Scarica Probabilità e Variabili Aleatorie: Esercizi e Formule - Prof. De Santis e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Probabilità e Statistica solo su Docsity!
hhh
Schema
Probabilità condizionata
Variabili aleatorie proprietà generali
Funzione di ripartizione
Proprietà
e è monotona non decrescente → allora
caso di una variabile casuale discreta → che è diverso dal limite sinistro
Funzione di ripartizione congiunta
se sono indipendenti
Varianza
Proprietà
se sono indipendenti
Covarianza
Fattorizzazione di un Evento se
Formula di Bayes
Sommatorie
Valore Atteso
Proprietà
se sono indipendenti
Deviazione standard è la quantità
P (E∣F ) =
P (F )
P (E ∩ F )
P (E∣F ) =
P (F )
P (F ∣E)P (E)
P (E) = P (E ∩ F ) + P (E ∩ F c) =^ P (E∣F )P (F ) = P (E∣F c^ )P (F c) =^ P (E∣F )P (F ) + P (E∣F c)P (1 − P (F ))
F (x) = P (X ≤ x)
0 ≤ F (^) X (x) ≤ 1 limx (^) →−∞ F (^) X (x) = 0 lim (^) x→∞ F (^) X (x) = 1 x 1 <x 2 F (^) X (x 1 ) ≤ F (^) X (x 2 ) P (x 1 <X ≤ x 2 ) =F (^) X (x 2 ) − FX (x 1 ) P (x 1 ≤X < x 2 ) =F (^) X (x 2 ) − FX (x 1 ) + P (X = x 1 ) −P (X = x 2 ) P (x 1 <X < x 2 ) =F (^) X (x 2 ) − FX (x 1 ) − P (X = x 2 ) P (x 1 ≤X ≤ x 2 ) =F (^) X (x 2 ) − FX (x 1 ) + P (X = x 1 )
limx (^) →x 0 +^ FX (x) =F (^) X (x 0 ) = lim (^) x→x 0 − F (^) X(x)
P (X = x 0 ) =lim (^) x→x 0 +^ F X(x) − limx (^) →x 0 − FX (x) =F (^) X (x 0 ) P (X < x 0 ) =lim (^) x→xo − F (^) X(x)
F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)
F (a, b) = P (X ≤ a, Y ≤ b) = F (^) X (a)F (^) Y(b)
Var(X) = E[X 2 ] −^ E[X]^2
Var(aX + b) = a Var^2 (X) Var(X + X) = Var(2X) = 4Var(X)
Var(X 1 +.. + X (^) n ) =Var(X 1 ) +... + Var(X (^) n)
E = ∪ (^) i^ n=1^ (E ∩F (^) i) P (E) = ∑i^ n=1^ P (E ∩F (^) i ) =∑i^ n=1^ P (E∣Fi ) P (F (^) i)
P (F (^) j ∣E) = ∑i^ n=1^ P (E∣F (^) i )P (F (^) i)
P (E∣F (^) j )P (F (^) j)
∑in i = 2
n + 1
∑in^ i 2 = 6
n(n + 1)(2n + 1)
∑in^ i 3 =( ∑in^ i)^2
∑in=m i = 2
(n − m + 1)(n + m)
∑i∞=0^ x n= 1 − x
E[X] = {
∑i x Pi (X = x (^) i) se X eˋdiscreta ∫−∞∞^ xf(x)dx se X eˋcontinua
E[g(x, y)] = {
∑x ∑y g(x, y)p(x, y) se X eˋdiscreta ∫−∞∞^ ∫−∞∞^ g(x, y)f(x, y)dxdy se X eˋcontinua
E[g(X)] = ∑xg(x)p(x) E[aX + b] = aE[X] + b E[X 1 +... + X (^) n] = E[X 1 ] + ... + E[X (^) n]
E[XY ] = E[X]E[Y ]
Var(X)
Variabili aleatorie discrete
Funzione di massa
Funzione di ripartizione
Funzione di massa congiunta
con e
da cui si ricavano le funzioni di massa individuali
se sono indipendenti
Funzione di massa condizionata
Funzione generatrice dei momenti
se sono indipendenti
Disuguaglianza di Markov
Se è una variabile aleatoria che non è mai negativa, allora per ogni
Disuguaglianza di Chebyshev
Se è una variabile aleatoria con e , allora per ogni
Variabili aleatorie continue Funzione di densità con → calcolata su un singolo punto vale 0
la densità è la derivata della funzione di ripartizione
Funzione di ripartizione
Funzione di densità congiunta con sottoinsiemi di
la densità è la derivata seconda della funzione di ripartizione Funzione di ripartizione congiunta con e
se sono indipendenti
Densità marginali → densità marginale di → densità marginale di se sono indipendenti
Densità condizionale
cioè
Funzione generatrice dei momenti
se sono indipendent
Bernoulli
con probabilità che l’evento si verifichi
, e
Bernoulli negativa Descrive il numero di fallimenti precedenti il successo esimo di un processo di Bernoulli
→ probabilità che si verifichino esattamente fallimenti prima di un successo
Cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ]
p(a) = P (X = a)
F (a) = ∑x≤ap(x)
p(x (^) i, y (^) i ) =P (X = x (^) i , Y =y (^) j ), i = 1, 2... j = 1, 2...
p (^) X (x (^) i ) =∑j p(x (^) i, y (^) j)
p (^) Y (y (^) j ) =∑i p(x (^) i, y (^) j)
p(x, y) = p (^) X (x)p (^) Y(y) FX Y (x, y) =F (^) X (x)FY (y)
p (^) X ∣Y (x∣y) =P (X = x∣Y = y) = p (^) Y(y)
p(x, y)
ϕ(t) = E[e tX^ ] =∑x e tXp(x)
ϕ ′(0) =^ E[X]
ϕ ′′^ (0) =E[X 2 ]
ϕ (n)(0) =^ E[X n]
ϕ (^) X +Y (t) =ϕ (^) X (t) +ϕY (t)
X
a > 0
P (X ≥ a) ≤ a
E[X]
X E[x] = μ Var(X) = σ^2 r > 0
P (∣X − μ∣ ≥ r) ≤ r^2
σ^2
B = [a, b] P (a ≤ X ≤ b) = ∫abf(x)dx
↕ f(a) = F (a) da
d
F (a) = P (X ∈ (−∞, a]) = ∫−∞^ a f(x)dx A, B R P (X ∈ A, Y ∈ B) = ∫B ∫Af(x, y)dxdy ↕ A = (−∞, a] B = (−∞, b] F (a, b) = P (X ≤ a, Y ≤ b) = P (X ∈ A, Y ∈ B) = ∫−∞^ a^ ∫−∞^ b f(x, y)dxdy
FX Y (x, y) =F (^) X (x)FY (y)
f (^) X (x)dx =∫−∞∞^ f(x, y)dy X f (^) Y (y)dy =∫−∞∞^ f(x, y)dx Y
f(x, y) = f (^) X (x)fY (y)
f (^) X ∣Y (x, y) = = f (^) Y(y)
f(x, y) f (^) X (x) P (X ∈ A∣Y = y) = P (X ∈ A)
ϕ(t) = E[e tX^ ] =∫−∞∞^ e tXf(x)dx ϕ ′(0) =^ E[X] ϕ ′′^ (0) =E[X 2 ] ϕ (n)(0) =^ E[X n]
ϕ (^) X +Y (t) =ϕ (^) X (t) +ϕY (t)
X ∽ Be(p) p =
X {
se si verifica altrimenti
P (X = 1) = p
P (X = 0) = 1 − p
E[X] = p
Var(X) = p(1 − p)
n−
P (k) = (k^ +^ n k − 1) p n(1 −^ p)k k
E[X] =
p
n
, → funzione di ripartizione
, → funzione generatrice dei
momenti
Se ,
c’è assenza di memoria cioè
Se è discreta
→ funzione di massa
Se con
o
Normale o Gaussiana
con valore medio , varianza
→ funzione di
densità
→ funzione generatrice dei momenti
Se allora
La somma di normali è ancora una normale con
,
Media Campionaria
Si considera una certa popolazione di elementi , ognuno dei quali ha
una grandezza numerica ( tali valori associati alle variabili sono i.i.d)
Si ha che sono media e varianza di tali valori.
Variabile normale standard Se allora
→ funzione di ripartizione
Teorema del Limite Centrale Siano delle variabili aleatorie i.i.d (indipendenti e identicamente distribuite), tutte con media e varianza , allora se è grande → è approssivativamente normale con
Approssimazione normale standard
Quindi per grande e qualsiasi vale
F (x) = P (X ≤ x) = 1 − e−λx^ x ≥ 0
ϕ(t) = λ − t
λ t < λ
E[X] =
λ
Var(x) = λ^2
X ∼ Esp(λ 1 ) Y ∼ Esp(λ 2 )
P (X > Y ) = ∫ 0 ∞^ ∫x^ ∞^ f (^) Y (y)f (^) X (x)dydx = λ 1 + λ 2
λ 1
P (X > s + t∣X > t) = P (X > s)
P (X > s + t) = P (X > s)P (X > t)
E[X] =
α + β
Var(X) = 12
(β − α)^2
X
p (^) i =n
X : S → {a, a + 1, a + 2, ...., b} a ≤ b
E[X] = (^2)
b + a
Var(X) = 12
(b − a + 1)^2 − 1 12
b 2 − 1
X ∽ N(μ, σ 2 ) μ = σ 2 =
f(x) = e 2 πσ
1 − 2 σ 2
(x−μ)^2
ϕ(t) = e
μt+ 2
σ t^2 t
E[X] = μ
Var(X) = σ^2
Y = αX + β
E[Y ] = αμ + β
Var(Y ) = α σ^2
μˉ =∑i^ n=1^ μi σˉ^2 =∑i^ n=1σi^2
∑i^ n=1^ X (^) i ∼N( ,μˉ σˉ^2 )
X 1 , ..., Xn
μ, σ^2
Xˉ^ =
n
X 1 + ... + Xn
E[ Xˉ^ ] =μ
Var( Xˉ^ ) = n
σ^2
X ∽ N(μ, σ 2 )^ Z ∽ N(0, 1)
Z = σ
X − μ
Φ(x) = e dy 2 π
∫−∞^ x^2
−y^2
P (X < b) = P ( < σ
X − μ ) = σ
b − μ P (Z < ) = σ
b − μ Φ( ) σ
b − μ
P (a < X < b) = P ( (^) σ <
a − μ σ <
X − μ σ ) =
b − μ P ( (^) σ <
a − μ Z <
σ ) =
b − μ
P (Z < ) −
σ
b − μ P (Z < ) = σ
a − μ Φ( ) − σ
b − μ Φ( ) σ
a − μ
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
X = X 1 +... + Xn μ σ^2 n X ∽ N(nμ, nσ 2 )^ X E[X] = nμ Var(X) = nσ^2
Z = ∽
σ n
X 1 + ... + X (^) n − nμ N(0, 1)
n x
P (Z < x) = P ( < σ n
X 1 + ... + X (^) n − nμ x) ≈ Φ(x)
