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Meccanica Quantistica
- October Alessandro Ballini
- 1 Formalismo matematico in MQ Contents
- 1.1 Notazione di Dirac
- 1.2 Ortogonalit
a, ortonormalita e basi - 1.3 Operatori
- 1.4 Autovalori e autovettori
- 1.5 Relazione di indeterminazione generalizzata
- 1.6 Matrici di Pauli
- 2 Posizione, impulso e traslazione
- 2.1 Spettri continui
- 2.2 Traslazione
- 2.3 Operatore impulso nella base delle coordinate
- 2.4 Pacchetto d’onda gaussiano
- 2.5 Esercizi e osservazioni
- 3 Equazione di Schrodinger
- 3.1 Hamiltoniano indipendente dal tempo
- 3.2 Rappresentazione di Heisenberg
- 3.3 Interpretazione probabilistica della meccanica quantistica
- 3.4 Limite classico dell’equazione di Schrodinger
- 3.5 Nucleo integrale di evoluzione
- 3.5.1 Nucleo integrale di evoluzione per particella libera
- 4 Oscillatore armonico
- 4.1 Oscillatore armonico unidimensionale con metodo algebrico
- 4.2 Oscillatore armonico unidimensionale con equazione di Fuchs
- 4.3 Oscillatore armonico in rappresentazione di Heisenberg
- 4.4 Stati coerenti
- 5 Momento angolare
- 5.1 Relazioni di commutazione del momento angolare
- 5.2 Autovalori e autostati del momento angolare
- 5.3 Momento angolare orbitale
- 5.3.1 Particella carica in campo elettromagnetico
- 5.4 Somma di momenti angolari
- 6 Hamiltoniano con potenziale centrale
- 6.1 Hamiltoniano moto relativo
- 6.2 Potenziale coulombiano
- 7 Potenziali costanti e potenziale lineare
- 7.1 Buca infinita
- 7.2 Buca finita simmetrica
- 7.3 Potenziale delta
- 7.4 Barriera di potenziale
- 7.5 Potenziale lineare
- 7.6 Approssimazione WKB
- 8 Teoria delle perturbazioni - genere 8.1 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso non de-
- 8.2 Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo: caso degenere
- 8.3 Applicazioni
- 8.3.1 Effetto Stark
- 8.3.2 Correzione relativistica dell’energia cinetica
- 8.4 Teoria delle perturbazione dipendenti dal tempo
- 9 Particelle identiche
1.2 Ortogonalita, ortonormalita e basi
Lavoriamo ora su spazi finito-dimensionali. Una volta introdotto un prodotto hermitiano (definito positivo) `e sempre possibile definire una norma su H po- nendo
∥ϕ∥ :=
p ⟨ϕ|ϕ⟩
ed un concetto di ortogonalit`a ponendo
α ⊥ β ⇐⇒ ⟨α|β⟩ = 0
In particolare un ket `e detto normalizzato se
∥ϕ∥ = 1
Un ket |ψ⟩ con norma non unitaria pu`o sempre essere normalizzato considerando un nuovo ket |ψ′⟩ dato da
|ψ′⟩ =
∥ψ∥
|ψ⟩
Consideriamo ora uno spazio H di dimensione finita n e un’insieme di n vet- tori linearmente indipendenti {|i⟩ : i = 1,... , n}. Tale insieme costituisce una base dello spazio H, in particolare puo sempre essere trasformata in una base ortonormale con il procedimento di Gram-Schimdt. In MQ vengono chiamati completi insiemi di n vettori linearmente indipen- denti, mentre vengono chiamati basi dello spazio H insiemi di n versori linear- mente indipendenti tra loro ortogonali. Le basi permettono di dare un ”nome” ai ket, consideriamo uno spazio H e una base {|i⟩ : i = 1,... , n} di H, allora ogni ket puo essere scritto come combinazione lineare degli elementi di base, ovvero per ogni |ψ⟩ esistono unici c 1 ,... , cn ∈ C tali che
|ψ⟩ =
X^ n
i=
ci |i⟩
a questo punto esiste una corrispondenza biunivoca (o omomorfismo) tra H e Cn, pertanto possiamo identificare un ket come una n-pla
|ψ⟩ ⇐⇒
c 1 . . cn
e, in questa ottica, il bra non diventa altro che il trasposto coniugato, ovvero un vettore riga della forma
⟨ψ| ⇐⇒ (c∗ 1 ,... , c∗ n)
inoltre il prodotto interno diventa moltiplicazione matriciale tra un vettore riga ed un vettore colonna. Possiamo indicare l’i-esima componente di un ket (bra) con l’i-esima entrata della n-pla che lo identifica
|ψ; i⟩ = ci ⟨ψ; i| = c∗ i
per ogni i = 1,... , n.
Trattiamo come operatore anche il prodotto esterno (ket - bra), ovvero
|α⟩ ⟨β|
agisce come operatore secondo la seguente definizione
|α⟩ ⟨β| |ψ⟩ = ⟨β|ψ⟩ |α⟩
inoltre, per quanto visto in (1. 3 .1) si ha che
(|α⟩ ⟨β|)†^ = |β⟩ ⟨α|
Una volta introdotta la rappresentazione matriciale di A rispetto ad una base ortonormale si ha che l’operatore autoaggiunto o hermitiano prende la forma della matrice trasposta coniugata.
1.4 Autovalori e autovettori
Teorema: ogni operatore hermitiano ha tutti autovalori reali e ammette una base ortonormale di autovettori.
Dimostrazione: (caso non degenere) sia A un operatore hermitiano, allora A†^ = A. Consideriamo l’insieme degli autovettori di A
{|ai⟩ ∈ H : A |ai⟩ = ai |ai⟩}
si ha che
⟨aj | A = ⟨aj | a∗ j
dunque
⟨aj |A|ai⟩ = a∗ j ⟨aj |ai⟩ ⟨aj |A|ai⟩ = ai ⟨aj |ai⟩
pertanto si ottiene
0 = (ai − a∗ j ) ⟨aj |ai⟩
per ogni i, j = 1,... , n. Se i = j si ha ⟨ai|ai⟩̸ = 0 dunque deve valere ai = a∗ i , cioe ai ∈ R. Se i ̸= j, poich´e per ipotesi lo spettro di Ae non degenere (ai ̸= aj ), deve valere ⟨aj |ai⟩ = 0, cio`e gli autovettori di A sono mutualmente ortonormali.
Definiamo il valore medio di un operatore A rispetto ad uno stato arbitrario |ψ⟩ essere
⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ =
X
ij
⟨ψ|aj ⟩ ⟨aj |A|ai⟩ ⟨ai|ψ⟩
X
ij
ai| ⟨ai|ψ⟩ |^2 δij
X
i
ai| ⟨ai|ψ⟩ |^2
ovvero `e una media pesata degli autovalori di A con pesi | ⟨ai|ψ⟩ |^2.
1.5 Relazione di indeterminazione generalizzata
Consideriamo due osservabili A e B, i loro valori medi (in riferimento ad uno stato generico |ψ⟩) sono dati da
⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩ ⟨B⟩ = ⟨ψ|B|ψ⟩
1.6 Matrici di Pauli
Le 3 matrici di Pauli unite alla matrice identita formano una base di M 2 (C) con proprieta molto utili. Le matrici di Pauli sono le seguenti
σ 1 =
σ 2 =
0 −i i 0
σ 3 =
Notiamo immediatamente che sono tutte matrici hermitiane (rappresentano op- eratori autoaggiunti). Inoltre σ^2 i = 1 per ogni i = 1, 2 , 3 ed e facile verificare la seguente identita
σiσj = 1 δij + iεijkσk
per i, j, k = 1, 2 , 3.
Sia A ∈ M 2 (C), allora
A = c 01 + c 1 · σ 1 + c 2 · σ 2 + c 3 · σ 3
con c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ C, ovvero
A =
c 0 + c 3 c 1 − ic 2 c 1 + ic 2 c 0 − c 3
ci`o comporta che una matrice hermitiana generica deve soddisfare
c∗ 0 + c∗ 3 = c 0 + c 3 c∗ 0 − c∗ 3 = c 0 − c 3 c∗ 1 − ic∗ 2 = c 1 − ic 2 c∗ 1 + ic∗ 2 = c 1 + ic 2
pertanto c 0 , c 1 , c 2 , c 3 ∈ R. Con abuso di notazione si pu`o scrivere
A = c 01 +c⃗ ·σ⃗
avendo postoc ⃗= (c 1 , c 2 , c 3 ) eσ⃗ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ). Poniamo
ˆn =
∥c⃗∥
c := (n 1 , n 2 , n 3 )
e notiamo che la matrice
ˆn ·σ⃗ =
n 3 n 1 − in 2 n 1 + in 2 −n 3
ha sempre autovalori λ± = ±1, infatti il polinomio caratteristico `e
p(λ) = (λ − n 3 )(λ + n 3 ) − n^21 − n^22 = λ^2 − (n^21 + n^22 + n^23 ) = λ^2 − 1
dunque concludiamo che la matrice ∥c⃗∥(ˆn ·σ⃗) ha autovalori λ (^) ± = ±∥c⃗∥, inoltre, siccome si ha che
A = c 01 + ∥c⃗∥(ˆn ·σ⃗)
concludiamo che la matrice A ha autovalori c 0 ± ∥c⃗∥. Dunque avendo note le coordinate di A rispetto alle matrici di Pauli si conoscono immediatamente gli autovalori di A.
Determiniamo ora gli autovettori di A. Per fare ci`o dobbiamo determinare
ker(A − λ± 1 )
ovvero `e necessario risolvere il seguente sistema lineare
( (n 3 ∓ 1)x + (n 1 − in 2 )y = 0 (n 1 + in 2 )x − (n 3 ± 1)y = 0
le equazioni sono linearmente indipendenti ovviamente. Risolvendo la seconda si ottiene
(n 1 + in 2 )x = (n 3 ± 1)y
ovvero
|+⟩ˆn =
r 1 + n 3 2
n 1 +in 2 n 3 +
|−⟩ˆn =
r 1 − n 3 2
n 1 +in 2 n 3 − 1
si abbia
T (dx′)T (dx′′) = T (dx′^ + dx′′)
La terza proprieta riguarda l’invertibilita della traslazione, in particolare ha senso richiedere che
T (−dx) = T −^1 (dx)
Infine, la quarta proprieta riguarda la continuita dell’operatore traslazione in- finitesima, in particolare imponiamo
lim |dx|→ 0
T (dx) = 1
Scegliendo l’operatore di traslazione infinitesima della seguente forma
T (dx) = 1 − iK · dx
con K = (Kx, Ky , Kz ) operatore vettoriale hermitiano, vengono soddisfatte tutte le proprieta argomentate. Inoltre, accettando questa forma come corretta,e possibile ricavare una relazione fondamentale di commutazione tra l’operatore x e K, ovvero
xT (dx) |x⟩ = x |x + dx⟩ = (x + dx) |x + dx⟩ T (dx)x |x⟩ = x |x + dx⟩
pertanto concludiamo che
[x, T (dx)] = dx |x + dx⟩ ≃ dx |x⟩
dove nell’ultima parte `e stato trascurato il contributo di ordine quadratico in dx. Sviluppando i conti si ottiene
[x, T (dx)] = −ixK · dx + iK · dxx = dx
scegliendo dx nella direzione xj e formando il prodotto scalare con xi si ottiene
[x, T (dx)] = −ixiKj dxj + iKj dxj xi = xiKj dxj − Kj dxj xi = iδij dxj
ovvero
[xi, Kj ] = iδij (2.1.1)
A questo punto prendiamo in prestito dalla meccanica classica che l’impulso `e il generatore delle traslazioni infinitesime. Tuttavia l’operatore K ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza, siamo quindi portati a pensare che
K =
p costante universali con dimensioni di azione
Viene quindi naturale pensare che
K = p ℏ
segue da (2. 1 .1) che
[xi, pj ] = iℏδij
e dalla relazione generalizzata di indeterminazione otteniamo la seguente re- lazione fondamentale della MQ
∆x^2 i ∆p^2 i =
ℏ^2
Per determinare la forma operazionale di una traslazione finita componiamo N traslazione infinitesime di ∆x/N nella direzionex⃗ (direzione arbitraria)
T (∆x⃗x) = lim N →∞
1 − i
px∆x ℏN
N
= e−i^
px ℏ∆x
in generale, per una traslazione di una quantit`a a|⃗| in un direzionea⃗ si ha
T a(⃗) = e −i^
pa·⃗ ℏ
Infine, la relazione di commutazione tra le traslazioni ci porta alla seguente relazione di commutazione fondamentale
[pi, pj ] = 0
per ogni i, j = x, y, z.
2.3 Operatore impulso nella base delle coordinate
Consideriamo un ket |α⟩, nella base delle coordinate pu`o essere espresso come segue
|α⟩ =
Z
R
dx |x⟩ ⟨x|α⟩
pertanto si ha che
T (dx) |α⟩ =
Z
R
dx |x⟩ ⟨x|T (dx)|α⟩ (2.3.1)
poich´e che T `e un operatore unitario si ha che T (dx) = T †(−dx), pertanto la (2. 3 .1) diventa
T (dx) |α⟩ =
Z
R
dx |x⟩ ⟨x − dx|α⟩
in termini delle funzioni d’onda si ottiene
ψα(x) =
Z
R
dpN ei^
px ℏ (^) ϕα(p)
ϕα(p) =
Z
R
dxN e−i^
px ℏ ψα(x)
sono dunque quantit`a legate da trasformata e antitrasformata di Fourier.
2.4 Pacchetto d’onda gaussiano
Supponiamo di avere la seguente funzione d’onda
ψα(x) = N eikx−^
x^2 2 d^2
dunque l’ampiezza di probabilita di trovare la particella in un dato puntoe data da un’onda piana modulata da un profilo gaussiano centrato nell’origine. Determiniamo i valori medi degli operatori x, x^2 , p, p^2
⟨x⟩ = 0
per simmetria della funzione d’onda.
⟨x^2 ⟩ =
Z
R
dx x^2 |ψα(x)|^2
Z
R
dx x^2 e−^
x^2 d^2
d^2 2 Mentre
⟨p⟩ =
Z
R
dx ψ∗ α(x)
−iℏ
d dx
ψα(x)
= −iℏ
Z
R
dx N 2 e−ikx−^
x^2 2 d^2
ik −
x d^2
eikx−^
x^2 2 d^2
= ℏk
Z
R
dx N 2 |ψα(x)|^2 = ℏk
e
⟨p^2 ⟩ =
Z
R
dx ψ α∗(x)
−ℏ^2
d^2 dx^2 ψα(x)
= ℏ^2
Z
R
dx N 2 |ψα(x)|^2
−ik
ik − x d^2
d^2
x d^2
ik − x d^2
= ℏ^2
Z
R
dx N 2 |ψα(x)|^2
k^2 +
i x d^2
d^2
ik
x d^2
x^2 d^4
= ℏ^2 k^2 +
ℏ^2
2 d^2
Pertanto si ottiene che
∆x^2 ∆p^2 =
ℏ^2
ovvero il pacchetto gaussiano satura il principio di indeterminazione.
2.5 Esercizi e osservazioni
Stima dell’energia dello stato fondamentale: usando il principio di inde- terminazione ∆x∆p ≥ ℏ 2 possiamo stimare l’energia dello stato fondamentale di un qualsiasi sistema fisico per il quale vale ϕ′(xmin) = 0. Infatti ponendo
x ∼ xmin + ∆x pmin ∼ 0 + ∆p
si ottiene
E 0 =
p^2 2 m
∆p^2 2 m
ϕ′′ min∆x^2
ℏ^2
8 m∆x^2
ϕ′′ min∆x^2
annulliamo la derivata per trovare il punto di minimo
∂E 0
∂∆x
ℏ^2
4 m∆x^3
dunque otteniamo
∆x^4 =
ℏ^2
4 mϕ′′ min
pertanto
E 0 ∼ ϕmin +
r ϕ′′ min m
tale stima `e esatta per l’oscillatore armonico.
Teorema (di non degenerazione): in una dimensione i livelli energetici degli stati legati sono non degeneri.
Dimostrazione: supponiamo che esistano due autofunzioni diverse ψ 1 e ψ 2 corrispondenti allo stesso autovalore E
ℏ^2
2 m
ψ 1 (x) + ϕ(x)ψ 1 (x) = Eψ 1 (x)
ℏ^2
2 m
ψ 2 (x) + ϕ(x)ψ 2 (x) = Eψ 2 (x)
Moltiplicando la prima per ψ 2 , la seconda per ψ 1 e sottraendo si ottiene
ψ 2 ψ′′ 1 − ψ 1 ψ′′ 2 = 0
nullo perch´e il valore medio di qualsiasi osservabile su stati stazionari `e indipen- dente dal tempo. In particolare si ha
[xp + px, H] = x[p, H] + [x, H]p + p[x, H] + [p, H]x
=
− 2 xV ′^ + 2
p^2 m
= −xV ′^ + p^2 m
ovvero
⟨ψ|(−xV ′^ +
p^2 m
|ψ⟩ = 0
pertanto si ottiene la tesi
2 ⟨ψ|
p^2 2 m |ψ⟩ = ⟨ψ|xV ′|ψ⟩
In caso di V (x) ∝ xα^ si ha xV ′(x) = αV , dunque si ottiene
2 ⟨T ⟩ = α ⟨V ⟩
3 Equazione di Schrodinger
Supponiamo di avere un sistema fisico il cui stato al tempo t 0 `e dato dal ket |α⟩, siamo interessati a come evolve nel tempo tale stato avendo noto l’hamiltoniano del sistema fisico in esame, dunque necessitiamo di un’equazione differenziale che governa tale sistema.
Poich´e supponiamo, ragionevolmente, che il tempo sia un parametro continuo, deve valere la seguente relazione
lim t→t 0 |α, t 0 ; t⟩ = |α⟩
ovvero in forma compatta |α, t 0 ; t 0 ⟩ = |α⟩.
I due ket devono essere legati da un operatore di evoluzione temporale U(t, t 0 ) (non hermitiano) tale che
|α, t 0 ; t⟩ = U(t, t 0 ) |α, t 0 ⟩
Vediamo ora che proprieta deve soddisfare l’operatore di evoluzione tempo- rale. La primae la proprieta di unitarieta, necessaria per la conservazione della probabilit`a, infatti supponiamo di esprimere il ket |α⟩ rispetto ad una base di autovettori di qualche osservabile A
|α⟩ =
X^ n
i=
ci(t 0 ) |ai⟩
analogamente si ha
|α, t 0 ; t⟩ =
X^ n
i=
ci(t) |ai⟩
ovviamente in generale vale ci(t 0 ) ̸= ci(t), tuttavia cio che deve rimanere invari- atoe la norma del ket, ovvero
X^ n
i=
|ci(t 0 )|^2 =
X^ n
i=
|ci(t)|^2
pertanto U deve soddisfare
U†(t, t 0 )U(t, t 0 ) = 1
ovvero U deve essere un operatore unitario.
Un’altra proprieta che deve soddisfaree quella di composizione, ovvero deve valere
U(t 2 , t 0 ) = U(t 2 , t 1 )U(t 1 , t 0 )
