Calcolo Differenziale: Derivate di Funzioni e Teoremi, Dispense di Analisi Matematica II

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Dispensa di Analisi Matematica

II

DISPENSA ANALISI MATEMATICA II

• 1 CALCOLO DIFFERENZIALE IN E STUDIO DI FUNZIONI INDICE
  • 1.1 Funzioni derivabili e derivata di una funzione
    • 1.1.1 Rapporto incrementale e definizione di derivata
    • 1.1.2 Esempi di funzioni derivabili - 1.1.2.1 Derivata di una potenza - 1.1.2.2Derivatadi ………………………………………………..…………………. - 1.1.2.3 Derivata di ………………………………………………….………….. - 1.1.2.4 Derivata delle funzioni circolari
  • 1.2 Algebra delle derivate
    • 1.2.1 Somma di derivate
    • 1.2.2 Moltiplicazione di derivate
    • 1.2.3 Quoziente di derivate
    • 1.2.4 Derivazione di funzioni composte
    • 1.2.5 Derivata delle funzioni inverse
  • 1.3 Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange,di Cauchy
    • 1.3.1 Teorema di Fermat
    • 1.3.2 Teorema di Rolle
    • 1.3.3 Teorema di Lagrange (o del valore medio)
    • 1.3.4 Teorema di Cauchy
  • 1.4 Test di monotonia, teorema di Darboux, teoremadi De L'Hopital
    • 1.4.1 Test di monotonia.............................................................................................................
    • 1.4.2 Teoremi di De l'Hôpital
    • 1.4.2.1 Introduzione - 1.4.2.2 Primo Teorema di De l'Hôpital - 1.4.2.3 Secondo Teorema di De l'Hôpital - 1.4.2.4 Derivate di ordine superiore
  • 1.5 Studio di funzioni reali a valori reali
• 2 CALCOLO INTEGRALE
  • 2.1 Integrale di Riemann
    • 2.1.1 Somme inferiori e somme superiori di una funzione limitata - 2.1.1.1 Proposizione - 2.1.1.2 Lemma
    • 2.1.2 Funzioni integrabili - 2.1.2.1 Teorema (di Riemann)
  • 2.2 Altri criteri di integrabilità secondo Riemann
    • 2.2.1. Teorema (integrabilità delle funzioni continue in un intervallo chiuso)
  • 2.3 Calcolo degli integrali di Riemann
    • 2.3.1 Algebra degli integrali di Riemann
      • 2.3.1.1 Somma di integrali
        • 2.3.1.2 Moltiplicazione di un integrale per un numero reale
      • 2.3.1.3 Ordine tra integrali
      • 2.3.1.4 Valore assoluto di un integrale
    • 2.3.2 Teoremi
      • 2.3.2.1 Teorema (fondamentale del calcolo integrale)
      • 2.3.2.2 Corollario...............................................................................................................
      • 2.3.2.3 Corollario
      • 2.3.2.4 Teorema (integrabilità delle funzioni dotate di primitiva)
    • 2.3.3 Integrazione per parti
    • 2.3.4 Integrazione per sostituzione (o cambiodi variabile)
  • 2.4 Integrale generalizzato
• 3 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
  • 3.1 Successioni di funzioni
    • 3.1.1 Definizione e funzione limite
    • 3.1.2 Definizione delle convergenze
    • 3.1.3 Collegamento tra le due convergenze
    • 3.1.4 Criteri di Cauchy
      • 3.1.4.1 Criterio di Cauchy per laconvergenza puntuale
      • 3.1.4.2 Criterio di Cauchy per laconvergenza uniforme
    • 3.1.5 Convergenza uniforme e continuità
      • 3.1.5.1 Teorema di inversione dei limiti
      • 3.1.5.2 Corollario (Teorema sulla continuità del limite)..............................................
      • 3.1.5.3 Criterio
    • 3.1.6 Convergenza uniforme ed integrabilità
      • 3.1.6.1 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale
    • 3.1.7 Convergenza uniforme e derivabilità
      • 3.1.7.1 Lemma
      • 3.1.7.2 Lemma
      • 3.1.7.3 Teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata
    • 3.1.8 Convergenza uniforme e monotonia
      • 3.1.8.1 TeoremadI Dini per le successioni di funzioni
      • 31.8.2 Teorema
    • 3.1.9 Compattezza delle funzioni continue in ………………………………………..3
      • 3.1.9.1 Teorema di Ascoli-Arzelà
  • 3.2 Serie di funzioni
    • 3.2.1 Definizione di serie e convergenze di serie
      • 3.2.1.1 Criteri di Cauchy per le serie di funzioni
      • 3.2.1.2 Collegamento tra la varie convergenze
      • 3.2.1.3 Criterio
    • 3.2.2 Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie
      • 3.2.2.1 Teorema sulla continuità della somma
      • 3.2.2.2 Teorema di integrazione per le serie
      • 3.2.2.3 Teorema di derivazione per le serie
    • 3.2.3 Serie di potenze
      • 3.2.3.1 Teorema
      • 3.2.3.2 Teorema
      • 3.2.3.3 Esempi
      • 3.2.3.4 Criterio di Cauchy-Hadamard
      • 3.2.3.5 Criterio di D'Alembert
      • 3.2.3.6 Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata
      • 3.2.3.7 Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze
      • 3.2.3.8 Serie di potenze generalizzato
    • 3.2.4 Serie di Taylor
      • 3.2.4.1 Teorema 1.............................................................................................................
      • 3.2.4.2 Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor....................................................
      • 3.2.4.3 Teorema
• 4 FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI REALI..............................................................................................
  • 4.1 Funzioni di più variabili
    • 4.1.1 Introduzione
      • 4.1.1.1 Definizione
      • 4.1.1.2 Esempi
    • 4.1.2 Proprietà
      • 4.1.2.1 Iniettività
      • 4.1.2.2 Suriettività
    • 4.1.3 Rappresentazione geometrica di funzioni di più variabili in ……………………
    • 4.1.4 Analisi di funzione reale a due variabili reali (introduzione)
      • 4.1.4.1 Esempi di individuazione del dominio
      • 4.1.4.2 Insiemi di livello
      • 4.1.4.3 Segno
  • 4.2 Limiti e derivate di funzioni di più variabili
    • 4.2.1 Introduzione
    • 4.2.2 Limite di funzione a due variabili
      • 4.2.2.1 Definizione metrica
      • 4.2.2.2 Calcolo del limite
    • 4.2.3 Continuità
    • 4.2.4 Derivate
      • 4.2.4.1 Calcolo delle derivate parziali
    • 4.2.5 Gradiente
    • 4.2.6 Derivata direzionale
    • 4.2.7 Piano tangente
    • 4.2.8 Differenziabilità
      • 4.2.8.1 Conseguenze della differenziabilità
      • 4.2.8.2 Rapporto tra differenziabilità, derivabilità e continuità
    • 4.2.9 Polinomio di Taylor in due variabili
  • 4.3 Problemi di ottimizzazione
    • 4.3.1 Introduzione
      • 4.3.1.1 Esempi di problemi
    • 4.3.2 Ottimizzazione libera
      • 4.3.2.1 Ricerca dei punti stazionari
      • 4.3.2.2 Ricerca del tipo di punto stazionario: massimo, minimo o sella
        • 4.3.2.2.1 Forme quadratiche e teoria del metodo della matrice Hessiana….
      • Hessiana indue varaibili 4.3.2.2.2 Procedimento di costruzione ed interpretazione della matrice
    • 4.3.2.2.3 Esempi di ottimizzazione libera ……………………………………,.
• 4.3.3 Ottimizzazione vincolata
  • 4.3.3.1 Vincolo esplicitabile
  • 4.3.3.2 Vincolo non esplicitabile
    • 4.3.3.2.1 Teoria dei moltiplicatori lagrangiani

anch'esso, come volevamo dimostrare.

È interessante notare esplicitamente che l'implicazione inversa non vale in generale. Facciamo

un controesempio;. La funzione valore assoluto è certamente

continua (addirittura è continua in ogni punto del suo dominio, dunque anche in , tuttavia non è derivabile nel punto.

Infatti.

I due limiti sono diversi, dunque non esiste il limite del rapporto incrementale e la funzione non è derivabile.

1.1.2 Esempi di funzioni derivabili

Vediamo ora alcuni esempi di funzioni notevoli derivabili e ne calcoliamo poi la derivata. Prima un appunto di notazione.

e scriviamo ora. Allora e per

. Abbiamo ora che

Useremo convenientemente i due modi di rappresentare il rapporto incrementale a seconda dei casi.

1.1.2.1 Derivata di una potenza

. Dimostriamo che. Infatti, tenendo a mente

che ) abbiamo:

a per

. Dunque.

Ora:

1.1.2.2 Derivata di

Dimostriamo che la derivata di è uguale a. Infatti:

tende Dunque.

1.1.2.3 Derivata di

e tende a 1 per ( per la definizione di ).

. Scriviamo e. . Abbiamo che e dunque il

denominatore tende a

1.1.2.4 Derivata delle funzioni circolari

Dimostriamo che e.

Premettiamo però un limite che non dimostreremo adesso ma che si rivela molto utile:

Adesso procediamo con la dimostrazione della derivata di.

tende a 0 mentre tendea. Dunque ecco dimostrata la derivata notevole del seno.

e

. Allora è derivabile in

1.2.3 Quoziente di derivate

Sia funzioni derivabiliin sia inoltre

e si ha:

Dimostrazione

Dunque:

1.2.4 Derivazione di funzioni composte

Siano. Sia inoltre e

derivabile in. Infine sia è derivabile in e si ha:

e derivabile in. Allora

Dimostrazione

è derivabile in , quindi è continua in , ossia:

1.2.5 Derivata delle funzioni inverse

Sia un intervallo, strettamente monotona, quindi invertibile, con

la sua inversa. Sia e derivabile in , con. Allora è derivabile in , e si ha:

1.3 Teorema di Fermat, di Rolle, di Lagrange, di Cauchy

1.3.1 Teorema di Fermat

Sia e un punto interno di. Sia inoltre derivabile in.

Allora se è un estremo relativo di si ha

Dimostrazione

Supponiamo punto di massimo di f (è naturalmente possibile ragionare in maniera analoga considerandolo un punto di minimo). Allora se è massimo relativo di f si avrà che,

in un intorno del tipo con. Dunque:



e

 quindi

Ma sappiamo derivabile in per ipotesi, dunque possiamo dedurreche

Teorema di Lagrange

Supponiamo una funzione definita nell'intervallo come nell'immagine a fianco, continua nell'intervallo e ogni suo punto ha una tangente, e tracciamo la retta secante il grafico

che passa per i punti e , gli estremi di nell'intervallo considerato (in

arancione): essa intersecherà almeno in due punti, inizialmente: e.

Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, tangente alla

curva nel punto : il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate è sempre possibile trovare un punto , come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.

Sia continua in e derivabile in. Allora:

Dimostrazione

Ai fini della dimostrazione dobbiamo cercare una funzione a cui si possa applicare il teorema di Rolle. In particolare dobbiamo fare in modo che essa rispetti la terza ipotesi, non garantita dalla ipotesi del teorema di Lagrange.

Sia la seguente funzione:

Si tratta della retta passante per i punti della figura.

Sia ora la differenza tra le due funzioni

Quindi h ( x ) si annulla nei punti a e b (vi assume quindi valori identici):

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo [ a , b ], derivabile in ( a , b ) ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto c la cui derivata sia 0.

La funzione h ( x ) è continua perché somma di funzione continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado). La terza ipotesi di Rolle la abbiamo dimostrata poco prima.

Applichiamo quindi il teorema alla funzione h ( x ), dal momento che ne soddisfa tutte le condizioni:

g ( x ) è una retta, la derivata prima di una retta è, inogni suo punto, uguale al suocoefficiente angolare:

ed il teorema è così dimostrato.

1.3.4 Teorema di Cauchy

Siano con e siano derivabili in ogni punto di.

Supponiamo per ogni. Alloraesiste unpunto tale che

Dimostrazione

Si consideri la funzione

Verifica tutte le ipotesi del Teorema di Rolle, infatti è continua in

definita su e derivabile in.

Quindi

1.4 Test di monotonia, teorema di Darboux, teorema di De L'Hopital

1.4.1 Test di monotonia

Sia un intervallo non banale di e sia una funzione derivabile in ogni punto del dominio.

Allora, , se:

Inoltre si ha che e

esiste un punto in tale che , cioè