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2022
VARIABILI
ALEATORIE
esperimentoaleatorio
può
essere
per
esempio illancioda dado un
sondaggio
i risultati
e levariabilialeatorie che
siricavano dai
risultati
esempio referendum si no
risultato n ra
r
ma
tiro
fuori
la variabile aleatoriachepuòessere il
numero di si
riassume il
risultato delsondaggio
Def
se no se
lo
spaziocampionario onorauna variabile aleatoria cua
è una
applicazione x
dar a R
x e IR
Esempio
lanciodadidistinguibili
a A
K
I n K
I 6
S a
a 12 CER
S Cn
n her punteggiototale
xcn.rs
n
punteggio e dado
V
A DISCRETE
Def
a
r v a
se
l'insieme
di è
numerabile
ivaloriai sonocerti 2 x E B si
chiama
discreta
esempio S x esempio
sopra
Esempio 2
lancio
infinite
volte una moneta
a cui
wa
i wi tai oppure mi e
considero la variabile aleatoria x con
valori a
0
X
numerodi
lanciche
si
fanno
finché
siosserva testa
X
we
ma
min i e
lui t
DENSITÀ
Def
Data x
v A discreta a valori x x si chiama densità di
x la
funzione
Sx
x xe
xu
E
ci
P X Xi
ci
possono
essere
v A
che
si
riferiscono
ad esperimentidiversi ma
con
le stesse
probabilità
Esempio Aldo eBarbara canciano due dadi ciascuno 1 volta
A
punteggio
tot
di Aldo
B
Barbara
IP
A
n P Ben
Non è vero che B A
1A
hanno la
stessa densita
stessavariabilealeatoria
PROPRIETA DENSITÀ
via a valori x xn
densità
Sx
xi
P X x ti
le rupie
di
x xn con xe
xn
k
quante
sono
sono
g
cessi
binomiale
sn r è minore
di
f
eventi disgiunti
ciascunoconprobabilità
prci
pyn.ie
o IP Sn K
p
e_p
Esempio Prova di
Bernoulli
0310312022
Risultati successo
insuccesso
1 O
x
evento
successo
variabile dea
o
evento
insuccesso
p
P 1 probabilità di
successo
supponiamo
Ocp
e 1
Qual è la
densitàdiscreta
Ix
R x
novatori
ai
Sx
o IP X
p
1
a P x 1
p
p
Graficodelladensità
1
fx
si chiama densità
di
Bernoulli con
parametro
po
simbolo B a
p
Notazione se è data una v a Y con
la
scrittura
Yn B Ca
p
si intende
Ynavalori o o 1 e
IP
Y
p
e IP Y
e
P
n
prove
indipendenti risultati
osservazione
di nrisultati xn
i
o o xi
e
prima
di
osservarli non variabilialeatorie xn a valori 0,
supponiamo
che ex xn
fissati gli
eventi xn xn siano
indipendenti
e
Phi
o
up
e
Pixie
e
p
ri
problema Densità
di sn
numero
di
successi
di
nprove
su na valori o
a n
devocalcolare le
probabilità
di
assumere questivalori
passo e
P
Xi xi pxice.pt
ti
se
vi o trovo cap
se vi e trovo
p
passoa per
ognirupia
xn issato
abbiamo
P
Xe xn xn
ma
naaa
P IP xn xn
pace pin
panca pe
in
pxnnxnce
pjn
cxit.tn
Cr
xD
pace
pin
e
Questo vale sempre
se l'insieme di successi è ma i
re
successi
possono
capitare
in un
qualunque
sottoinsieme di te
elementi
dell'insieme dell'insieme
di n
cioè si ottengono
e successi con
f
possibili
n
prove
con
k successi
e cn e insuccessi
IP
Sn R
I
p
Ca
p
con r o 1 n
O x e
P X EX P
X
O
I
e IP XE
1 IP X O P X e
I
E
io x a
P x
ex
stesso
a P x a 1
1
Btt
SEE è
sorgano
i
costante
a trati continuada DX salta sui punti
che sono
aaaa
ma a aaaa
e sa
a e que
a
py
MEDIA
speranza ansa
va
discreto convalori n
Sx
densità
Deg
sichiamamedia di
X il numero
IEEX
E
Xi P X
cioè E ai
f
xi
se
i valori xi sono
infiniti
cioè
se
na una
serie si suppone
anche che la
serie sia
assolutamente
convergente
Zi xii
f
xi a
Esempio
x
risultato lancio
di
un
dado
p r
E
Kenz
6
EEX
II
K
E I
negano
lamediadeivalorichepotevotrovare
La
mediana
èunrisultato
Esempio X
Blu p
cioè P X 1
p
e P o e
p
EX
O
P
O 1 P
o le_p
i
p
p
la
p
di Bernoulli
corrisponde
con la media
Esempio X
B C
1
P O
I
P X
è
unavariabile
aleatoria
che
avrà valori
o
E TI O IP O
1
IP X 1 U P a
O
P
X
O 1 P
X
e U P X 2
o 1
I
I E
PROPRIETÀ
v a a b e
R
ax b è
una v a
le tax DI a IEEx b
perché se
x navalori xn a
x b ha
valori ax.tn amen
con probabilità
Pex xe P Ex xD
LETax b
E
taxi
b P
x xi
Fax
P x
E
b
P X xi
a
F
x i p
x x i
b
E
P
X xi
IEEX
aIETx b
in
particolare
se a
E
bi
b
comese la
considerassi
una
via
costante b
speranza dicostante costanteperchésto facendo
Lamediadi un
solovalore
Esempio X
lancio dado
e x_e
è
ke
1,
N XJ E XJ
E
NEXT
E
C
K
I I
È
Def
Si
chiama scarto quadratico medio di X la
radice
della varianza
di
NEXT
PROPRIETÀ 10.03.
N
AX
b A V X va D e R
Perché
le
tax
b a E X b
au
b
Perdefinizione Ntaxeb
E Lax b E tax b
I
E
Tlaxty au
b
III
E
Tar
X
a
2
a E
X
μ
N B UE
X
VEX C D CI
DENSITÀ di Poisson con parametro Reo
E la densità di una v A X a valori
0,
IN
tale che
P X
K
f
Cr
e
R
K
con K o e
si
denota
Per
Osservazioni
Fx
K O
È
e
II
1 perche
Io If
ex
her e
i
si
verifica che presa
sin Bin
Cnip
cioè
tale che
P si K
I
pace
pin
e
per
n
grande
e p piccolo
esempio nano np.io
fa
K
I
pace
pin
a e
i
gg molto
vicina
con Ramp
precisamente
p
E
LI
E E
C
I
e
È
Praticamente
serve
per
consolare
p
sn
K inmodo
approssimato
se n è grande
nano
I
1000
troppogrande
quindi
siapprossima
f
pacepin
si
scrive anchecon E
ro
P IX
ul
Ko E
Ix
s ro
o
X
u
ro
x
μ
a ro
es
prendendo er la probabilità di
osservare
valoridi lontanidona media
più
di 2 volte lo
scartoquadraticomedio è e la
densità
Geometrica con parametro
p
o
per
Esperimento
infinite
prove
binarie risultati o
e indipendenti ciascuna con probabilità
di successo
p
in ognuna
Tua discreta nodevo
prova
in cui osservosuccesso
per
la 1a volta
problema
calcolare la densità di
t
navalori
xe
xn risultatidellesingole prove
f
CK
P
T K
P
Xr 1 xe i 0 o
Lexi sono
indipendenti
P xe 1
Pha
P O
p up
ci
p
p
i pari
f
K a
p
i
p
per
r a a
si chiama densità Geometrica con parametro
p
simbolo
Glp
in particolare
è
per
po
osservazione km
per p
è decrescente
si
verifica
che
TI
E
il NET
è
PROPRIETA DENSITA
GEOMETRICA
Togepi
P T nem
It m
P
T n tu.me
sapendochele prime
prove Tan
prime aprove
senza
successo
nonnonnoavuto
successi
è
La
probabilità di farne
aure
senza
successo
verifica P T n
È
P t r
p
Ce_p
per_pi
atee
P Tan
G p
per
definizione di
probabilità
condizionata
P T nem IT
m
P
T nem
n t m
P
Tam
tanta e
t m o
t nem it m
P
t nem
P Tam
Xix
xn
Bin n
f
Quindi
e xp
μ
usuale
con o
senza rimpiazzo
numero medio
verdi
estrattecon
rimpiazzo
coppie
di
V A
DISCRETE
x via valori xe xe densità
Y
via valori
yoyo
densità
gg
densità
CONGIUNTA
E la
Sx
intersezione
cavarono
vuoi
prendonoinsieme
x ey
Ix
xi
gi
P X
xi.ly yi ti.si
PROPRIETÀ
Ix
x
y
o
fa
sx
xi
g
Esempio in una popolazione il 201 due
famiglie
na o
figli
il noi
no no e il 30 ne
ha 2
e i 10 na
na 3
ogni
gigliopuò
essere con ugualeprobabilità
maschioo femmina
nosigliafemmine
y
no
gigli
maschi
problema
scrivere la probabilitàcongiunta
valori o 1
y
valori
o 1
Devo
calcolare P
x
0
y
0 0.2 già
scritto neidati
e
yo
p
TITTI
e
y
e or
as on
sodenapossibilitoianesiasemmino
non
somiglia conungiglio
x e
y
e P e
y
e
y
a P
y
a o.is
as
as
sorganigieconagigi
P 2
y
a o
c'è
asimmetria a x
n.y.ie
P x_x
y
n
i
0.2oosoaas.ae
valoridi
y
paga
È
Y
oosoarsoo.us
magna
ga
o o o
o
ausasasonsaas
problema
densità di X
e
Y
cioè
sx
e
fi
Ix
x
P
X_x
Y y
somma sulle colonne
forma
aerea
probabilitàtotale
analogamente
fy
y
E
P
X
X
Y
y
somma sumeriche
Deg
seno x
y
coppia di
v a
discrete con valori
xi.gg
con
i
sent
con
densitàcongiunta
Ix
lxi.gs
P
x
x
y
y
Ledensita
sx
ai e
fu
di
y
si
chiamano densità marginali
sitrovano da
sx
xi P
xi
E
x_x
y y
E
sx
x
y
analogamente
si
ys
