante per un punto e perpendicolare a una retta
• Ricavare Q tramite l’intersezione del piano e della retta: o Sostituiamo le coordinate parametriche della retta nell’equazione del piano (al posto delle incognite) o Risolviamo l’equazione trovando t o Sostituiamo il valore di t nel sistema della retta o Così abbiamo trovato Q
• Q-P
• P’=Q+(Q-P)

Retta passante per un punto e incidente a due rette:

• Fascio di piani per r e sostituire P alle incognite
• Dare i valori a λ e μ in modo da risultare 0
• Sostituire i valori di λ e μ all’equazione del fascio e risolverlo
• Stessa cosa con s

Retta passante per un punto, parallela ad un piano e incidente a una retta:

• Equazione del piano passante per un punto e parallelo a un piano
• Troviamo il punto di intersezione A mettendo a sistema la retta e il piano trovato

Determinante La Place

Matrice inversa

Se det=0 matrice non invertibile

A -1^ =(A C^ ) T/det(A)

Sistemi lineari

Se rk(A)<rk(A|b) impossibile

Se rk(A)=rk(A|b) = n um.incogn. una sola soluzione

Se rk(A)=rk(A|b) < n um.incogn. ∞n-rk(A)^ soluzioni

Endomorfismi:

Kerf svolgimento:

Avendo una matrice A calcolare il determinante di A

• Vedere per quali valori di h il determinante è uguale a 0
• per i valori di h≠ da quelli trovati avremo che kerf={ 0,0,0 } e IMf = R^3
• Sostituire ad h i valori trovati, ridurre se possibile e risolvere il sistema per trovare le basi

ImF svolgimento:

• Dopo aver trovato il kerf basta usare la formula dim(Imf) = n - dim(kerf)
• Successivamente prendere le colonne (prima della riduzione) in cui si trovavano gli elementi speciali (dopo la riduzione) e risolvere il sistema formato da queste colonne

Ridurre fino a quando non si avrà una riga di soli zeri a esclusione dell’incognita

Quella sarà l’equazione che individua l’immagine

Fare questo procedimento per ogni valore del parametro che abbiamo trovato.

Autovalori e Autovettori:

det(A-λI)=

1)Per trovare gli Autovalori di un endomorfismo basta fare gli elementi della diagonale meno lambda (esempio 2- lambda)

2)Cercare per quali valori di lambda il determinante della matrice è = 0 e scrivere anche le molteplicità

o Se ma>1 bisogna vedere che coincida con la mg o mg( autovalore )=3-rk(A- autovalore *I) o Se mg( autovalore )=ma( autovalore ) la matrice è semplice e quindi diagonalizzabile

3)sostituire a lambda i valori trovati e risolvere il sistema per trovare gli autovettori, il numero degli autovettori trovati deve essere uguale alla molteplicitá.

Diagonalizzazione

D=P -1AP dove P è la matrice formata dagli autovettori messi in colonna

D deve risultare con tutti i valori 0 tranne la diagonale principale che avrà gli autovalori.

Coniche

a 11 x^2 + a 22 y 2 +a 33 +2a 12 xy+2a 13 x+2a 23 y= 0

A=�

Se |A|=0 la conica è spezzata: Rk=1 2 rette coincidenti , Rk=2 2 rette distinte e incidenti

a11=x^2

a22=y 2

a33=termine noto

a12=metà xy

a13=metà x

a23= metà y

Coefficiente angolare assi

a 12 m^2 +(a 11 -a 22 )m-a 12 =

Per trovare gli assi y-yc=+-m(x-xc) dove yc e xc sono le coordinate del centro. Se a 12 =0 gli assi avranno la seguente equazione x=xc e y=yc.

Vertici: intersezione tra assi trovati e equazione canonica

Asintoti: trovare prima i punti impropri intersecando t’=0 con i coefficienti x^2 ,y 2 ,xy. Dopo bisogna fare il prodotto tra il punto improprio, la matrice e il vettore colonna x’,y’,t’.

Fuochi:

Bisogna imporre la distanza tra il centro e il punto generico che deriva dall’equazione dell’asse che genera il

vertice uguale a c, dove c =√𝑎𝑎 2 − 𝑏𝑏 2

Es. asse che genera i vertici y=x+

P(x,x+2) C(1,2)

�(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)𝟐𝟐^ + (𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐)𝟐𝟐^ = 𝒄𝒄

Parabola

Si può trasformare in βy 2 =2ɣx

𝛽𝛽 si trova facendo l’autovalore di �𝑎𝑎 𝑎𝑎^1112 𝑎𝑎𝑎𝑎^1222 �

Per trovare ɣ basta porre - βɣ^2 =|A|

Dopo aver trovato ɣ dividere l’equazione per 𝛽𝛽 𝑦𝑦 2 = 2 ɣ β 𝑥𝑥^ e poniamo^

ɣ β =^ 𝑝𝑝^ otteniamo^ 𝑦𝑦^

Centro

�

Asse:

• trovare prima i punti impropri intersecando t’=0 con i coefficienti x^2 ,y 2 ,xy. Es.(2,1,0).
• Trovare il punto ortogonale al vettore trovato (-1,2,0).
• Dopo bisogna fare il prodotto tra questo vettore, la matrice e il vettore colonna x’,y’,t’.

Vertici: intersezione tra assi trovati e equazione canonica (scomporre sempre x2,y2,xy in un quadrato di binomio, prendere il coeff delle x e dividerlo per 4)

Fuochi:

Sono i punti dell’asse tale che la distanza tra(F,V)=P/

P/2 se è nella forma y^2 =2px; a/4 se è nella forma y^2 =ax

Es. d(F,V)=p/

F vale sempre (x,y), supponiamo che i vertici siano V(2,3), d(F,V)=�(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐)𝟐𝟐^ + (𝒚𝒚 − 𝟑𝟑)𝟐𝟐^ = 𝑷𝑷𝟐𝟐

Elevare al quadrato entrambi i membri e svolgere i quadrati. Intersechiamo questa equazione con l’asse e ricaviamo per sostituzione la x e la y dei fuochi.

Direttrice:

retta passante per i fuochi con coefficiente angolare ortogonale all’asse.

𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 0 = − (^) 𝑚𝑚^1 (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 0 ) dove y 0 e x 0 sono le coordinate dei fuochi

m=-a/b se abbiamo l’equazione ax+by+c=

Circonferenza

ɣ: x^2 +y 2 +ax+by+c=

Trovare equazione avente centro e raggio

ɣ: (x-xc)^2 +(y-yc)^2 =r^2 dove xc e yc sono le coordinate del centro

Calcolare il centro avendo l’equazione della circonferenza

C=(− 𝑎𝑎 2 ; − 𝑏𝑏 2 ) dove a e b sono i coefficienti di x e y

Calcolare il raggio avendo la circonferenza

r=�^ 𝑎𝑎 4

2

• 𝑏𝑏 4

2 − 𝑐𝑐 dove a e b sono i coefficienti di x e y e c è il termine noto

Trovare l’equazione della circonferenza avendo il centro e una retta a cui è tangente

Esempio C(1,-3) r:2x-3y+5=

r=d(C,r)= dove a, b, c sono la x,y e termine noto della retta e x0,y0 le coordinate del_punto

Dopo aver trovato r lo si sostituisce

ɣ: (x-xc) 2 +(y-yc)^2 =r^2

Circonferenza passante per tre punti

x^2 +y 2 +ax+by+c=

Creare tre equazioni in cui sostituiamo alle incognite le x e le y dei punti.

Mettiamo a sistema le tre equazioni e calcoliamo a, b e c e poi li sostituiamo nell’equazione x^2 +y 2 +ax+by+c=

Trasformazioni geometriche piane

Simmetria Assiale retta s e Punto P :

• Trovare Retta Passante per P ortogonale ad s
• Trovare Punto generale della retta s’ e punto Medio generale(mettendo a sistema retta e piano oppure xM =(x 0 +x 1 )/2, y (^) M =(y 0 +y 1 )/2 )
• Imporre che il punto medio passi per la retta (sostituire i valori dell’ equazione)