formulario quantistica, Schemi e mappe concettuali di Meccanica Quantistica

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Formulario di

Meccanica Quantistica

Guido Cioni

11 febbraio 2011

4 INDICE

Capitolo 1

Principi della meccanica

quantistica

Stato Quantistico Gli stati quantistici identificano lo stato in cui si trova una particella e vengono descritti da funzioni d’onda del tipo ψ({q}, t) = ψ(x, y, z, t).

Probabilit´a ψ ´e una distribuzione di probabilit´a quindi non c’´e energia associata (come nelle onde E.M.).

dP = |ψ({q}, t)|^2 · d^3 q (1.1)

La probabilit´a deve essere normalizzata quindi deve valere la con- dizione (^) ∫ |ψ({q}, t)|^2 · d^3 q = 1 (1.2)

Sovrapposizione di stati Lo stato cψ, (c ∈ C) ´e fisicamente equivalente a ψ. Se ψ 1 , ψ 2 sono due stati possibili per un sistema allora anche ψ = c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 lo ´e.

• ψ = c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 ↔ |ψ⟩ = c 1 |ψ 1 ⟩ + c 2 |ψ 2 ⟩.
• Per due sistemi isolati la funzione d’onda complessiva ´e data dalla composizione ψAB = ψA · ψB.
• Gli stati ψ e ψ · eiα^ sono equivalenti poich´e differiscono solo di una fase.

Operatore Lineare Ad ogni variabile dinamica classica ´e associato un operatore lineare con media data da

⟨q⟩ψ = ⟨ψ|q|ψ⟩ =

dq|ψ(q)|^2 =

dq · ψ∗(q)qψ(q) (1.3)

La misura effettuata sperimentalmente deve assumere in media questo risultato.

5

• qψˆ (q, t) = qψ(q, t) ⇒ qˆ → q
• pψˆ (q, t) = − iℏ (^) ∂q∂ ψ(q, t) ⇒p ⃗ ˆ→ − iℏ∇⃗

Indeterminazione di Heisenberg ∆q · ∆p ≥ ℏ/2 , ovvero non si pos- sono misurare con la stessa precisione sia la posizione che l’impulso di una particella (pacchetto d’onda). Il pacchetto d’onda Gaussiano minimizza questa relazione di indeterminazione.

Evoluzione di un sistema isolato L’evoluzione di un sistema isolato si ricava dell’equazione di Schroedinger indipendente dal tempo

iℏ

d dt ψ(q, t) = Hˆ(ˆq, p, tˆ )ψ(q, t) (1.6)

Hˆ ´e definito come operatore Hamiltoniano : Hˆ(ˆq, p, tˆ ).

Evoluzione di un sistema isolato (non dipendente dal tempo) { iℏ∂tψn(q, t) = Hˆ(ˆq, p, tˆ )ψn(q, t) Hψn = Enψn

⇒ iℏ∂tψn = Enψn (1.7)

Quindi ψn(t) = e−^ iEnt/ℏψn(0).

• ψ =

n an^ e −iEnt/ℏψn(0) dove an ≡ ⟨ψn|ψn(0)⟩.

• Nell’evoluzione temporale il valor medio delle osservabili cambia

⟨O⟩ψ = ⟨ψ|O|ψ⟩ = ⟨ψ|[O, H]|ψ⟩ (1.8) ⟨O⟩ψ = 0 ⇔ O, H commutano (1.9)

Autovalori Continui La ricerca di autovalori soluzioni dell’equazione di Schroedinger pu essere fatta nel discreto (fn) o nel continuo. In quest’ultimo caso si cercano delle funzioni f tali che f ψˆ f (q) = f ψf (q) .

• Autostati relativi ad autovalori diversi sono ortogonali.
• La condizione di ortonormalit´a si pone con l’analogo della delta di Kroenecker nel caso continuo : δ di Dirac. ∫ dqψ∗ f (q) · ψf ′ (q) = δ(f − f ′) (1.10)

Propriet´a della delta di Dirac Elenchiamo alcune propriet´a della Delta di Dirac.

• δ(x) ≡

0, per x ̸= 0 ∞, per x = 0

8 CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

b a

δ(x − c)g(x) dx =

g(c), se a < c < b 0, altrimenti

• δ(−x) = δ(x) , xδ(x) = 0
• δ(ax) = δ |(ax|)
• δ(f (x)) =

∑n i=

δ(x−xi |f ′(xi)|

0 dxδ(x)f^ (x) =^ f^ (0)/^2

• (^) ddx ϑ(x) = δ(x) dove si ´e definita la funzione scalino

ϑ(x) ≡

1, per x ≥ 0 0, per x ≤ 0

La funzione δ ´e il limite di alcune funzioni come limϵ→ 0 e − √x^2 /ϵ^2 πϵ o limL→∞^

sin Lx πx.

Trasformata di Fourier :

F (x) ≡

−∞

e−^ ikx^ Fˆ (k) dk ; Fˆ (k) =

2 π

−∞

eikxF (x) dx (1.14)

Autostati degli operatori di posizione/impulso Gli autostati degli op- eratori p,ˆ qˆ si possono trovare facilmente risolvendo le differenziali associate.

• xψˆ x 0 (x) = x 0 ψx 0 (x) ⇒ ψx 0 (x) = δ(x − x 0 )
• pψˆ p 0 r (⃗ ) = − iℏ∇(ψp 0 r(⃗ )) = p 0 ψp 0 r(⃗ ) ⇒ ψp 0 r( ⃗) = (^) (2πℏ^1 ) 3 / 2 epi^ ⃗^0 r/·⃗^ ℏ.

Stati legati La particella ´e confinata in una regione definita dello spazio, ovvero ψ → 0 per r → ±∞. La funzione d’onda ´e normalizzabile ,ovvero ∥ψ∥ = 1 (autovalori discreti).

Equazione di Schroedinger indipendente dal tempo

Hψ = Eψ ⇒

p|⃗ |^2 2 m

• V r(⃗ )

= Eψ ⇒

ℏ^2 ∇^2

2 m

• V r(⃗ )

ψ = Eψ (1.15)

Teorema 1.0.1 (Teorema di Ehrenfest). I valori medi degli operatori di posizione,impulso e del potenziale soddisfano alle relazioni seguenti

d dt ⟨m⃗r ⟩ = p⟨⃗ ⟩ ;

d dt p⟨⃗ ⟩ = −⟨∇V ⟩. (1.16)

10 CAPITOLO 1. PRINCIPI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Capitolo 2

Equazione di Schroedinger

1-Dimensionale

L’equazione di Schroedinger unidmensionale risulta molto importante in quanto problemi fisici in 3 dimensioni si possono ricondurre allo studio di 3 diverse equazioni di S. unidimensionali. ( −

ℏ^2

2 m

d^2 dx^2

• V (x)

ψ(x) = Eψ(x) (2.1)

Questa equazione differenziale deve essere risolta

1. Trovando i valori En per cui esistono soluzioni (ricerca dello spettro)
2. Trovando le ψn , autofunzioni relative agli En ,con le condizioni

(a) ∥ψ(x)∥ = 1 ⇒ stati legati , ovvero autovalori En discreti. (b) Altrimenti se ∥ψ(x)∥ > +∞ basta richiedere che ψ si manten- ga limitata all’infinito (parte continua dello spettro), ovvero che appartenga all’insieme S =

ψ(x) : lim|x|→∞ xN^ · ψ(x) = 0, ∀N

Propriet´a dell’equazione di S. Elenchiamo alcune propriet´a utili nella risoluzione dell’equazione di S. per sistemi unidimensionali.

• Le funzioni ψ, ∇ψ sono continue ∀n
• Dall’equazione (2.1) si ricava la forma

ψ′′^ = − 2 m(E − V (x)) ℏ^2

ψ (2.2)

. La regione classicamente accessibile ´e quella in cui V (x) < E : in questa regione c’´e un’oscillazione stabile. Nella zona non classicamente accettabile invece E > V (x) c’´e un andamento instabile.

11

Oscillatore Armonico L’Hamiltoniana ´e H = p^2 / 2 m + mω^2 x^2 /2 , quindi bisogna risolvere d^2 ψ dx^2

2 m ℏ^2

(E − mω^2 x^2 /2)ψ = 0

. Si ricavano gli autovalori

En = ωℏ 2

(2n + 1) = ωℏ(n + 1/2)

. La funzione d’onda dell’n-esimo stato ´e data da

ψn(x) =

( (^) mω ℏπ

) 1 / 4 (^1

2 nn!

Hn

mω ℏ x

e−^

mω 2 ℏ x 2

Operatori di creazione e distruzione Si definiscono rispettivamente l’- operatore di distruzione e creazione come   

a ≡

√ (^) mω 2 ℏ x^ + i

1 2 mωℏ p a†^ ≡

√ (^) mω 2 ℏ x^ −^ i

1 2 mωℏ p^

Invertendo gli operatori si ha   

x =

ℏ 2 mω (a^ +^ a

p = − i

mωℏ 2 (a^ −^ a

Applicando questo operatore allo staton-esimo si ha (ψn ≡ n) a|n⟩ =

n|n − 1 ⟩ ; a†|n⟩ =

n + 1|n + 1⟩.

Numero di occupazione Conta il numero di fononi nello stato sul quale agisce N ≡ a†a .

Operatori a,a†^ per oscillatore armonico Con gli operatori di creazione e distruzione la formulazione delle soluzioni per l’oscillatore armonico diventa pi´u elegante.  



Ha|E⟩ = (E − ℏω)a|E⟩ Ha†|E⟩ = (E + ℏω)a†|E⟩ H = ωℏ(aa†^ + 1/2)

⇒ En = ℏω(n + 1/2) (2.9)

Gli autostati corrispondenti ad En sono dati dalla formula

|n⟩ =

(a†)n √ n!

|o⟩ (2.10)

dove 0|rangle ´e lo stato fondamentale in cui H|o⟩ = ℏω/ 2 |o⟩

14 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI SCHROEDINGER 1-DIMENSIONALE

Stati Coerenti L’indeterminazione ∆x·∆p assume il minimo valore : sono i pacchetti d’onda pi´u compatti possibili. Per questi valgono quindi le propriet´a seguenti.

1. (∆x)^2 (∆p)^2 = ℏ^2 / 4
2. La funzione d’onda in questi stati ´e una Gaussiana

ψ(x) = N exp

(x − x 0 )^2 2 ℏ

mω

exp (p 0 x) (2.11)

ove sono stati definiti

x 0 ≡

mω ℜ(β) ; p 0 ≡

2 mωℏℑ(β)

e β ´e l’autovalore dell’equazione di S.

3. L’evoluzione temporale delle ψ sempre uno stato coerente poich´e ´e equivalente a meno di una fase : |β(t)⟩ = e−^ iωt/^2 | e−^ iωtβ⟩.

Processo d’urto Processo in cui una particella libera attraversa una zona di potenziale che varia con la posizione. La funzione d’onda subisce quindi una modificazione nel passaggio. L’onda incidente ψ⃗k = A ei⃗k⃗x , A = m/ℏ|⃗k| viene divisa in onda riflessa ∝ e−^ ikx^ e onda trasmessa ∝ eikx.

Barriera di potenziale In questa condizione il potenziale ´e dato da

V =

0 , per x < 0 , x > a V 0 > 0 , per 0 ≤ x ≤ a

1. Se E > V 0 le soluzioni sono

ψI = eikx^ + A e−^ ikx^ con k =

2 mE/ℏ (2.12) ψII = B eik ′x

• B′^ e−^ ik ′x con k′^ =

2 m(E − V 0 )/ℏ (2.13) ψIII = C eikx^ solo onda trasmessa (2.14)

Imponendo la continuit´a si ricava

D ≡

|Jtras| |Jinc|

4 k^2 k′^2 4 k^2 k′^2 + (k^2 − k′^2 )^2 sin^2 (k′a)

R ≡

|Jrif l| |Jinc|

(k^2 − k′^2 )^2 sin^2 k′a 4 k^2 k′^2 + (k^2 − k′^2 )^2 sin^2 k′a

(a) D + R = 1 e D ̸= 0 : diversamente da quanto succede classicamente c’´e la possibilit´a che la particella attraversi la barriera (effetto tunnel ).

16 CAPITOLO 2. EQUAZIONE DI SCHROEDINGER 1-DIMENSIONALE

Buca di potenziale δ In questo caso V (x) = −gδ(x) con g > 0. Le condizioni al contorno da porre sono { ψ(0−) = ψ(0+) ≡ ψ(0) ψ′(0+) − ψ′(0−) = − 2 mg ℏ 2 ψ(0)

1. Se E < 0 (spettro discreto)

ψ(x) =

k

ϑ(x) ekx^ + ϑ(x) e−kx

con k ≡

− 2 mE 0 ℏ^2

2. Se E ≥ 0 (spettro continuo)

ψ(x) = ϑ(−x)

[

A eik ′x

• B e−ik ′x]
• ϑ(x)

[

C eik ′x

• D e−ik ′x]

con k′^ =

2 mE/ℏ^2. Le ampiezze sono legate dalla matrice di transizione ( C D

1 + iα iα − iα 1 − iα

A

B

Barriera di potenziale δ E’ simile al caso precedente, ma stavolta g < 0. Non ci sono stati legati e lo stato di diffusione generale ´e espresso dalla stessa ψ con i coefficienti del caso precedente.

D =

1 + α^2

R =

α^2 1 + α^2

Capitolo 3

Aspetti strutturali della

Meccanica Quantistica

Postulati Valgono i seguenti postulai

1. Ad ogni sistema quantistico ´e associato uno spazio di Hilbert separabile H. Ogni stato quantistico ´e un vettore unitario in H a meno di una fase.
2. Ad ogni osservabile A corrisponde un operatore aggiunto Aˆ in H .
3. Il valor medio di un’osservabile A su uno stato quantistico ´e dato da ⟨ψ| Aˆ|ψ⟩.
4. L’evoluzione temporale si trova con l’operatore aggiunto Hamil- toniano. iℏ

∂t |ψ(t)⟩ = H|ψ⟩

.

5. Alle variabili q, p sono associati operatori ˆq, ˆp che rispettano le regole di commutazione [ˆq, pˆ] = iℏ.

Prodotto scalare Nella metrica degli spazi di Hilbert il prodotto scalare ´e rappresentato da un integrale di Lebesgue

⟨ϕ|ψ⟩ ≡

dyϕ∗(y)χ(y) (3.1)

In particolare

⟨q|q′⟩ =

dxδ(q − x)δ(q′^ − x) = δ(q − q′) (3.2)

Spettro di un operatore autoaggiunto Spettro discreto F ψˆ n = fnψn con ∥ψn∥ = 1 Spettro continuo Vale il criterio di Weyl : f fa parte dello spettro di Fˆ se esiste una successione {ψn}, ∥ψn∥ = 1 , tale che

nlim→∞ ∥^ F ψˆ n^ −^ f ψn∥^ = 0

Operatori unitari Un operatore U con dominio H e immagine H si dice unitario se ∀x, y ∈ H , ⟨U x, U y⟩ = ⟨x, y⟩

. Le propriet´a di questi operatori si riassumono nel seguente eleneco - U ammette inverso unitario. - Ogni operatore unitario ´e lineare. - U †U = U U †^ = I ; U †^ = U −^1 - ⟨ϕ|O|ψ⟩ = ⟨ϕ|U †U OU †U |ψ⟩ = ⟨ ϕ˜| O˜| ψ˜⟩ dove | ψ˜ ≡ U |ψ⟩ , | ϕ˜⟩ ≡ U |ϕ⟩ , O˜ ≡ U OU †. La trasformazione degli stati e degli operatori definiti da queste equazioni ´e chiamata trasformazione unitaria : gli stati e gli operatori in meccanica quantistica sono definiti a meno di trasformazioni unitarie. - Gli autovalori di un operatore unitario hanno norma unitaria. - Due autovettori relativi ad autovalori diversi sono ortogonali.

Evoluzione temporale L’evoluzione temporale del sistema in meccanica quantistica ´e una trasformazione unitaria , |ψ(t)⟩ = e−^ iHt/ℏ|ψ(0)⟩ (3.7) Infatti l’equazione precedente ´e la soluzione formale dell’equazione di Schroedinger (^) { iℏ (^) ∂t∂ |ψ(t)⟩ = H|ψ(t)⟩ |ψ(t)⟩|t=0 = |ψ(0)⟩

Schema di Heisenberg Si sceglie la trasformazione unitaria dipendente dal tempo data da U (t) = eiHt/ℏ. Con questa lo stato e l’operatore O generico si trasformano in |ψ⟩H = U (t)|ψ(t)⟩S = eiHt/ℏ|ψ(t)⟩S = |ψ(0)⟩S (3.9) OH (t) = U (t)OU (t)†^ = eiHt/ℏO e−^ iHt/ℏ^ (3.10) In questa rappresentazione l’evoluzione temporale si ottiene con l’e- quazione iℏ

dOH dt = iℏ

∂OH

∂t

+ [OH , H] (3.11)

Valgono le propriet´a seguenti

20 CAPITOLO 3. ASPETTI STRUTTURALI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

• [qiH (t), pjH (t)] = iℏδij
• HH = U HS U †^ = HS

Stati Misti Talvolta, nel descrivere un sottosistema di un sistema formato da un numero elevato di componenti (∼ 1023 ) si ha accesso solo ad una parte delle variabili dinamiche quindi non possibile utilizzare le funzioni d’onda : c’´e quindi una mancanza di informazione completa sul sistema. Considerando quindi un sistema Σ , composto da un sot- tosistema S , la funzione d’onda del sistema totale non ´e fattorizzabile, ovvero ΨΣ({x}, {q}) ̸= ψS ({x}) · ψΣ\S ({q})

Matrice densit´a Si utilizza per calcolare il valor medio di operatori che riguardano variabili di un sottosistema∑ S ⊂ Σ: Si sceglie Ψ(x, q) = j,α cj,α|j⟩|α⟩^ con^ {|j⟩}^ base di^ S^ e^ {|α⟩}^ base di Σ\S^ e si calcola

⟨ fˆ ⟩Ψ = ⟨Ψ| fˆ |Ψ⟩ =

j,α

c∗ jαckα⟨j| fˆ |k⟩ =

j,k

α

(ckαc∗ jα) fˆjk ≡

jk

ρkj fˆjk

(3.12) Abbiamo definito ρjk ≡

α

cjαc∗ kα

come matrice densit´a. Valgono le propriet´a seguenti.

1. Il valore di aspettazione di una variabile (valor medio dell’opera- tore) ´e dato da

⟨ fˆ ⟩Ψ =

jk

ρkj fˆjk = Tr(ρf )

2. ρ†^ = ρ
3. Trρ = 1
4. 0 ≤ ρij ≤ 1, ∀i = j
5. |ρjk|^2 ≤ ρjj ρkk
6. ρ^2 ̸= ρ in generale. Nel caso puro vale l’uguaglianza : in effetti gli stati puri sono una particolare classe di stati misti.

Matrice statistica E l’analogo della matrice densit´´ a nel caso di sistemi con molti gradi di libert´a. Combinando la relazione statistica , Wn = 1 N e

−En/kT (^) , con la definizione dell’n-esimo stato , |n⟩ = ∑ j an,j^ |j⟩^ si ottiene che il valor medio ´e dato da

⟨ fˆ ⟩n =

ij

wij fji = Tr(wf )