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Formulario per Statistica Corso Base
1. Statistica descrittiva
Notazione.
- N : dimensione del collettivo o della popolazione
- x 1 , x 2 ,... , xN : valori del carattere X osservati sulle N unit`a del collettivo
- X 1 , X 2 ,... , Xk : k possibili modalita che un carattere puo assumere.
- n 1 , n 2 ,... , nk : frequenze assolute con cui le modalit`a vengono osservate nel collettivo
- f 1 , f 2 ,... , fk : frequenze relative con cui le modalit`a vengono osservate nel collettivo. Ovviamente, per ogni
j = 1,... , k, fj = nj /N.
- N 1 , N 2 ,... , Nk : frequenze assolute CUMULATE, dove Nj =
j i=
ni.
- F 1 , F 2 ,... , Fk : frequenze relative CUMULATE, dove Fj =
j i=
fi. Ovviamente, per ogni j = 1 ,... , k,
Fj = Nj /N.
- x(1), x(2),... , x(N ): valori del carattere X osservati, in ordine non decrescente, sulle N unit`a del collettivo.
1.1. Indici statistici
μ =
N
N ∑
i=
xi (distribuzioni unitarie) μ =
N
k ∑
j=
Xj nj =
k ∑
j=
Xj fj (distribuzioni di frequenze)
σ
2
N
N ∑
i=
(xi − μ)
2
N
k ∑
j=
X
2 j −^ μ
2 (distribuzioni unitarie)
σ
2
N
k ∑
j=
(Xj − μ)
2 nj =
k ∑
j=
(Xj − μ)
2 fj =
N
k ∑
j=
X
2 j nj −^ μ
2 (distribuzioni di frequenze)
Y = a + bX
allora
μY = a + bμX ; σ
2 Y =^ b
2 σ
2 X
- In assenza di altre informazioni, se le modalita sono espresse in classi, si sostituiscono i valori delle modalita Xj
sopra scritti con i valori centrali delle classi. Se invece si dispone dei totali di classe, i valori delle Xj si sostituiscono
con le medie delle classi.
Preprint submitted to Elsevier December 30, 2022
- mediana M e o X 0. 5 : x(N +1)/ 2 , per N dispari; qualunque valore compreso tra x(N /2) e x(N /2+1), come ad esempio
il valore centrale (x(N /2) + x(N /2+1))/2, per N pari.
Nel caso di distribuzioni di frequenza, e la modalita a cui corrisponde la prima frequenza relativa cumulata superiore
o uguale a 0.5.
Nel caso di distribuzioni con classi di modalita, se la classe medianae la i−esima, con estremo superiore Xi,sup:
X 0. 5 = Xi− 1 ,sup +
- 5 − Fi− 1
Fi − Fi− 1
(Xi,sup − Xi− 1 ,sup)
- coefficiente di variazione: CV = σ/|μ|.
- devianza D = N σ
2
Cxy =
∑N
i=
(xi − μx)(yi − μy ) =
∑N
i=
xiyi − N μxμy (distribuzioni unitarie)
Cxy =
∑r
u=
∑c
v=
(Xu − μx)(yv − μy )nuv =
∑r
u=
∑c
v=
Xuyv nuv − N μxμy (distribuzioni di frequenza)
- covarianza σxy = Cxy /N
- coefficiente di correlazione
r =
σxy
σxσy
Cxy √ DxDy
- tabelle di contingenza: frequenze teoriche di indipendenza: ˆnij = ni 0 n 0 j /N = ni.n.j /n..
- indice χ
2
χ
2
∑^ s
i=
∑^ t
j=
nij − nˆij
ˆnij
n ˆij =
∑^ s
i=
∑^ t
j=
(nij − ˆnij )
2
n ˆij
= N
∑s
i=
∑^ t
j=
n
2 ij
ni 0 n 0 j
; ψ =
χ^2
N
η
2 y|x =^
DS
Dy
DT RA
Dy
∑r
i=
[(μY |Xi) − μY ]
2 ni 0 ∑ c j=
(yj − μY )
2 n 0 j
ˆy = b 0 + b 1 x; b 1 =
CXY
DX
; b 0 = μy − b 1 μX ; ˆyi = b 0 + b 1 xi; ei = yi − ˆyi
Devianza spiegata =
N ∑
i=
(ˆyi − μY )
2 Devianza residua =
N ∑
i=
e
2 i R
2 = r
2
devianza spiegata
devianza di Y
2. Probabilit`a
- Unione di eventi: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
- Intersezione di eventi: P (A ∩ B) = P (A) × P (B|A) = P (B) × P (A|B)
- indipendenza: P (A|B) = P (A|
B) = P (A)
- coefficiente binomiale: Cn,k =
n k
n! k!(n−k)!
- disposizioni semplici: Dn,k =
n! (n−k)!
- Teorema di Bayes: per ogni j = 1,... k,
P (Aj |B) =
P (Aj )P (B|Aj ) ∑ k h=
P (Ah)P (B|Ah)
3.2. Test di ipotesi
- Test sulla media di una popolazione normale (σ
2 noto)
Regione di rifiuto per test unilaterale destro e, rispettivamente, sinistro:
x¯ ≥ μ 0 + z 1 −α
σ
2
n
; x¯ ≤ μ 0 − z 1 −α
σ
2
n
in alternativa:
z =
¯x−μ 0 √ σ^2 /n
≥ z 1 −α;
livello di significativit`a effettivo: P (Z ≥ z); P (Z ≤ z);
potenza del test condizionata a H 1 : μ = μ 1 > μ 0 e, rispettivamente, a H 1 : μ = μ 1 < μ 0 :
P
X ≥
μ 0 − μ 1 √
σ^2 /n
; P
X ≤
μ 0 − μ 1 √
σ^2 /n
− z 1 −α
Regione di rifiuto per test bilaterale:
x¯ ≤ μ 0 − z 1 −α/ 2
σ^2
n
; ¯x ≥ μ 0 + z 1 −α/ 2
σ^2
n
in alternativa:
z =
¯x−μ 0 √ σ^2 /n
≥ z 1 −α/ 2 ;
livello di significativit`a effettivo: 2 P (Z ≥ |z|);
potenza del test condizionata a H 1 : μ = μ 1 6 = μ 0 :
P
X^ ¯ ≤
μ 0 − μ 1 √
σ
2 /n
− z 1 −α/ 2
+ P
X^ ¯ ≥
μ 0 − μ 1 √
σ
2 /n
- Test sulla media di una popolazione normale (σ
2 incognito)
Regione di rifiuto per test unilaterale destro e, rispettivamente, sinistro:
x¯ ≥ μ 0 + tn−1;1−α
S^2
n
; x¯ ≤ μ 0 − tn−1;1−α
S^2
n
in alternativa:
t =
¯x−μ 0 √ S^2 /n
≥ tn−1;1−α;
livello di significativit`a effettivo: P (Tn− 1 ≥ t); P (Tn− 1 ≤ z).
Regione di rifiuto per test bilaterale:
x¯ ≤ μ 0 − tn−1;1−α/ 2
σ
2
n
; ¯x ≥ μ 0 + tn−1;1−α/ 2
σ
2
n
in alternativa:
t =
¯x−μ 0 √ S^2 /n
≥ tn−1;1−α/ 2 ;
livello di significativit`a effettivo: 2 P (Tn− 1 ≥ |t|).
- Test per grandi campioni (n elevato) sulla proporzione di una popolazione bernoulliana
Regione di rifiuto per test unilaterale destro e, rispettivamente, sinistro:
ˆp ≥ p 0 + z 1 −α
p 0 (1 − p 0 )
n
; pˆ ≤ p 0 + z 1 −α
p 0 (1 − p 0 )
n
in alternativa:
z =
ˆp−p 0 √ p 0 (1−p 0 )/n
≥ z 1 −α;
livello di significativit`a effettivo: P (Z ≥ z); P (Z ≤ z).
Regione di rifiuto per test bilaterale:
pˆ ≤ p 0 + z 1 −α/ 2
p 0 (1 − p 0 )
n
; pˆ ≥ p 0 + z 1 −α/ 2
p 0 (1 − p 0 )
n
in alternativa:
z =
ˆp−p 0 √ p 0 (1−p 0 )/n
≥ z 1 −α/ 2 ;
livello di significativit`a effettivo: 2 P (Z ≥ |z|).
