Formulario di Statistica
Corso di Statistica - a.a. 2022/23
1 Statistica descrittiva
Media:
¯x=1
nPn
i=1 xi
Varianza:
s2=1
n−1Pn
i=1(xi−¯x)2
Deviazione Standard:
s=√s2
Mediana e Quartili:
se
n
dispari
Me =x(n+1)/2
, per
n
pari
Me =1
2(xn/2+xn/2+1)
Q1=x0.25×(n+1)
,
Q3=x0.75×(n+1)
Covarianza e Correlazione:
sxy =1
n−1Pn
i=1xi−¯xyi−¯y
.
rxy =sxy
sx×sy
.
2 Probabilità
P(A)=1−P(A)
.
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
se
(A∩B)=∅
.
Probabilità condizionata:
P(A|B) = P(A∩B)
P(B), P (B)>0
Per eventi indipendenti
P(A∩B) = P(A)·P(B)
Teorema di Bayes: Sia
E
un evento,
A1, A2, . . . , An
mutuamente esclusivi e necessari
P(Ai|E) = P(E|Ai)P(Ai)
P(E|A1)P(A1)+···+P(E|An)P(An)
3 Variabili casuali
Media e varianza di variabili casuali discrete:
Valor medio:
µX=E(X) = PxxP (x)
con
P(X=x) = P(x)
.
Varianza:
σ2
X=V ar(X) = Px(x−µX)2P(x) =
Pxx2P(x)−µ2
X
.
Distribuzione Bernoulli
:
X∼B(p)
P(X=x) = p(1 −p)
.
Distribuzione Binomiale
:
X∼Bin(n, p)
P(X=x) = n
xpx(1 −p)n−x
.
Distribuzione Ipergeometrica
:
X∼IG(N , S, n)
con
N
numero oggetti,
S
numero di successi,
n
nu-
mero di prove.
P(X=x) = (S
x)((N−S)
(n−x))
(N
n)
,
x=
0,1, . . . , n
.
Distribuzione di Poisson
:
X∼P o(λ)
P(X=x) = e−λλx
x!
.
Uniforme
:
X∼U(a, b)
,
f(x) = 1
b−a
,
F(x) = x−a
b−a
.
Distribuzione Esponenziale
:
X∼Exp(λ)
,
f(x) = λeλ·x
,
F(x)=1−eλ·x
.
4 Distribuzioni campionarie
Media Campionaria :
¯
X∼Nµ, σ2
n
.
Proporzione campionaria :
ˆ
P∼Np, p(1−p)
n
, se
np(1 −p)>9
.
Varianza campionaria :
(n−1)S2
σ2∼χn−1
5 Inferenza: Intervalli di con-
denza
Si assume uno schema di campionamento casuale ed un
livello di condenza
(1 −α)
. Di seguito sono riportati gli
errori standard
(s.e.)
per alcuni parametri analizzati.
Media di una popolazione normale con varianza nota:
s.e.(¯x) = σ/√n
.
Media di una popolazione normale con varianza non
nota:
s.e.(¯x) = sx/√n
.
Proporzione di una popolazione (grandi campioni con
np(1 −p)>9
):
s.e.(ˆp) = qˆp(1−ˆp)
n
.
Confronto tra 2 medie (campioni dipendenti):
s.e.(¯
d) = sd/√n
, con
¯
d=1
nPn
i=1 di
, dove
di=xi−yi
,
sd=ps2
d=q1
n−1Pn
i=1(di−¯
d)2
.
Confronto tra 2 medie (campioni indipendenti, vari-
anze note):
s.e.(¯x−¯y) = qσ2
x/nx+σ2
y/ny
.
Confronto tra 2 medie (campioni indipendenti,
varianze incognite ma uguali):
s.e.(¯x−¯y) =
qs2
p/nx+s2
p/ny
,
s2
p=(nx−1)s2
x+(ny−1)s2
y
nx+ny−2
.
Confronto tra 2 medie (campioni indipendenti,
varianze incognite e dierenti):
s.e.(¯x−¯y) =
qx2
x/nx+s2
y/ny
. I gradi di libertà sono dati da
v=S2
x
nx+S2
y
ny2
S2
x
nx2
/(nx−1)+S2
y
ny2
/(ny−1)
.
Confronto tra 2 proporzioni:
s.e.(ˆpx−ˆpy) =
qˆpx(1−ˆpx)
nx+ˆpy(1−ˆpy)
ny
.
Varianza di una popolazione normale:
(n−1)s2
χ2
(n−1);α/2
;(n−1)s2
χ2
(n−1);1−α/2
1
