Goniometria: Formule e Esercizi, Appunti di Matematica

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GONIOMETRIA

Le formule goniometriche DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica

Matema&ca

LE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ANGOLI ASSOCIATI Sono detti angoli associati a un angolo α quegli angoli la cui somma o differenza con α abbia i seguenti valori: 0°, 90°,180°, 270° e 360°. Ossia: definizione

Determiniamo le funzioni goniometriche degli angoli associati ad α in funzione delle funzioni goniometriche dell’angolo α.

Ø Angoli esplementari: α+(2π-α)=2π sen ( 2 π − α) = − sen α cos( 2 π − α) = cos α tg ( 2 π − α) = − tg α cotg ( 2 π − α) = −cot g α Ø Angoli supplementari: α+(π-α)=π sen ( π − α) = sen α cos( π − α) = −cos α tg ( π − α) = − tg α cotg ( π − α) = −cot g α

Ø Angoli che differiscono di : (π+α)-α=π sen ( π + α) = − sen α cos( π + α) = −cos α tg ( π + α) = tg α cotg ( π + α) = cot g α Ø Angoli complementari: (π/2-α)+α=π/ sen ( π / 2 − α) = cos α cos( π / 2 − α) = sen α tg ( π / 2 − α) = cotg α cotg ( π / 2 − α) = t g α

Ø Angoli la cui differenza è 3/2: (3π/2+α)-α=3π/ sen ( 3 π / 2 + α) = −cos α cos( 3 π / 2 + α) = sen α tg ( 3 π / 2 + α) = − cotg α cotg ( 3 π / 2 + α) = − t g α Significa trovare un angolo del primo quadrante le cui funzioni goniometriche abbiano, eventualmente a meno del segno, gli stessi valori dell'angolo dato. Ø Riduzione al primo quadrante esempio

sen 120 °

sen (^) ( 90 °+ α)=cos α

sen ( 90 ° + 30 °) = cos 30 ° =

ESERCIZI angoli opposti ( α e – α ) Semplificare la seguente espressione: sen (− α) + 2 cos(− α) + sec(− α)cot g (− α) sen α + sen α !

angoli che differiscono di un angolo retto ( α e π /2+ α ) Semplificare la seguente espressione:

cos

π

• α

& +^ sen^ α^ +^ s ec π

• α

& sen^ α^ +^ sen π

• α

!

angoli supplementari ( α e π

α ) Semplificare la seguente espressione: 3 cos α + cos( π − α) − sen α + 2 cot g ( π − α) sen α + 2 sen ( π − α) 3 cosα − cos α − sen α + 2 −cos α sen α sen α + 2 sen α U t i l i z z a n d o l a d e f i n i z i o n e d i cotangente e le relazioni indicate in figura, l’espressione diventa: Semplificando si ottiene: 2 cos α + sen α − 2 cos α = sen α

angoli la cui somma o differenza è 3/2 (α e 3/2π-α; α e 3/2π+α ) Semplificare la seguente espressione: sen 3 2 π − α "

$ % & 'cos^ α^ +^ cos^ 3 2 π + α "

$ % & 'cos^ 3 2 π − α "

$ % & ' −^ cot^ g^ 3 2 π − α "

$ % & ' !

angoli esplementari (α e 2π-α) Semplificare la seguente espressione: 3 sen ( 2 π − α) + cos( 2 π − α)sec α + 2 sen α − 1 !

ESERCIZI RIEPILOGO Risolvere la seguente espressione con l’aiuto degli angoli associati: Semplificare l'espressione trigonometrica con l’aiuto degli angoli associati: I n t r o d u c e n d o l a d e f i n i z i o n e d i t a n g e n t e e semplificando, si ottiene:

sin x cos 2 x − cos 2 x (cos x + sin x ) − sin x (cos x + senx ) sin x (cos x + sin x ) Effettuiamo il mcm: Svolgendo le parentesi e semplificando, si ottiene: sin x cos 2 x − cos 3 x − sin x cos 2 x − sin x cos x − sin 2 x sin x (cos x + sin x ) = = −cos 3 x − sin x cos x − sin 2 x sin x (cos x + sin x )

LE FORMULE GONIOMETRICHE Le funzioni goniometriche variano al variare dell’angolo α, ma non variano proporzionalmente a esso. Per esempio:

cos(α − β) = cos α − cos β

FALSO

" ""→ cos

) =^ cos

− cos

FALSO

Con l’uso delle calcolatrici, le formule goniometriche attualmente conservano interesse solo in ambito teorico e per dimostrare alcuni enunciati.

q Le formule di addizione