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BREVE FORMULARIO SUGLI INTEGRALI
Alberto Carraro
11 novembre 2021
Calcolo delle primitive di funzioni elementari
- Funzioni esponenziali: ∫ xαdx =
xα+ α + 1
exdx = ex^ + c,
axdx =
ax ln a
- Funzioni logaritmiche: (^) ∫ 1 x
dx = ln|x| + c,
ln xdx =
x
- Funzioni armoniche: ∫ − sin xdx = cos x + c,
cos xdx = sin x + c,
tan xdx = − ln|cos x| + c
∫ cos^2 xdx =
cos x sin x +
x 2
sin^2 xdx =
x 2
cos x sin x + c
- Funzioni armoniche inverse: ∫ 1 1 + x^2
dx = arctan x + c,
1 − x^2
dx = arcsin x + c,
1 + x^2
dx = arccos x + c
∫ dx (ax + b)^2 + c^2
bc arctan(
ax + b c ) + k
Integrali impropri
Un integrale si definisce di Riemann se e solo se la differenza tra le somme superiori e inferiori è minore di un determinato valore di > 0. In altre parole è esprimibile l’integrabilità di una funzione come la limitatezza di tale funzione su un intervallo di Riemann. In conclusione una funzione si dice integrabile se è limitata in un intervallo in cui è definita. Generalizzando questa definizione negli integrali impropri è possibile affermare che una funzione è Riemann- integrabile quando questa è continua nell’intervallo che si vuole studiare
f : [a, b] → R continua ⇒ Riemann-integrabile →
∫ (^) b
a
f (x)dx
Quindi le prime cose da fare per studiare un integrale improprio sono appunto:
- Verificare il dominio della funzione integranda per vedere dove è continua e quindi Riemann-integrabile.
- Nei punti di discontinuità che si trovano nel dominio spezzare l’integrale e studiare ogni termine della somma che lo compone.
- Studiare il carattere degli integrali.
Quando l’integrale esiste ed è finito la funzione integranda si dirà che è integrabile in senso improrio ⇒ l’integrale converge, nel caso invece l’integrale esista ma non è finito ⇒ l’integrale diverge. Per aiutarsi nel determinare l’andamento dell’integrale esistono i criteri di convergenza cioè:
Condizione necessaria, ma non sufficiente, di convergenza. Sia f : [a, +∞) → [0, +∞) una funzione continua e positiva se:
lim x→+∞ f (x) = 0 ⇒
a
f (x)dx converge
Criterio 1 (del confronto). Avendo due funzioni positive continue f (x) ≥ g(x) ≥ 0 avrò che:
se
E
f (x)dx < +∞ ⇒
E
g(x)dx < +∞ (convergenza)
se
E
g(x)dx = +∞ ⇒
E
f (x)dx = +∞ (divergenza)
Criterio 2 (del confronto asintotico). Avendo due funzioni positive continue f (x) ≥ 0 e g(x) ≥ 0 avrò che se il limite del loro rapporto tende all’unità esse avranno lo stesso andamento asintotico in quel punto x 0. Se invece è diverso da 1 ma invece è compreso in un intervallo avremo che:
se lim x→x 0
f (x) g(x) = L con L ∈ (0, +∞)
⇒ i due integrali convergeranno o divergeranno solo se uno dei due converge o diverge
Criterio 3 (di convergenza assoluto). Se prima si parlava di funzioni positive adesso si parla di funzioni con qualsiasi segno. Ponendo il valore assoluto si ottiene una funzione positiva e quindi è possibile utilizzare i criteri precedenti per studiarne il comportamento, inoltre è valido dedurre che:
se
E
|f (x)|dx converge ⇒
E
f (x)dx converge
se
E
|f (x)|dx diverge ⇒ integrale indefinito
se quindi |f | è integrabile in senso improprio (ovvero, come detto prima, l’integrale converge) possiamo affermare che: (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∫ (^) b
a
f (x)dx
∫ (^) b
a
|f (x)|dx < +∞
Criterio 4 (collegamento tra serie e integrali impropri). Sia f : [1, +∞) una funzione decrescente e non negativa e si abbia ak = f (k), allora avremo che:
∑^ +∞
k=
ak converge ⇐⇒
1
f (x)dx converge
In questo modo si semplifica lo studio dell’integrale studiando la serie con tutti i vantaggi e tutti i criteri di convergenza che ad essa sono applicabili.
Criterio 5 (integrali impropri notevoli). Ricondursi, tramite il confronto o confronto asintotico, ad uno dei casi notevoli:
Integrale di potenza: ∫ (^) b
a
(x − α)β^
dx −→
se β < 1 converge se β ≥ 1 diverge Se invece b → +∞ abbiamo che: ∫ (^) +∞
a
xβ^
dx −→
se β > 1 converge se β ≤ 1 diverge
Integrale con logaritmo: ∫ (^) a
1
lnβ^ (x)
dx −→
se β < 1 converge se β ≥ 1 diverge
Integrale con potenza e logaritmo:
a
xα^ lnβ^ (x)
dx −→
se α > 1 e ∀β ∈ R converge se α = 1 e β < 1 converge se α < 1 e ∀β ∈ R diverge se α = 1 e β > 1 diverge
Integrale con potenza e logaritmo con 0 < a < 1 :
∫ (^) a
0
xα|ln x|β^ dx −→
se α < 1 e ∀β ∈ R converge se α = 1 e β > 1 converge se α > 1 e ∀β ∈ R diverge se α = 1 e β < 1 diverge
