Funzioni Complesse
Sia C= R x R, prodotto cartesiano tra R e R. Si definisce funzione a variabile
complessa una funzione f: C -> C. Una funzione di questo tipo f (z) è così definita:
sia z appartenente a C; z= x + iy; z=(x,y) con x,y appartenenti a R^2.
f (z) = f (x,y) -> funzione a due variabili
f (z) appartiene a C; f (z) = u (z) + iv(z)
f (x,y) = u(x,y) + iv(x,y) -> combinazione lineare di 2 funzioni a 2 variabili
Se f è definita da omega sotto insieme di R^2 a valori in R^2 -> anche le funzioni u,
v saranno definite da omega sotto insieme di R^2 a valori in R^2
Come per le funzioni reali (ad una o più variabili) si definisce la topologia delle
funzioni mediante alcuni concetti: intorno, interno, esterno, punto d’accumulazione,
insieme aperto, insieme chiuso, limite.
In merito al limite di una funziona a variabile complessa, dei teoremi enunciati per le
funzioni a variabili reali, ritroviamo solo il teorema di unicità del limite, in quanto
non essendo possibile confrontare numeri complessi (poiché non sono numeri
ordinati) non valgono i teoremi di permanenza del segno e del confronto.
La definizione di continuità per le funzioni a variabile complessa, è identica a quella
per le funzioni studiate precedentemente.
Un’ analoga definizione di funzione continua, può essere data considerando la
funzione a variabile complessa come combinazione lineare di due funzioni a variabile
reale. Se queste due funzioni sono continue rispettivamente nei punti x0 e y0
(essendo z0=x0+iy0), allora anche la funzione di partenza è una funzione continua.
Nel campo dei numeri complessi, una funzione derivabile è detta olomorfa.
La definizione di derivata di una funzione nel punto, è analoga a quella delle funzioni
a variabile reale.
Un esempio di funzione non derivabile, è la funzione f(z)= x – iy nel punto
z0=x0+iy0
Nonostante le funzioni u(x,y)= x e v(x,y)=-y siano di classe C(infinito), la funzione
f(z) non è derivabile nel punto z0.
Continua a valere il teorema per il quale una funzione derivabile in un punto è anche
continua.
Un teorema fondamentale per questo tipo di funzioni, è il teorema di Cauchy –
Riemann.
Enunciato
