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Formule di Matematica
DERIVATE NOTE
D[𝑥]= 1
D[𝑥𝑛] 𝑛𝑥𝑛−1 n
D[√𝑥]=
2√x
D[ 𝑛√𝑥^ 𝑚] =
𝑚 𝑛 √𝑥𝑛 𝑛−𝑚
D[sen x] = cos x D[arcsenx] =
√1−𝑥^2
, − 𝜋 2 < y < 𝜋 2.
D[cos x] = sen x D[arccosx] = − √^1
1−𝑥^2
, 0 < y < π.
D[tg x] =
𝑐𝑜𝑠^2 𝑥 = 1+tg
2 x D[arctgx] = 1
1+𝑥^2
D[cotgx] = −
𝑠𝑒𝑛^2 𝑥 =^ −^1 −cotg
2 x D[arccotgx] = − 1
1+𝑥^2
D[ex] = ex
D[ax] = ax^ log(a) , con a > 0.
D[xx] = xx^ (1 + lnx)
D[lnx] =
𝑥 , con x > 0.
D[logax] =
𝑥 logae^ , con x > 0 , a > 0 , a^
D [ a f ( x ) ± b g ( x )] = a D f ( x ) ± b D g ( x ) SOMMA/DIFFERENZA
D [ f ( x ) g ( x )] = f '( x ) g ( x ) + f ( x ) g '( x ) PRODOTTO
D[
𝑔(𝑥)]^ =^
[𝑔(𝑥)]^2 QUOZIENTE
D f g x f ' g x g ' x FUNZIONI COMPOSTE
LOGARITMI
z = log a b az^ = b 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = b
loga(b c) = logab + logac con a , b 0 e a 1
loga (
𝑐)^ = logab - logac^ con a ,^ b ,^ c^ ^0 e a^ ^1
loga(bn) = n logab con a , b 0 e a 1 e n intero positivo
loga( 𝑛√𝑏^ ) =
𝑛 logab^ con a ,^ b^ ^0 e a^ ^1 e n intero positivo
loga a = 1 con a 0 e a 1
loga 1 = 0 con a 0 e a 1
loga 0 = − ∞ con a 0 e a 1
loga N =
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 FORMULA CAMBIAMENTO DI BASE con N > 0 (intero)
LIMITI NOTEVOLI e APPLICAZIONI
MATRICI
h ∙ A = (h ∙ aij )
A + B = (aij + bij )
AB = a 11 b 11 + a 12 b 21 +…+ a1nbn1 RIGA X COLONNA
A x B = riA^ ∙ cjB^ A= m x n , B = n x p → A x B = m x p (n dev’essere uguale)
Operazioni elementari:
scambio di righe ri ↔ rj sostituzione riga con un suo multiplo ri → 𝜆ri combinazione di una riga a cui viene aggiunto un multiplo di un’altra riga ri → 𝑟𝑖 + 𝜆ri
Matrice INVERTIBILE: AB = In = CA oppure |A|≠ 0 [A quadrata]
RANGO : il massimo ordine di un minore non nullo di A 0 < rk < min (m,n)
Il numero di righe non nulle in una matrice a scalini
LAPLACE: |A|= ( – 1) i + j^ ∙ aij ∙ |Aij|
ROUCHE-CAPELLI: rk A = rk A’ , con A’ = A | b matrice completa
CRAMER: x = 𝐷 𝐷𝑥 y = 𝐷 𝐷𝑦 z = 𝐷 𝐷𝑧
- D≠0 , sistema determinato
- D=0 , Dx= 0 e Dy= 0 sistema indeterminato Dx≠ 0 o Dy ≠ 0 sistema impossibile
FUNZIONI
CONTINUE – > (^) 𝑥→𝑥lim 0 𝑓(𝑥 0 ) = f(x 0 )
DISCONTINUE – > (^) 𝑥→𝑥lim 0 𝑓(𝑥 0 ) ≠ f(x 0 )
1 specie (^) 𝑥→𝑥lim 0 −^
𝑓(𝑥) ≠ lim 𝑥→𝑥 0 +^
𝑓(𝑥) entrambi finiti
2 specie ∄ lim 𝑥→𝑥 0 −^
𝑓(𝑥) oppure ∄ lim 𝑥→𝑥 0 +^
𝑓(𝑥) (o entrambi)
oppure ∃ lim 𝑥→𝑥 0 +^
𝑓(𝑥) 𝑜 ∃ lim 𝑥→𝑥 0 −^
3 specie ∃ lim 𝑥→𝑥 0
𝑓(𝑥) = 𝑙 → ∄ 𝑓(𝑥 0 ) opp. ∃ 𝑓(𝑥 0 ) ≠ 𝑙
CRESCENTE x 1 < x 2 – > f(x 1 ) < f (x 2 ) [in senso lato con ≤ ]
DECRESCENTE x 1 < x 2 – > f(x 1 ) > f (x 2 ) [in senso lato con ≥ ]
PARI f (– x) = f (x)
DISPARI f (– x) = – f (x)
Segno di una funzione: f (x) ≥ 0
RETTE
EQ. RETTA PARAMETRICA: r: { 𝑦 − 𝑦𝑥 − 𝑥^0 = 𝑙 𝑡 0 = 𝑚 𝑡
EQ. FORMA SIMMETRICA: 𝑥−𝑥 𝑙 0 = 𝑦−𝑦 𝑚^0
EQ. CARTESIANA: ax + by + c = 0
CONICHE
ELLISSE: 𝑥
2
𝑎^2 +^
𝑦^2
𝑏^2 = 1
IPERBOLE: 𝑥
2
𝑎^2 −^
𝑦^2
𝑏^2 = 1
PARABOLA: x^2 = 2py [p= distanza fuoco-direttrice] // x = ay^2 +by+c
FORMULE TRIGONOMETRICHE
sen^2 (α) +cos^2 (α) = 1
sen (2α) = 2 sen (α) + cos (α)
cos (2α) = cos^2 (α) - sen^2 (α)
Δ>0 Δ=0 Δ< a𝑥^2 +bx+c≥0, a >
x ≤ 𝑥 1 ∨ x ≥𝑥 2 ∀ x ∈ R ∀ x ∈R
a𝑥^2 +bx+c >0, a >
x < 𝑥 1 ∨ x >𝑥 2 ∀ x ∈ R, x ≠𝑥 1 ∀ x ∈R
a𝑥^2 +bx+c ≤0, a >
𝑥 1 ≤ x ≤ 𝑥 2 x =𝑥 1 Impossibile
a𝑥^2 +bx+c <0, a>
𝑥 1 < x < 𝑥 2 Impossibile^ Impossibile
