Scarica formulario statistica e più Formulari in PDF di Statistica solo su Docsity!
Formulario di Statistica Descrittiva
d =
x max
− x min
k
h i
f i
d i
oppure h i
n i
d i
d i
= x i
− x i− 1
M e =
x (n/2)
+x (n/2+1)
2
se n `e pari
x (n/2+1)
se n `e dispari
M e ≈ x M e− 1
− x M e− 1
0. 5 − F
M e− 1
F
M e
− F
M e− 1
Q
1
x (n/4)
+x (n/4+1)
2
se n `e pari
x (n+1)/ 4
se n `e dispari
Q
1
≈ x Q 1 − 1
− x Q 1 − 1
0. 25 − F (Q 1 − 1)
F (Q1) − F (Q 1 − 1)
Q
3
x (3n/4)
+x (3n/4+1)
2
se n `e pari
x (3n/4+1)
se n `e dispari
Q
3
≈ x Q 3 − 1
− x Q 3 − 1
0. 75 − F (Q 3 − 1)
F (Q3) − F (Q 3 − 1)
μ x
= ¯x = M (x) =
n
k X
i=
x i
n i
μ 2
= M (x
2
) =
n
k X
i=
x
2
i
n i
σ
2
x
n
k X
i=
(x i
− x¯)
2
n i
= M (x
2
) − (¯x)
2
σ x
p
σ
2
x
v
u
u
t
n
k X
i=
(x i
− x¯)
2 n i
Range(x) = x (n)
− x (1)
IQR = Q
3
− Q
1
CV =
σ x
μx
G = 1 −
k X
i=
f
2
i
G
∗
=
G · k
k − 1
H = −
k X
i=
f i
log(f i
) H
∗
=
H
log(k)
AF =
n
n X
i=
xi − ¯x
σ x
3
K =
n
n X
i=
xi − ¯x
σ x
4
AF =
n
n X
i=
x i
− x¯
σ x
3
n i
K =
n
k X
i=
x i
− ¯x
σ x
4
n i
χ
2
=
k X
i=
h X
j=
(nij − ˆnij )
2
ˆn ij
φ
2
=
χ
2
n
σxy =
n
n X
i=
(xi − μx)(yi − μy) = M (xy) − M (x)M (y)
σ xy
n
k X
i=
(x i
− μ x
)(y i
− μ y
)n i
= M (xy) − M (x)M (y)
ρ xy
σ xy
σxσy
1
n
P
n
i=
x i
y i
− μ x
μ y
q
1
n
P
n
i=
(x i
− ¯x)
2 ·
q
1
n
P
n
i=
(y i
− y¯)
2
R =
P
n− 1
i=
(p i
− q i
P
n− 1
i=
p i
R = 1 −
n− 1 X
i=
(p i+
− p i
)(q i+
− q i
yˆ =
β 0
β 1
x
β 1
Cov(x, y)
σ
2
x
β 0
= ¯y −
β 1
x¯
Formulario Calcolo delle Probabilit´a e Variabili Aleatorie
P
n
= n! P
con ripetizione
n
n!
n 1
! · n 2
! · · · n k
D
n,k
n!
(n − k)!
D
con ripetizione
n,k
= n
k
C
n,k
n
k
n!
k!(n − k)!
C
con ripetizione
n,k
n + k − 1
k
P (∅) = 0 P (
A) = 1 − P (A) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
(P (B) > 0)
P (B|A) =
P (B ∩ A)
P (A)
(P (A) > 0)
P (A ∩ B) = P (B) · P (A|B) = P (A) · P (B|A) = P (A) · P
P (H
i
|E) =
P (H
i
∩ E)
P (E)
P (H
i
)P (E|H
i
P
m
j=
P (Hj )P (E|Hj )
μ r
= E(X
r
) =
X
x
r
i
p i
(discreta)
μ r
= E(X
r
) =
Z
+∞
−∞
x
r
f (x) dx (continua)
μ = E(X) =
X
x i
p i
(discreta) μ = E(X) =
Z
+∞
−∞
xf (x) dx (continua)
Var(X) = E
(X − μ)
2
X
(x i
− μ)
2
p i
= E(X
2
) − [E(X)]
2
(discreta)
Var(X) =
Z
+∞
−∞
(x − μ)
2
f (x) dx (continua)
X ∼ U (a, b) ⇒ P (X = x) =
b − a
E(X) =
a + b
Var(X) =
(b − a)
2
E(X) = a +
S − 1
V ar(X) =
S
2
− 1
X ∼ Ber(p) ⇒ P (X = x) = p
x
(1 − p)
1 −x
E(X) = p Var(X) = p(1 − p)
X ∼ Bin(n, p) ⇒ P (X = x) =
n
x
p
x
(1 − p)
n−x
E(X) = np Var(X) = np(1 − p)
X ∼ Hg(N, S, n) ⇒ P (X = x) =
S
x
N −S
n−x
N
n
E(X) = np (p =
S
N
) Var(X) = np(1−p)·
N − n
N − 1
X ∼ Po(λ) ⇒ P (X = x) =
λ
x e
−λ
x!
E(X) = λ Var(X) = λ
X ∼ Geo(p) ⇒ P (X = x) = p(1 − p)
x− 1
E(X) =
p
Var(X) =
1 − p
p
2
S
n
∼ N
p =?,
p(1 − p)
n
⇒ P
S
n
− z α/ 2
r
S
n
(1 − S
n
n
≤ p ≤ S n
r
S
n
(1 − S
n
n
= 1−α
X 1 ∼ N (μ 1 =?, σ
2
1
) X 2 ∼ N (μ 2 =?, σ
2
2
P
X
1
X
2
) − z α/ 2
s
σ
2
1
n 1
σ
2
2
n 2
≤ (μ 1
− μ 2
X
1
X
2
) + z α/ 2
s
σ
2
1
n 1
σ
2
2
n 2
= 1 − α
P
X
1
X
2
) − t n 1 +n 2 − 2 ,α/ 2
· S
p
r
n 1
n 2
≤ (μ 1
− μ 2
X
1
X
2
) + t n 1 +n 2 − 2 ,α/ 2
· S
p
r
n 1
n 2
S
2
p
(n 1 − 1)S
2
1
2
2
n 1
(ˆp 1
− pˆ 2
) ± z α/ 2
s
p ˆ 1
(1 − pˆ 1
n 1
pˆ 2
(1 − pˆ 2
n 2
Test delle Ipotesi e Regressione
Z =
X − μ
σ/
n
T =
X − μ
s/
n
Z =
X
1
X
2
) − (μ 1
− μ 2
q
σ
2
1
n 1
σ
2
2
n 2
T =
X
1
X
2
) − (μ 1
− μ 2
r
(n 1 −1)S
2
1
+(n 2 −1)S
2
2
n 1
+n 2
− 2
1
n 1
1
n 2
Z =
S
n
− p 0
p
p 0
(1 − p 0
)/n
∼ N (0, 1) Z =
Sn 1
n 1
Sn 2
n 2
− (p 1 − p 2 )
r
Sn 1
n 1
(1−
Sn 1
n 1
)
n 1
Sn 2
n 2
(1−
Sn 2
n 2
)
n 2
(n − 1)S
2
σ
2
∼ χ
2
(n − 1)
χ
2
=
k X
i=
(fi − pi)
2
p i
k X
i=
(ni − npi)
2
np i
χ
2
=
k X
i=
h X
j=
(nij − cij )
2
c ij
k X
i=
h X
j=
(nij − ˆnij )
2
ˆn ij
ν =
[
s
2
x
nx
s
2
y
ny
]
2
(
s
2 x
nx
)
2
nx− 1
(
s
2 y
ny
)
2
ny − 1
p ˆ 0 =
nx
Px + ny
Py
n x
Due campioni:
t =
d − d 0
s d
n
Z =
X − y¯) − d 0
q
σ
2
x
nx
σ
2
y
ny
T =
X − ¯y) − d 0
q
S
2 p
nx
S
2 p
ny
T =
X − ¯y) − d 0
q
S
2 x
nx
S
2 y
ny
Z =
P
x
P
y
) − (p x
− p y
q
px(1−px)
nx
py (1−py )
ny
F =
S
2
x
S
2
y
Disuguaglianza di Chebyshev: P (|X − μ| < εσ) ≥ 1 −
ε
2
P (|X − μ| < k) ≥ 1 −
σ
2
k
2
Regressione Lineare
¯x =
n
n X
i=
x i
y¯ =
n
n X
i=
y i
Cov(X, Y ) =
n
X
x i
y i
− x¯y¯ s
2
x
P
n
i=
(x i
− x¯)
2
n − 1
s
2
y
P
n
i=
(y i
− y¯)
2
n − 1
yˆ = β
∗
0
∗
1
xβ
∗
1
Cov(x, y)
s
2
x
β
∗
0
= ¯y − β
∗
1
x¯
t =
r
p
(n − 2)
p
(1 − r
2 )
sε =
r
SSE
n − 2
s
(n − 1)s
2
y
− Cov(X, Y )
2 /s
2
x
n − 2
T =
β
∗
1
− β 1
sβ∗ 1
s β
∗
1
s ε
p
(n − 1)s
2
x
Intervallo di confidenza: β
∗
1
± t α/ 2 ,n− 2
· s β
∗
1
R
2
= 1 −
SSE
P
(y i
− y¯)
2
Variabili casuali doppie:
p i·
P
h
j=
p ij
per i = 1, ..., k
p ·j
P
k
i=
p ij
per i = 1, ..., h
μ X
P
k
i=
x i
p i·
μ Y
P
h
j=
y j
p ·j
