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Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Tipologia: Esercizi
Caricato il 10/03/2021
4 documenti
1 / 49
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8 Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Argomenti: Operazioni sulle frazioni
Difficolt`a: ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆
Completare la seguente tabella:
a b a + b a · b
a
b
a
a + b
Capitolo 1: Precorso – Testi 9
Argomenti: Operazioni algebriche tra interi, disuguaglianze
Difficolt`a: ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆
Proposizione Vera Falsa
Se x > 0, allora x 2
0 2 2
Se x 2
0, allora x > 0 2 2
Se x ≥ 3, allora x 2
0 2 2
Se x > 3, allora x 2 ≥ 0 2 2
Se x < 3, allora x^2 < 9 2 2
x^2 ≥ 0 per ogni numero reale x 2 2
Esiste un numero reale x tale che x^2 ≤ 0 2 2
Capitolo 1: Precorso – Testi 11
Argomenti: Disuguaglianze, uso di “per ogni” ed “esiste”
Difficolt`a: ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆
Proposizione Vera Falsa
Se x < y, allora x + 2 < y + 2 2 2
Se x < y, allora 2x < 2 y 2 2
Se x < y, allora x < 2 y 2 2
Se x < y, allora − 2 x < − 2 y 2 2
Se x < y, allora x^2 < y^2 2
Se x < y, allora x 2000 < y 2000 2 2
Se x < y, allora x^2001 < y^2001 2
Se x < 0 < y < z, allora xz < yz 2 2
(a + b)^2 = a^2 + b^2 per ogni a, b ∈ R 2 2
Esistono a, b ∈ R tali che (a + b)^2 = a^2 + b^2 2
(a + b) − 1 = a − 1
Esistono a, b > 0 tali che (a + b)−^1 = a−^1 + b−^1 2
Se ab^ = ba, allora a = b 2 2
12 Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Argomenti: Radicali e potenze frazionarie
Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆ ⋆
Trovare i valori di a che rendono vere le seguenti uguaglianze:
Uguaglianza Valore di a Uguaglianza Valore di a
a = 2
√a 9 = 3
√ a 16 = 2
√a 16 = 4
4
a = 3 a^1 /^2 = 5
a^3 /^2 = 27 a−^1 /^2 = 1/ 4
−a = 1/ 8 8 a = 4
√ a 16 = 8 220 − 219 = 2a
√ 2 ·
a
a
√ 2 ·
√a 6
a
√√ 2 =
√a 2
√a 2
3
a
a
√ 2
a
2 a
√ 2 ·
a 6
√a 4
√ a 2 ·
a = 2−^1 √
3
a
a
2 = a
a
√ 8 ·
2 a^ ·
a
14 Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Argomenti: Divisione tra polinomi
Difficolt`a: ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆
Calcolare quoziente e resto nelle seguenti divisioni di polinomi:
Dividendo Divisore Quoziente Resto
x^2 − 1 x + 1
x^4 − 1 x + 1
x^4 + 1 x^2 − 1
x 3
x^3 + 1 x − 1
x^3 − 1 x − 1
x^4 − 1 x − 1
x^5 + 1 x + 1
x 5
x^5 + 1 x^3 + 2x^2
2 x^5 + 1 x^2 − x + 1
x^6 − 1 x − 1
x^6 − 1 x^2 − 1
x 6 − 1 x 3 − 1
x^5 + x^3 + 3 x^3 − 2 x^2
3 x^6 + 2x^4 x^3 − 3 x^2
Capitolo 1: Precorso – Testi 15
Argomenti: Equazioni polinomiali
Difficolt`a: ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆
Per ciascuna delle seguenti equazioni, determinare il numero di soluzioni reali distinte (mettendo
0 se non ci sono soluzioni e ∞ se le soluzioni sono infinite). Nel caso in cui ci sia un numero finito
di soluzioni reali, indicare in ordine crescente le 4 soluzioni pi´u piccole:
Equazione Sol. x 1 x 2 x 3 x 4
x + 3 = 0
−x − 3 = 0
2 x − 8 = 0
2 x 2 − 8 x = 0
2 x 2 − 8 = 0
x^2 − 7 x + 12 = 0
2 x^2 + 5x − 3 = 0
− 4 x^2 + 12x − 9 = 0
x^2 − 4 x + 1999 = 0
x 2 − x + 1 = 0
x 4 − 5 x 2
x^4 − 5 x^2 + 6 = 0
x^4 − 5 x^2 + 7 = 0
x^4 + 3x^2 − 4 = 0
x^4 − 3 x^2 = 0
x^4 − 4 x^2 + 4 = 0
Capitolo 1: Precorso – Testi 17
Argomenti: Disequazioni di primo e secondo grado
Difficolt`a: ⋆ Tempo richiesto: ⋆
Risolvere le seguenti disequazioni:
Disequazione Soluzione Disequazione Soluzione
3 x ≥ 6 x 2
3 x < 6 x 2
3 x ≤ − 6 x^2 + 4x + 4 < 0
3 x > − 6 x^2 + 4x + 4 ≤ 0
− 3 x > − 6 −x^2 + 6x − 9 ≥ 0
− 3 x ≤ − 6 −x^2 + 6x − 9 > 0
6 − 3 x ≥ 0 −x 2
3 x − 6 < 0 −x 2
x^2 − 4 x + 3 ≥ 0 x^2 − 4 x + 5 ≥ 0
x^2 − 4 x + 3 > 0 x^2 − 4 x + 5 > 0
x^2 − 4 x + 3 < 0 x^2 − 4 x + 5 < 0
x^2 − 4 x + 3 ≤ 0 x^2 − 4 x + 5 ≤ 0
−x 2
−x 2
−x^2 + 2x + 3 < 0 −x^2 + 2x − 3 < 0
−x^2 + 2x + 3 ≤ 0 −x^2 + 2x − 3 ≤ 0
18 Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Argomenti: Disequazioni con prodotti e quozienti
Difficolt`a: ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆
Risolvere le seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:
Disequazione Soluzione
x^2 − 2 x − 3 > 0
x 2 − 6 x + 5 ≤ 0
(x^2 − 2 x − 3)(x^2 − 6 x + 5) ≥ 0
(x^2 − 2 x − 3)(x^2 − 6 x + 5) > 0
(x^2 − 2 x − 3)(x^2 − 6 x + 5) < 0
(x^2 − 2 x − 3)(x^2 − 6 x + 5) ≤ 0
x^2 − 2 x − 3
x^2 − 6 x + 5
x^2 − 2 x − 3
x^2 − 6 x + 5
x 2 − 2 x − 3
x^2 − 6 x + 5
x^2 − 2 x − 3
x^2 − 6 x + 5
(x^2 − 2 x − 3)^1999 (x^2 − 6 x + 5)^2000 ≥ 0
(x 2 − 2 x − 3) 2000 (x 2 − 6 x + 5) 1999 ≤ 0
(x^2 − 6 x + 5)^1999
(x^2 − 2 x − 3)^2000
x 2 − 2 x − 3 ≥ 0
x^2 − 6 x + 5 < 0 { x 2 − 2 x − 3 < 0
x^2 − 6 x + 5 > 0 { (x^2 − 2 x − 3)^2 (x^2 − 6 x + 5) ≥ 0
(x 2 − 2 x − 3)(x 2 − 6 x + 5) 2 ≤ 0
20 Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Argomenti: Equazioni con radici e valori assoluti
Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆ ⋆
Per ciascuna delle seguenti equazioni, determinare il numero di soluzioni reali distinte (mettendo
0 se non ci sono soluzioni e ∞ se le soluzioni sono infinite). Nel caso in cui ci sia un numero finito
di soluzioni reali, indicare in ordine crescente le 4 soluzioni pi´u piccole:
Equazione Sol. x 1 x 2 x 3 x 4
x + 1 = 9
√ x + 1 = − 9
|x + 1| = 3
|x 2 − 1 | = 10
|x 2 − 10 | = 1
|x − 1 | = − 3
|x^2 − 5 x + 5| = 1
√ x^2 − 5 x + 5 = 1
√ x + 14 = x + 2
√ x + 14 = −x − 2
√ x + 14 = |x + 2|
√ x + 14 = |x| + 2
|x + 2| + |x + 4| = 2
|x + 2| + |x + 4| = 6
|x + 1| +
x − 1 = 0
2 |x| + |x + 2| = x + 6
Capitolo 1: Precorso – Testi 21
Argomenti: Equazioni con radici e valori assoluti
Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆ ⋆
Per ciascuna delle seguenti equazioni, determinare il numero di soluzioni reali distinte (mettendo
0 se non ci sono soluzioni e ∞ se le soluzioni sono infinite). Nel caso in cui ci sia un numero finito
di soluzioni reali, indicare in ordine crescente le 4 soluzioni pi´u piccole:
Equazione Sol. x 1 x 2 x 3 x 4
x − 8 = 3
√ 3 x − 8 = 3
√ 4 x − 8 = 3
|x − 8 | = 3
|x − 8 | = 0
√ x + 6 = x
√ x + 6 = −x
√ x^2 + 4 = x + 2
|x − 8 | = x
|x 2 − 26 | = 10
|x + 1| + | 2 x + 3| = 4x + 8
|x + 1| + | 2 x + 3| + x = 0
|x + 1| + | 2 x + 3| = x + 2
√ x + 1 = |x − 1 |
|x −
x| = 2
√ x + 3 = 3
3 x + 5
Capitolo 1: Precorso – Testi 23
Argomenti: Disequazioni con radici e valori assoluti
Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Risolvere le seguenti disequazioni:
Disequazione Soluzione
√ x + 1 ≥ 2
√ x + 1 < 2
√ 3 x + 1 ≥ 2
√ 4 x + 1 ≥ − 2
|x − 1 | ≥ 1
|x − 1 | ≤ 1
|x 2 − 3 | < 1
√ 2 x + 3 + x > 0
√ 2 x + 3 + x < 0
| 2 x − 5 | + x < 0
√ 2 x − 1 ≥ x
||x| − 3 | < 2
|x + 2| + |x 2 − 1 | ≥ 3
√ x +
x + 1 ≥ 1
|x^4 + 3
|x| − 1 | ≥ − 1
√ x^2 − 1 + |x − 2 | ≤ 1
24 Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Argomenti: Operazioni algebriche con esponenziali e logaritmi
Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆ ⋆
Trovare i valori di a che rendono vere le seguenti uguaglianze:
Uguaglianza Valore di a Uguaglianza Valore di a
log 2 16 = a log 2 a = 3
loga 4 = 2 log 3 2 4 = a · log 3 2
log 3
2 = a · log 3 2 log 2 (8 · 16 · 64) = a
log 3 20 + log 3 4 = log 3 a log 3 20 − log 3 4 = log 3 a
log 5 3 − log 5 2 = log 5 a log 2 4 · log 2 8 = log 2 a
log 2 a = 9 log 2 2 a = 9
2 log^4 a^ = 9 log 2 4 a^ = 9
2 loga^3 = 2 log 2 (log 3 a) = 2
log 3 9 = log 2 a log 3 9 = loga 25
log 3
2 = a · log 3 4 log 5 31000 = log 25 a^1000
log 125 64 = log 5 a log 7 21000 = log 49 2 a
log 7 13 · log 5 7 = log 5 a log 7 3 · log 8 49 = log 2 a
28 + 2^20 = 2^8 (1 + 2a) (2^5 + 2^7 )^2 = 2^10 + 4^7 + 2a
3
4
5
13 = 13a^ (5 + 1)^20 = 5^20 (1 + 5a)^20
√ 6 13 +
√a 13 + 1)
1 + 7a
3
3
1 + 2a^
3
3
a
26 Esercizi di Analisi Matematica – Versione 2006
Argomenti: Disequazioni con esponenziali e logaritmi
Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆
Risolvere le seguenti disequazioni:
Disequazione Soluzione
x ≥ 2
3 |x|^ ≤ 2
3 x
2 < 9
3 x+3^ > 3
log 3 (x + 3) > 0
log 3 |x + 3| > 0
log 3 (x + 3) ≤ 0
log 3 |x + 3| ≤ 0
log 2 (2x − 4) > 3
log 2 (2x − 4) ≤ 3
√ log 4 x < 2
2 log 4 x < 1
log 4 x^2 < 1
2 log 4 |x| < 1
log 3 (
x + 3) < 1
logx 2 ≥ 1
Capitolo 1: Precorso – Testi 27
Argomenti: Disequazioni con esponenziali e logaritmi
Difficolt`a: ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ Tempo richiesto: ⋆ ⋆ ⋆ ⋆
Risolvere le seguenti disequazioni:
Disequazione Soluzione
x+ − 3) (x + 3) ≥ 0
(x + 4) log 2 (x + 2) > 0
4 x+1^ · 4 x
(^2) + · 4 x−^2 ≥ 16
3 x^ + 9x^ > 6
4 x^ − 5 · 2 x^ + 4 ≤ 0
4 x^ − 3 · 2 x^ − 4 ≤ 0
x
log
2 2 x^ + log^2
4
x^15 − 1 ≥ 0
log 5 (x^2 − 3 x) ≤ log 5 2 + 1
log 2 (x +
x) < 1
log 2 (3 · 4 x) − 5 x ≥ 0
2 x^ − 4
4 x^ − 2
| log 2 x| + | log 4 x + 5| < 8 ∣ ∣ ∣^2
| log 2 x^2 +2| − 1
|x − 3 | (x^2 − 4 x+3) < 1
log 5
4 − x − 2 x
