Scarica Formulario di Statistica Medica: Formule Essenziali e più Formulari in PDF di Statistica Medica solo su Docsity!
FORMULARIO STATISTICA MEDICA
FORMULE PER LE STATISTICHE DESCRITTIVE
Media: 𝑌𝑌
∑ 𝑌𝑌
𝑖𝑖
𝑛𝑛
Varianza: s
2
∑(𝑌𝑌
𝑖𝑖
−𝑌𝑌
� )
2
𝑛𝑛−
Formula rapida: s
2
∑(𝑌𝑌
𝑖𝑖
)
2
−𝑛𝑛𝑌𝑌
�
2
𝑛𝑛−
Deviazione standard: s=
∑(𝑌𝑌
𝑖𝑖
−𝑌𝑌
� )
2
𝑛𝑛−
Formula rapida: s=
∑(𝑌𝑌
𝑖𝑖
)
2
−𝑛𝑛𝑌𝑌
�
2
𝑛𝑛−
Devianza (somma dei quadra� degli scar�, deviazioni, della media) ∑(𝑌𝑌
𝑖𝑖
2
𝑖𝑖
2
2
Coefficiente di variazione 𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝑠𝑠
𝑌𝑌
�
Mediana: 𝑌𝑌 [(𝑛𝑛+1)/ 2 ]
se n è dispari
�𝑌𝑌
�
𝑛𝑛
2
�
+𝑌𝑌
��
𝑛𝑛
2
�+1�
�
2
se n è pari
Proporzione 𝑝𝑝̂=
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖𝑜𝑜
𝑛𝑛
ERRORE STANDARD DELLA MEDIA
(il campione deve essere casuale)
S�ma 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑦𝑦
𝑠𝑠
√𝑛𝑛
s= deviazione standard campionaria n= dimensione del campione
Errore standard della media campionaria = 𝜎𝜎 𝑦𝑦
𝜎𝜎
√𝑛𝑛
PROBABILITA’
Even� incompa�bili: 𝑃𝑃𝑃𝑃
[
] =
[
] +
[
]
Due even� non sono incompa�bili: 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝐴𝐴 𝑜𝑜 𝐵𝐵] = 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝐴𝐴] + 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝐵𝐵] − 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝐵𝐵]
Even� indipenden�: 𝑃𝑃𝑃𝑃
[
] =
[
]
[
]
Due even� non sono indipenden�: 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝐴𝐴 𝑒𝑒 𝐵𝐵] = 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝐴𝐴] 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝐵𝐵/𝐴𝐴]
Teorema della probabilità totale Pr[𝐴𝐴
] =
[
]
[
]
𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖 𝑖𝑖 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝐵𝐵
Teorema di Bayes: 𝑃𝑃𝑃𝑃
[
] =
𝑃𝑃𝑛𝑛[𝐵𝐵/𝐴𝐴]𝑃𝑃𝑛𝑛[𝐴𝐴]
𝑃𝑃𝑛𝑛[𝐵𝐵]
DISTRIBUZIONE BINOMIALE
Formula: 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝑋𝑋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠] = �
𝑥𝑥
𝑛𝑛−𝑥𝑥
𝑛𝑛!
𝑥𝑥!(𝑛𝑛−𝑥𝑥
)!
dove p è la probabilità di successo in ogni singola prova, X è il numero di successi e n è il numero di prove
PROPORZIONE
Formula riferita al campione 𝑝𝑝̂=
𝑋𝑋
𝑛𝑛
Errore standard 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑃𝑃
�
𝑝𝑝�(1−𝑝𝑝�)
𝑛𝑛
INTERVALLO DI CONFIDENZA AL 95% CON IL METODO AGRESTI E COULL PER LE PROPORZIONI
( il campione deve essere casuale)
Formula: 𝑝𝑝
′
𝑝𝑝′( 1−𝑝𝑝)
𝑛𝑛+
′
𝑝𝑝′( 1−𝑝𝑝)
𝑛𝑛+
′
𝑋𝑋+
𝑛𝑛+
dove X è il numero di successi nel campione e n è la dimensione campionaria
TEST BINOMIALE
( il campione deve essere casuale)
Formula 𝑃𝑃 = 2(∑ Pr[𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠]
𝑛𝑛
𝑖𝑖=𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑛𝑛
0
oppure 𝑃𝑃 = 2(
Pr[𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
]
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
𝑥𝑥
𝑛𝑛
0
Dove X è il numero osservato di successi, n è la dimensione campionaria, Pr
[
]
è la probabilità
data dalla distribuzione binomiale di otenere i successi in n prove.
TEST X
2
DI BONTA’ DI ADATTAMENTO
( il campione deve essere casuale, il conteggio ateso in ogni cella maggiore di 1, e non più del 20% delle celle deve
avere conteggi minori di 5)
Distribuzione soto l’ipotesi nulla: 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ( 𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛𝑒𝑒𝑃𝑃𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑜𝑜𝑃𝑃𝑠𝑠𝑒𝑒
Formula:
(𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑛𝑛𝑜𝑜𝑜𝑜𝑐𝑐𝑛𝑛
𝑖𝑖
−𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛
𝑖𝑖
)
2
𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑠𝑠𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
Frequenze atese= 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑜𝑜𝑃𝑃𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑐𝑐 Pr 1, 2, … 𝑐𝑐𝑃𝑃𝑐𝑐𝑛𝑛𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑃𝑃𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑜𝑜𝑛𝑛
DISTRIBUZIONE DI POISSON
Formula: 𝑃𝑃𝑃𝑃[𝑋𝑋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠] =
𝑛𝑛
−𝜇𝜇
𝜇𝜇
𝑥𝑥
𝑋𝑋!
Dove X è il numero di even� (Pr 0 comporta che X= 0) e μ è il numero medio di even� nell’unità di tempo o
nell’unità di spazio (media campionaria rif media ponderata)
e= 2,
INTERVALLO DI CONFIDENZA PER IL RISCHIO RELATIVO
( Campioni casuali)
Formula: 𝐼𝐼𝑛𝑛�𝑅𝑅𝑅𝑅
dove �𝐼𝐼𝑛𝑛�𝑅𝑅𝑅𝑅
è il logaritmo naturale della s�ma del rischio rela�vo �𝐼𝐼𝑛𝑛�𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑝𝑝
1
�
𝑝𝑝
2
�
� dove p1 e p2 sono le
proporzioni s�mate di un esito indesiderato in due gruppi, per esempio (𝑝𝑝
1
𝑜𝑜
𝑜𝑜+𝑐𝑐
2
𝑏𝑏
𝑏𝑏+𝑑𝑑
se a b c d
hanno valore 0 si aggiunge ½ a tu� valori
è l’errore standard del logaritmo naturale del rischio rela�vo 𝐸𝐸𝐸𝐸�𝐼𝐼𝑛𝑛�𝑅𝑅𝑅𝑅
1
𝑜𝑜
1
𝑏𝑏
1
𝑜𝑜+𝑐𝑐
1
𝑏𝑏+𝑑𝑑
e Z= 1,
Se chiedono il rischio rela�vo 𝑅𝑅𝑅𝑅 =
𝑝𝑝
1
𝑝𝑝
2
INTERVALLO DI CONFIDENZA PER L’ODDS RATIO
( campioni casuali)
Formula: 𝐼𝐼𝑛𝑛�𝑂𝑂𝑅𝑅
ERRORE STANDARD DELLA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE
Formula: 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝑌𝑌1−𝑌𝑌
𝑝𝑝
2
1
𝑛𝑛
1
𝑛𝑛
𝑝𝑝
2
𝑑𝑑𝑑𝑑1𝑠𝑠
2
+𝑑𝑑𝑑𝑑2𝑠𝑠
2
𝑑𝑑𝑑𝑑1+𝑑𝑑𝑑𝑑
I gradi di libertà sono: 𝑑𝑑𝑑𝑑1 = 𝑛𝑛 1 − 1 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑2 = 𝑛𝑛 2 − 1
INTERVALLO DI CONFIDENZA DELLA DIFFERENZA TRA DUE MEDIE (DUE CAMPIONI)
(campioni casuali, variabile numerica è normale, deviazione standard la stessa)
Gradi di libertà 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛 2 − 2
Formula
1
2
𝛼𝛼( 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑌𝑌
1
���−𝑌𝑌
2
���
1
2
1
2
𝛼𝛼( 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑌𝑌
1
���−𝑌𝑌
2
���
TEST T PER DUE CAMPIONI
( campioni casuali, variabile numerica è normale, deviazione standard la stessa)
Formula: 𝑐𝑐 =
(𝑌𝑌
1
���−𝑌𝑌
2
��� )−(𝜇𝜇
1
−𝜇𝜇
2
)
0
𝑍𝑍𝑍𝑍
𝑌𝑌
����−𝑌𝑌2����
INTERVALLO DI CONFIDENZA DI WELCH PER LA DIFFERENZA TRA LE DUE MEDIE
(i campioni sono casuali, la variabile ha una distribuzione normale)
Formula: (𝑌𝑌 1
2
𝑐𝑐 𝑎𝑎( 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑
�
𝑠𝑠
1
2
𝑛𝑛
𝑠𝑠
2
2
𝑛𝑛
TEST T APPROSSIMATO DI WELCH
(i campioni sono casuali, la variabile ha una distribuzione normale)
formula:
(𝑌𝑌
1
���−𝑌𝑌
2
��� )−(𝜇𝜇
1
−𝜇𝜇
2
)
�
𝑠𝑠
1
2
𝑛𝑛
𝑠𝑠
2
2
𝑛𝑛
TRASFORMAZIONI
Trasformazione logaritmica: 𝑌𝑌
′
[
]
o 𝑌𝑌
′
[
𝑌𝑌 + 1]
Trasformazione arcoseno 𝑝𝑝
′
= arcsin ( �𝑝𝑝
Trasformazioni radice quadrata 𝑌𝑌
′
TRASFORMAZIONI INVERSE
Trasformazione logaritmica inversa 𝑌𝑌 = 𝑒𝑒
𝑦𝑦
Trasformazione arcoseno inversa 𝑝𝑝
′
= (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛[𝑝𝑝
′
]
2
Trasformazioni radice quadrata 𝑌𝑌
′
′
TEST U DI MANN- WHITNEY
( campioni casuali, distribuzioni dei due gruppi stessa forma)
Formula 𝑈𝑈 1
1
1
𝑛𝑛
1
(𝑛𝑛
1
+1)
2
1
2
1
2
1
dove R 1
è la somma dei ranghi del gruppo 1.
PIANIFICARE LA PRECISIONE
Pianificare la dimensione campionaria per un intervallo di confidenza al 95% della differenza tra 2 medie
( distribuzione normale con deviazione standard uguale)
Formula 𝑛𝑛 ≈ 8 �
𝜎𝜎
𝑛𝑛𝑜𝑜𝑛𝑛𝑐𝑐𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
2
dove n è la dimensione campionaria desiderata e “margine di errore” è
la semi ampiezza dell’intervallo di confidenza della differenza tra medie
PIANIFICARE LA POTENZA
Pianificare la dimensione campionaria per un test t per due campioni con potenza pari ad 80% e a=0,
Formula: 𝑛𝑛 = 16 �
𝜎𝜎
𝐷𝐷
2
dove D= /𝜇𝜇 1 − 𝜇𝜇2/
ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)
( variabile normale, deviazioni standard uguali, ogni campione è casuale- meglio se il campione è grande-)
𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖
𝑖𝑖
2
𝑖𝑖
𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑖𝑖
2
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑍𝑍𝑍𝑍 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝𝑝𝑝𝑖𝑖
R
2
( valori compresi tra 0 e 1)
Formula: 𝑅𝑅
2
𝑍𝑍𝑍𝑍
𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑖𝑖
𝑍𝑍𝑍𝑍
𝑡𝑡𝑜𝑜𝑡𝑡𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡
dove SS gruppi si riferisce alla somma dei quadra� dei gruppi e SS totale alla somma
quadra� totale
INTERVALLO DI CONFIDENZA DELLA DIFFERENZA TRA DUE K MEDIE IN CONFRONTI PIANIFICATI
( campioni casuali)
Formula 𝐸𝐸𝐸𝐸 = �𝑀𝑀𝐸𝐸 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑗𝑗
TEST DI TURKEY KRAMER
( campione casuale, variabile normale uguale in tute popolazioni)
Formula 𝐸𝐸𝐸𝐸 = �𝑀𝑀𝐸𝐸 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑗𝑗
� dove i e j sono le dimensioni per i rispe�vi gruppi.
COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE
(normalità bivariata e campionamento casuale – compreso tra +1 e - 1)
∑ (𝑋𝑋
𝑖𝑖
−𝑋𝑋
� )(𝑌𝑌
𝑖𝑖
−𝑌𝑌
� )
𝑖𝑖
�∑ (𝑋𝑋
𝑖𝑖
−𝑋𝑋
� )
𝑖𝑖
2
�∑ (𝑌𝑌
𝑖𝑖
−𝑌𝑌
� )
𝑖𝑖
2
1−𝑛𝑛
2
𝑛𝑛−
INTERVALLO DI CONFIDENZA APPROSSIMATO DEL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE NELLA POPOLAZIONE
( campione casuale, variabili hanno una distribuzione normale bivariata della popolazione, approssimazione migliora
ad aumentare della dimensione)
