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FORMULARIO MICROECONOMIA
CURVA DOMANDA E OFFERTA
Intercetta con l’asse y e pendenza della curva si trova ponendo l’equazione in funzione di P, ad esempio, nella funzione P = 500 - 2Qd, 500 è l’intercetta con l’asse delle y, mentre -2 è la pendenza della curva di domanda Il punto di equilibrio si ottiene eguagliando Qd con Qs, in questo modo si troverà il prezzo e si potrà sostituire nella funzione di domanda o offerta. Aumenti (o diminuzioni) del reddito disponibile faranno traslare verso destra (o sinistra) la curva di domanda Un aumento (o diminuzione) del prezzo massimo causerà l’aumento (o la diminuzione) dell’offerta, causando una diminuzione (o aumento) della domanda
VINCOLO DI BILANCIO
L’equazione del vincolo di bilancio è ottenuta a partire dal reddito (M), dai prezzi dei beni X e Y e le quantità consumate di entrambi, ad esempio: M = Px * X + Py * Y Riscrivendo la stessa formula in funzione di Y (o del bene che si trova sull’asse y) potremo ricavare l’intercetta con l’asse Y (M/Py), la pendenza (- (Px/Py)) e l’intercetta con l’asse X (M/Px) Un aumento (o diminuzione) del reddito causerà uno spostamento verso destra (o sinistra) del vincolo Variazioni dei prezzi relativi (Px/Py) modificheranno la pendenza del vincolo
INTRODUZIONE DI UNA TASSA
Per calcolare l’effetto dell’introduzione di una tassa bisognerà innanzitutto distinguere se è sui consumatori o sui produttori Se è sui consumatori allora la curva di domanda diventerà Qd = 500 - (P + 10) (supponendo l’introduzione di una tassa pari a 10) Se è sui produttori allora la curva di offerta diventerà Qs = 3(P - 10)
- – – – – – – – – – – – – In seguito bisognerà uguagliare Qs a Qd per trovare il prezzo ottimo Se la tassa era sui consumatori troveremo il prezzo incassato dai produttori, quindi dovremo aggiungere il valore della tassa per capire quanto i consumatori dovranno sborsare Se la tassa era sui produttori troveremo il prezzo pagato dai consumatori al quale dovremo sottrarre il valore della tassa Per comprendere l’incidenza di una tassa dovremo calcolarci i surplus del consumatore e del produttore, chi avrà una variazione maggiore rispetto al valore originale sarà colui che dovrà sopportare l’onere maggiore L’onere di una tassa potrà essere calcolata come: (Prezzo pagato dai consumatori - prezzo di equilibrio originale) / tassa (Prezzo di equilibrio originale - prezzo incassato dai produttori) / tassa Per calcolare la variazione del surplus in percentuale bisognerà fare il seguente calcolo (Surplus originale - surplus attuale) / surplus originale) Le tasse causano uno spostamento verso sinistra delle curve di domanda e offerta
SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE (MRS)
Il saggio marginale di sostituzione si calcola a partire dalle derivate parziali della funzione di utilità (utilità marginale di X e Y) - ∂MuX/ ∂MuY Il saggio marginale di sostituzione va uguagliato al risultato del rapporto tra prezzi (MRS = Px/Py) per poi sostituire una delle variabili all’interno del vincolo di bilancio Quando si uguaglia il MRS al rapporto tra i prezzi, quest’ultimo va preso in valori assoluti Quando il saggio marginale di sostituzione è costante (cioè non presenta variabili al suo interno) saremo di fronte a beni perfettamente sostituibili (funzione di utilità X + Y)
- quantità di X e Y Guardando il grafico noteremo che questo punto si troverà in mezzo tra l’effetto reddito e l’effetto di sostituzione. Si sottrae il valore trovato dal valore a destra e si sottrae il valore a sinistra dal valore trovato. Ovviamente prima bisognerà riconoscere qual è l’effetto reddito e l’effetto sostituzione. Un buon metodo è guardare dove si trova il punto tangente alla vecchia curva di indifferenza. Dal punto di tangenza originario (A) per spostarsi a (C) agirà l’effetto di sostituzione (traslazione curva di domanda post aumento del prezzo con intercetta sull’asse y maggiore), mentre da (C) a (B) agirà l’effetto reddito
ELASTICITÀ (DELLA DOMANDA E DELL’OFFERTA) RISPETTO AL
PREZZO
L’elasticità può essere calcolata in diversi modi: Elasticità puntuale = 1/pendenza * P/Q Elasticità della domanda = ∂Qd/∂P * P/Q
- – – – – – – – – Elasticità dell’offerta = ∂Qs/∂P * P/Q
CONSUMO INTERTEMPORALE
Il consumo intertemporale riguarda i due redditi, presente (M1) e futuro (M2) Il vincolo di bilancio intertemporale si può rappresentare con il consumo futuro (C2) sull’asse y ed il consumo attuale (C1) sull’asse x La formula del vincolo di bilancio intertemporale può essere espresso in funzione di C2, ad esempio: C2 = M2 + (1 + r) (M1 - C1). La formula esprime che il consumo del secondo periodo equivale al reddito del secondo periodo + l’attualizzazione dei risparmi (M1 - C1) del primo periodo Il tasso di interesse è espresso in percentuali e si deve sommare a 1. Rendendo il risultato negativo si trova la pendenza del vincolo di bilancio intertemporale. Di solito viene fornita una funzione di utilità, dove al posto di X e Y, vengono indicate le preferenze relative a C1 e C2, ad esempio: U = C1^2 C2^2. Similmente al saggio marginale di sostituzione si devono calcolare le derivate parziali di C1 e di C2, per poi eguagliare il risultato alla pendenza del vincolo di bilancio intertemporale, per poi trovare i consumi ottimi Si può capire se il consumatore abbia risparmiato o preso a prestito facendo il calcolo (M1 - C1) presente nel vincolo di bilancio. Se il risultato è positivo significa che ha risparmiato, invece, se è negativo, significa che ha preso in prestito Per calcolare le intercette sull’asse x e y è necessario attualizzare o proiettare i rispettivi redditi (M2 e M1) nel presente o nel futuro. L’intercetta con l’asse y si calcola con l’equazione del vincolo di bilancio, guardando l’intercetta di C2, oppure si calcola con C2 + C1 (
- r) dove r è il tasso di interesse. Il risultato indica la somma massima spendibile nel futuro mettendo tutto a rendita. Per l’intercetta sull’asse x, invece sarà necessario sommare C1 + C2 / (1+r), attualizzando C (in altre parole si sta esplicitando la quantità massima spendibile nel presente prendendo a prestito tutto il reddito futuro e attualizzandolo al tasso di interesse) Un aumento dei tassi di interesse, generalmente, rende il consumo futuro più appetibile e modificando la pendenza del vincolo di bilancio.
- – ● – – – – rappresenta per noi il reddito che ci fa dire “ok non gioco” Mettendo a confronto due equivalenti certi, un individuo avverso al rischio avrà bisogno di un equivalente minore del valore atteso della lotteria, mentre un individuo propenso al rischio avrà bisogno di un equivalente certo maggiore rispetto al valore atteso della lotteria. In quanto l’individuo avverso al rischio attribuisce una connotazione negativa al rischio implicito della lotteria L’assicurazione (Insurance) è la quota di denaro che ci copre da eventuali rischi e che siamo disposti a pagare per coprirci. Il calcolo dell’assicurazione è A = EV - CE, dove EV e CE sono rispettivamente valore atteso ed equivalente certo. Il risultato di questo calcolo, ossia l’assicurazione, può essere anche negativo, ciò indica un individuo propenso al rischio, mentre se positivo indica un individuo avverso al rischio. La prospect theory indica la maggiore incidenza di una perdita rispetto ad un guadagno, inoltre ci dice che è meglio raggruppare le perdite, suddividere i guadagni e separare i piccoli guadagni dalle perdite irrilevanti
EQUILIBRIO DI NASH
Ci troviamo di fronte ad una matrice con 2 giocatori e diversi output, ovviamente i giocatori cercheranno di scegliere l’output maggiore in ogni occasione. Come prima cosa scegliamo un punto di vista (giocatore 1 e giocatore 2), dando per scontato la scelta dell’altro, quindi saremo obbligati a spostarci o solo verticalmente in una colonna o orizzontalmente in una riga, nel caso sotto abbiamo dato per scontato che il giocatore B sceglierà sinistra, dunque il giocatore A potrà scegliere solo nella colonna a sinistra o alto o basso. Supponiamo che il giocatore A guardi gli output a sinistra (tra 2 e 1 lo riguarda il 2), dunque tra la riga sopra (2) e la riga sotto (0), sceglierà 2. Ripetiamo il procedimento per entrambe le scelte ed entrambi i giocatori, sottolineando a mano a mano le scelte ottime Dove troveremo entrambi i numeri sottolineati, quello sarà l’equilibrio di Nash
- Una strategia è strettamente dominante quando uno di due giocatori sceglie sempre quella e ha payoff sempre maggiori Una strategia debolmente dominante è sempre scelta da uno dei duo giocatori ma offre payoff pari o maggiori rispetto ad un’altra scelta
GIOCHI DINAMICI
Bisogna trovare l’equilibrio nei sottogiochi (SPE), bisogna andare a ritroso, quindi a partire dalle possibili scelte B e C, il giocatore 2 (USA) dovrà scegliere qual è l’output più conveniente. Una volta stabilito questo il giocatore 1 (URSS) sceglierà l’opzione che darà più output (in questo caso USA in entrambe le situazioni non lancia i missili, dunque URSS sceglierà di lanciare in quanto avrà un output di
- – – – – – – – – – prodotta e l’impiego di un fattore (K o L) = Q / K o Q / L La produttività marginale (MP) di un fattore si deriva a partire dalla funzione dell’isoquanto rispetto a uno dei due fattori ∂F(K;L) / ∂L oppure ∂F(K;L) / ∂K Quando la produttività marginale è uguale al prodotto medio di un fattore, quest’ultimo è al suo massimo (MP = AP) La produzione totale (TP) è massimizzata quando MP = 0 MP è al suo massimo quando la sua derivata seconda è uguale a 0 In generale occorre allocare il fattore produttivo in maniera tale che il suo prodotto marginale sia il più alto possibile. Nel continuo dovrebbe essere uguale in tutti i processi produttivi. Il calcolo della produttività marginale è utili per calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica (MRST) che equivale al rapporto tra la produttività marginale del fattore 1 (L solitamente) e la produttività marginale del fattore 2 (K solitamente) NEL BREVE PERIODO La combinazione ottimale di K ed L ci viene data uguagliando il saggio marginale di sostituzione tecnica alla pendenza della retta di isocosto (w/r), per poi ricavare il valore di uno dei due input da sostituire all’interno della funzione di isocosto, risolvendo per una delle due variabili otterremo il valore di uno, che se sostituito nell’uguaglianza tra MRST e w/r ci dirà anche il valore dell’altro.
I COSTI
Se ci viene chiesto di determinare le funzioni di costo nel breve e nel lungo periodo dovremo agire come riportato: NEL BREVE PERIODO La funzione dei costi totali è scritta come segue: TC = wL + rK, dove TC sono i costi totali (total cost), w è il costo del lavoro e r il costo del capitale. Nel breve periodo può capitare che ci venga fornito il valore di uno degli input (K solitamente, supponiamo sia 9), a questo punto lo possiamo sostituire all’interno dell’equazione di isoquanto (Q = KL —> Q = 9L ) e ricavare il valore di uno degli input (L = Q/9)
- – – – – – – – – – – – – – – – – Una volta ricavato il valore di uno degli input, si può sostituire all’interno dell’equazione dell’isocosto TC = wL + rK (se w ed r sono pari a 1 otterremo TC = Q/9 + 9) e otterremo una funzione composta da costi variabili (Q/9) e fissi (9) NEL LUNGO PERIODO In questo caso si renderà necessario fare un passaggio preliminare dal saggio marginale di sostituzione tecnica per poi sostituire all’interno dell’isoquanto Eguagliamo il saggio marginale di sostituzione tecnica (in questo caso K/L, ottenuto a partire dalla funzione di isoquanto Q = KL) al rapporto tra costo del lavoro e costo del capitale (w/r), supponendo che w ed r siano pari a 1 otterremo che K = L Sostituiamo K = L all’interno della funzione di isoquanto e otteniamo Q = L^2 —> L = ⎷Q, sapendo che K = L, allora anche K sarà uguale a ⎷Q. Il nostro obiettivo era ottenere un valore di Q sostituibile all’interno della funzione di isocosto TC = wL + rK, e, sapendo che sia K che L sono uguali a ⎷Q e che r e w sono uguali a 1 otterremo che TC = ⎷Q + ⎷Q, quindi TC = 2⎷Q CALCOLO DEI COSTI MEDI TOTALI, COSTI VARIABILI, COSTI FISSI, COSTI MEDI VARIABILI E COSTI MARGINALI Solitamente ci verrà fornita una funzione di costi totali, del tipo: TC = 4Q^3 - 12 Q^2 + 20Q + 16 Costi medi totali = TC / Q = 4Q^2 - 12Q + 20 + 16/Q Costi variabili = 4Q^3 - 12 Q^2 + 20Q (tutto ciò che dipende da Q) Costi fissi = 16 (tutto ciò che è indipendente da Q) Costi medi fissi = FC/Q = 16/Q Costi medi variabili = VC/Q = 4Q^2 - 12 Q + 20 Costi marginali = ∂TC / ∂Q = 12Q^2 - 24 Q + 20 oppure ΔVC/ΔQ Quando MC = AVC, AVC è al minimo Quando la derivata di ATC rispetto a Q = 0, ATC è minimizzato - ∂ATC/ ∂Q= AFC è un’iperbole che ha x tendente a 0 ATC ha un andamento simile a quello di AFC all’inizio, per poi andare verso AVC all’aumentare di Q Il valore minimo di MC è in corrispondenza della sua derivata pari a 0
- – – – – – – – – – – – – – – – – – – – In entrambi i casi sostituisco P e Q con le quantità ottimali trovate Nel lungo periodo la condizione di ottimo è P = LAC LAC = TC/Q La curva di offerta coincide a una retta che passa per il punto dove P = LAC Sostituendo Q ottimale in LAC otteniamo il P ottimale
RENDIMENTI DI SCALA
Ci viene fornita una funzione di produzione Q = …. Per capire se avrà rendimenti di scala crescenti, decrescenti o costanti basterà calcolare la somma degli esponenti di K ed L, se il risultato è: Pari a 1, rendimenti costanti Maggiori di 1, rendimenti crescenti Minori di 1, rendimenti decrescenti
MONOPOLIO
Ci verrà fornita una curva di domanda e una funzione di prezzo La condizione di ottimo è MR = MC TR = P * Q P è ottenibile a partire dalla curva di domanda solitamente La curva di offerta è pari alla curva dei costi marginali La curva dei ricavi marginali ha pendenza doppia rispetto alla curva di domanda, nel punto in cui interseca la curva dei costi marginali si avrà un prezzo pari ai costi marginali. La differenza tra P ricavato come prezzo di monopolio (MR = MC, ricavo Q, sostituisco nella curva di domanda in funzione di P) e P = MC è la base della perdita netta, mentre l’altezza è ricavata dalla quantità che si produrrebbe in concorrenza perfetta P=MC (con P ricavato sempre dalla curva di domanda) e la quantità prodotta in monopolio (ricavata da MR = MC) In caso di discriminazione perfetta si produrrà una quantità Q pari a P = MC Il surplus del monopolista in questo caso si calcola a partire dall’intercetta dell’asse y fino alla curva di MC e la base è dall’origine degli assi fino alla quantità prodotta in concorrenza perfetta I profitti sono pari al surplus dell’economia In caso di discriminazione di terzo tipo dovremo agire su due curve di domanda (e di prezzo) differenti Calcoliamo TR = P * Q
- – – – – – – – – – – – – – – – – – – Calcoliamo MR Imponiamo MC = MR e troviamo prezzo e quantità di equilibrio Calcoliamo i due profitti: π 1 = P1 * Q1 - TC (sostituendo Q1) π 2 = P2 * Q2 - TC (sostituendo Q2) π TOTALE = P1 * Q1 + P2 * Q2 - TC ( sostituendo Q1 + Q2)
OLIGOPOLIO
COURNOT
Competizione sulla quantità Ci vengono fornite una curva di domanda e due funzioni di costo totale TC1 e TC La curva di domanda la riscriviamo con la forma P = a - b(Q1 + Q2), dove a e b sono due costanti positive La condizione di ottimo è MC = MR Dividiamo in due casi e iniziamo a calcolare i costi marginali (MC1) dell’impresa con i costi totali rappresentati dalla funzione TC Per quanto riguarda i ricavi marginali (MR1) dobbiamo prima calcolare i ricavi totali (RT1), sapendo che i ricavi totali dell’impresa 1 sono calcolati con P * Q1, possiamo sostituire P con quanto abbiamo ricavato dalla curva di domanda A questo punto si devono calcolare i ricavi marginali a partire dai ricavi totali rispetto a Q Uguagliando MR a MC riusciremo a trovare la quantità prodotta dall’impresa 1 in funzione di Q2 (best response 1 - BR1) Ripetendo il processo per quanto riguarda TC2, MC2, TR2, MR riusciremo a ricavare la quantità prodotta dall’impresa 2 rispetto a Q A questo punto possiamo uguagliare le due quantità prodotte rispetto a Q1 e Q2 e sostituire il valore di una nella funzione dell’altra, ad esempio sostituendo il valore di Q2 nella funzione di Q1 otterremo numericamente la quantità prodotta dall’impresa 1, con il quale si potrà calcolare facilmente Q Potremo anche calcolare i prezzi sostituendo al posto di Q1 e Q2 i valori numerici ricavati Potremo anche calcolare i profitti (di ogni impresa e totali)
STACKELBERG
Competizione sulla quantità
MODELLO DI BERTRAND
Si tratta di una competizione sul prezzo Otteniamo le due funzioni di costi totale, la curva di domanda in funzione di P (Qtot = a - P) La condizione di equilibrio è P = MC Proseguiamo nel calcolare i costi marginali, uguagliamoli al prezzo e possiamo calcolare la quantità totale Nel caso le imprese siano identiche, potremo trovare la quantità di ogni singola azienda dividendo la quantità totale per il numero di aziende considerate Nel caso in cui una delle due aziende avesse una funzione di costi totale che consenta prezzi minori, essa soddisferà l’intero mercato comportandosi come un monopolista Nel caso in cui ci venga chiesto se una delle due imprese farebbe bene se si comportasse come monopolista, dovremo imporre MC = MR, calcolare Q per poi ottenere il prezzo e se, alla fine dei calcoli, otterremo che il prezzo di monopolio è maggiore del prezzo imposto dall’azienda concorrente in concorrenza perfetta, allora non converrà (solitamente è cosi)
MERCATO DEL LAVORO
Ci viene fornita la funzione che descrive la domanda e l’offerta di lavoro, nelle quali la variabile w indica il salario La condizione di ottimo è che la domanda di lavoro sia pari all’offerta di lavoro (otterremo w = L) Il grafico si descrive con w sull’asse delle ordinate e L inteso come persone che cercano e sarebbero disposte a lavorare sull’asse delle ascisse Il surplus dei datori di lavoro si calcola a partire dall’intercetta con l’asse delle ordinate fino al livello del salario di equilibrio (si intende il massimo salario che i datori sarebbero disposti ad offrire ad un lavoratore), mentre il surplus dei lavoratori si calcola a partire dall’origine degli assi fino al salario effettivamente percepito L’imposizione di un salario minimo maggiore del salario di equilibrio ha un effetto ambiguo sul surplus dei lavoratori, in quanto aumenta i salari ma diminuisce le possibilità di lavoro (diminuzione dell’offerta) Un salario minimo inferiore al salario di equilibrio non ha effetti sul surplus dei lavoratori
- (^) Possiamo calcolare i surplus a partire dalla funzione di domanda di lavoro sostituendo i salari minimi al posto di w
