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Universit`a di Torino
QUADERNI DIDATTICI
del
Dipartimento di Matematica
E. Abbena, G. M. Gianella
Esercizi di Geometria
e Algebra Lineare I
A.A. 2000/
Quaderno # 8 - Settembre 2001
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iv
Indice
- 1 Sistemi lineari
- 2 Matrici e determinanti
- 3 Calcolo vettoriale
- 4 Autovalori e autovettori
- 5 Geometria analitica nel piano
- 6 Geometria analitica nello spazio
- 7 Sottospazi vettoriali
- 8 Soluzioni - Sistemi lineari
- 9 Soluzioni - Matrici e determinanti
- 10 Soluzioni – Calcolo vettoriale
- 11 Soluzioni - Autovalori e autovettori
- 12 Soluzioni - Geometria analitica nel piano
- 13 Soluzioni - Geometria analitica nello spazio
- 14 Soluzioni - Sottospazi vettoriali
Capitolo 1
Sistemi lineari
Risolvere e discutere, al variare degli eventuali parametri reali, i seguenti sistemi lineari:
[1]
x 1 x 2 x 3 1
2 x 1 2 x 2 x 3 0
x 1 x 2 2 x 3 1_._
[2]
2 x 1 x 2 x 3 1
x 1 2 x 2 x 3 2
x 1 x 2 2 x 3 4_._
[3]
2 x 1
x 2
x 3
4 x 4
4 x 1
3 x 3
x 4
8 x 1
2 x 2
5 x 3
9 x 4
[4]
2 x 2 y z 4 t 0
x y 4 z 2 t 0
x y 3 z 2 t 0
3 x 3 y z 6 t 0_._
[5]
x y az 1
x 2 y bz 3
y cz 2_._
[6]
2 x y z 1
x 2 y 2 z 0
3 x y 2 z 1
x y z k.
[7]
ax y z 2
x ay z 3 a
2
x y az a 1_._
2 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I
[8]
x y z a
x ay z 1
2 x y az a 1_._
[9]
x y Λ z 2 Λ 1
x Λ y z Λ
Λ x y z 1_._
[10]
2 x az 1
3 x ay 2 z 2
ax 2 z 1_._
[11]
x y z 1
2 x 3 y kz 3
x ky 3 z h.
[12]
kx y z 1
x ky z 1
x y kz h.
[13]
x y z 5
2 x y 2 z b
3 x 3 y az 1_._
[14]
2 x 3 y 2 z 1
x y 2 z 2
4 x y az b.
[15]
3 k x y z a
2 x 4 k y 2 z b
3 x 3 y 5 k z c.
[16]
2 k x ky 1 k z 1 2 k
4 2 k x 3 ky 1 2 k z 1 k
2 k x 2 ky kz 5 k.
[17]
h 1 x hy 2 h 1 z 3 2 h
h 1 x hy 2 hz 1 3 h
h 1 x 2 h 1 z 3 h 1_._
[18]
m 1 x y mz 0
m 1 m x 1 m y 2 m
2 z 2
m 1 x 2 y 2 z m 3_._
Universit`a di Torino
4 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I
[30]
3 x 2 y z 1
5 x 3 y 3 z 2
7 x 4 y 5 z 3
x y z 0_._
[31]
x y hz 2 h
x y 2 z 1
2 x hy 4 z 2_._
[32]
hx y hz 1
2 x y 2 z h 1
3 x 3 y h 2 z h 2_._
[33] Verificare che per a 1 il seguente sistema lineare `e incompatibile:
x 2 y z 0
x z 1
x 4 y az 0_._
[34] Discutere la compatibilit`a del seguente sistema lineare, al variare dei parametri
h, k —. Determinare esplicitamente le soluzioni (quando e possibile) usando anche (quandoe possibile) il
teorema di Cramer:
hx y z 2
x y 1
hx 2 y 2 z k.
[35] Discutere la compatibilit`a del seguente sistema lineare, al variare dei parametri
h, k —. Determinare esplicitamente le soluzioni (quando e possibile) usando anche (quandoe possibile) il
teorema di Cramer:
x 1 2 x 2 x 3 1
x 1 2 h x 2 2 h x 3 2
x 1 2 3 h x 2 2 hx 3 k.
[36] Discutere la compatibilit`a del seguente sistema lineare, al variare dei parametri
h, k —. Determinare esplicitamente le soluzioni (quando e possibile) usando anche (quandoe possibile) il
teorema di Cramer:
2 x 1
x 2
x 3
2 h x 1
2 h x 2
x 3
2 3 h x 1 2 hx 2 x 3 k.
[37] Dato il sistema lineare:
2 x 1 x 2 x 3 0
2 h x 1 2 h x 2 x 3 0
2 3 h x 1 2 hx 2 x 3 k,
i) determinare tutte le soluzioni nel caso di h k 0;
ii) discutere l’esistenza delle soluzioni e determinarle (quando `e possibile) al variare di h, k —.
Universit`a di Torino
Capitolo 1 – Sistemi lineari 5
[38] Dato il sistema lineare:
x 1
x 2
x 3
k
x 1
kx 2
x 3
x 1
kx 2
x 3
k,
i) determinare tutte le soluzioni nel caso di k 1.
ii) Discutere l’esistenza delle soluzioni, al variare di k —.
Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica
Capitolo 2 – Matrici e determinanti 7
`e invertibile.
ii) Posto h 0, determinare l’inversa di A.
[6] Stabilire per quali valori di h — la matrice:
A
0 h 1 0
h 1 0 0 0
`e invertibile.
Calcolare il determinante delle seguenti matrici, riducendole, eventualmente, a forma triangolare supe- riore.
[7] A
[8] A
[9] A
[10] A
[11] A
k 1 k 2 k 3
1 2 k 2 2 k 3 2 k
[12] A
x x 1 x 2
1 x 2 x 3 x
Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica
8 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I
[13] Date le matrici:
A
0 1 a
2 2
, X
x 1
x 2
x 2
, B
a
determinare le soluzioni del sistema lineare AX B , al variare di a in —.
[14] Date le matrici:
A
1 a
2 14 4
, X
x 1
x 2
x 2
, B
a 2
determinare le soluzioni del sistema lineare AX B , al variare di a in —.
[15] Date le matrici:
A
, X
x 1
x 2
x 3
x 4
B
1
, B
2
, B
3
determinare le soluzioni dei sistemi lineari AX B 1 , AX B 2 , AX B 3.
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10 E. Abbena, G.M. Gianella – Esercizi di Geometria e Algebra Lineare I
[7] Dati i vettori:
a 1 , 3 , h , b 1 , 5 , 0 , c 1 , 2 , 1 ,
determinare per quali valori di h —, esiste un vettore x di V 3
che verifica tutte le seguenti condizioni:
i) x sia complanare ad a e a c ;
ii) x sia perpendicolare a b c ;
iii) il vettore proiezione ortogonale di x su c sia c.
[8] Dati i vettori: u 2 , 1 , 3 e v 0 , 2 , 3 , determinare il vettore x simmetrico di u rispetto a v.
[9] Dati i vettori: u 2 , 1 , 3 e v 0 , 2 , 3 , determinare i vettori bisettori degli angoli individuati da u e v.
[10] Dati i vettori:
a 1 , 2 , 3 , b 1 , 3 , 1 , c 0 , 1 , 1 ,
determinare, se esistono, i vettori x tali che:
2 x a b x b c_._
[11] Calcolare il valore della seguente espressione:
a b c a b c a b c ,
dove a , b , c sono vettori qualsiasi dello spazio vettoriale reale V 3.
[12] Dati i vettori: u 1 , 1 , 1 e v 1 , 0 , 0 , scomporre il vettore v nella somma di un vettore parallelo ad u e
di un vettore ortogonale ad u.
[13] Siano u , v vettori di V 3
, provare che:
u v
2 u u v v u v
2 .
[14] Verificare che i vettori: u 2 i j k e v i k sono ortogonali e determinare le componenti del vettore
w i 3 j 2 k rispetto alla base B
u , v , u v.
[15] Dati i vettori: u i k e v i j , determinare i vettori x di V 3 , complanari a u e a v , ortogonali a u v
e di norma 1.
[16] Dati i vettori: u i 2 j k e v i j k ,
i) verificare che u `e ortogonale a v ;
ii) determinare i vettori x tali che u x v.
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Capitolo 3 – Calcolo vettoriale 11
[17] Dati i vettori: u 1 , 1 , 0 e v 0 , 1 , 1 , determinare i vettori x di V 3
tali che la loro proiezione ortogonale
sul piano individuato da u e v sia il vettore a 3 u 4 v.
[18] Dati i vettori:
u 1 , 1 , h , v 2 , 0 , h , w 2 , 1 , 0 ,
determinare per quali valori di h — esistono uno o pi`u vettori x V 3
che verificano simultaneamente le seguenti
condizioni:
i) x e perpendicolare ad` u ;
ii) il vettore proiezione ortogonale di x su v `e 2v ;
iii) il volume con segno del tetraedro individuato dai vettori x , v , w vale 8.
[19] i) Dati i vettori: a 1 , 0 , 1 e b 2 , 1 , 2 , si determini il vettore x tale che:
a) l’area del parallelogramma individuato da a e da x sia 6.
b) B
a , b , x sia una base ortogonale positiva.
ii) Si determinino le componenti del vettore c 4 i j 3 k rispetto alla base B
.
[20] i) Dati i vettori: a 2 , 1 , 1 e b 0 , 1 , 1 , si determinino tutti i vettori x tali che la proiezione ortogonale
di x sul piano vettoriale generato da a e da b sia il vettore a b.
ii) Scelto un vettore x particolare, si determinino le componenti del vettore c 4 i j 3 k rispetto alla base
B
a , b , x.
[21] Dati i vettori:
x i j 2 Λk ,
y Λi Λj 2 k ,
z i ,
i) esistono dei valori di Λ — per cui i tre vettori risultino complanari?
ii) Esistono dei valori di Λ — per cui il vettore x bisechi l’angolo formato da y e da z?
[22] Dati i seguenti vettori:
a 1 1 , 3 , 2 ,
a 2 2 , a 6 , a 4 ,
a 3 1 , a 3 , a
2 a 1 ,
b 0 , 2 , a 1 , a — ,
i) determinare i valori del parametro a per cui i vettori a 1 , a 2 , a 3 sono linearmente indipendenti.
ii) Posto a 2, determinare le componenti del vettore b rispetto alla base a 1 , a 2 , a 3.
[23] Dati i vettori: u 1 1 , 1 , 2 , u 2 2 , 1 , 3 , u 3 3 , 0 , h , dire per quali valori di h i vettori u 1 , u 2 , u 3 sono
linearmente indipendenti.
[24] Dati i vettori: u^ ^1 ,^^3 ,^^2 ,^ v^ ^ ^2 ,^^1 ,^^1 , verificare che^ V^ ^ L^ u ,^ v^ ha dimensione 2. Trovare per quali
valori di t il vettore w t, 0 , 1 appartiene allo spazio V e, per tali valori, determinare le sue componenti
rispetto ai vettori u e v.
Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica
Capitolo 3 – Calcolo vettoriale 13
[34] Dati i vettori: u 1 , 2 , 1 , v 1 , 0 , 2 , w t, t, t 2 , t —,
i) determinare il valore di t in modo tale che u , v , w siano complanari ed esprimere w come combinazione lineare
di u e di v.
ii) Posto t 1, determinare il vettore w
perpendicolare a u , a v , avente norma uguale alla norma di w e
formante un angolo ottuso con j.
[35] Utilizzando il prodotto scalare, dimostrare che:
un parallelogramma ha quattro lati uguali se e solo se le diagonali sono perpendicolari.
[36] Utilizzando il prodotto scalare, dimostrare che le diagonali del rombo sono bisettrici degli angoli.
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Capitolo 4
Autovalori e autovettori
Trovare gli autovalori e gli autovettori delle seguenti matrici:
[1] A
[2] A
[3] A
[4] A
[5] A
[6] A
[7] A
