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Funzioni e continuità
Insiemi di punti: altre caratteristiche Diciamo che un insieme A è:
- (^) limitato inferiormente se esiste un numero h tale che sia Il più grande di questi numeri h viene detto estremo inferiore di A e si indica con il simbolo inf(A).
- (^) limitato superiormente se esiste un numero k tale che sia Il più piccolo dei numeri k viene detto estremo superiore di A e si indica con il simbolo sup(A)
x ³ h " x Î A
x £ k " x Î A
Se A è limitato sia inferiormente che superiormente, diciamo semplicemente che è limitato. Se inf A e sup A appartengono ad A :
- (^) inf A rappresenta il minimo di A
- (^) sup A rappresenta il massimo di A Di un insieme A che non è limitato si dice che è illimitato ; in questo caso:
- (^) se è illimitato inferiormente:
- (^) se è illimitato superiormente:
inf A
sup A
Insiemi di punti: altre caratteristiche
Funzioni e continuità
ESEMPI
é
ë
ê
ö
ø
÷
inf A sup^ A
( ^ ,^3 )
inf B sup^ B^ ^33
æ
è
ç
ù
û
ú
inf C
sup C
Insiemi di punti: altre caratteristiche
Funzioni e continuità
ESEMPIO
Verifichiamo che la funzione è continua in. La funzione ha come dominio R ed è quindi definita in un intorno del punto 2. ( ) 2 3 4
f x x x 0 ^2
Calcoliamo f^ ( x 0 ) : f^ ( 2 ) ^29
Calcoliamo lim :
x ® x 0 f (^) ( x ) lim x ® 2
2 x
4
( ^3 ) ^29
Avendo trovato due valori uguali, la funzione è continua. Funzioni continue
Funzioni e continuità
La continuità dalla destra e dalla sinistra
Una funzione f ( x ) è:
- (^) continua dalla sinistra in x = x 0 se
- continua dalla destra in x = x 0 se
lim
x ® x 0 ^
f ( x ) f ( x 0 )
lim
x ® x^ 0
f ( x ) f ( x 0 )
ESEMPIO
La funzione f ( x ) è: f ( x )^ ^
x x ³ 0
1 x < 0
ì
í
î
è continua dalla destra in x 0 = 0 perché lim
x ® 0 ^
x 0 f ( 0 )
Poiché lim la funzione non è continua dalla sinistra e quindi non è continua in x 0 = 0.
x ® 0 ^
Funzioni continue
Funzioni e continuità
Sono continue in ogni punto del loro dominio:
- (^) la funzione costante f^ (^ x )^ k
- (^) la funzione potenza (^ )^ h
f x x
- (^) la funzione esponenziale (^ )^ x
f x a
- (^) la funzione logaritmica f^ (^ x )^ log ax
- (^) le funzioni goniometriche f^ (^ x )^ sin^ x , f^ (^ x )^ cos^ x , f^ (^ x )^ tan x e le loro inverse. Se f (^ x ) e g (^ x ) sono funzioni continue, risultano continue anche le funzioni: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) g ( x )
f x
f x
f x g x
f x g x
k f x
n
(con n intero positivo) (se g (^ x )^ ¹^0 ) Funzioni continue
Funzioni e continuità
ESEMPI
- , che ha come dominio , è continua in ogni punto di in quanto somma di funzioni continue.
y 5 x
2
3 x 2 R^ R
- , che ha come dominio , è continua in ogni punto di in quanto prodotto di funzioni continue.
y 3 x cos x R R
3. y , è continua nel dominio in quanto quoziente di funzioni continue.
3 x
2
x 1
R 1
- , è continua nel dominio in quanto funzione composta dalle due funzioni continue ed.
y e
x^2 3 x R
x 3 x
2
x
e
Funzioni continue
Funzioni e continuità
ESEMPI
- Stabiliamo se la funzione f^ ( x ) x ammette zeri nell’intervallo. 5 3 x (^1) [ 0 , (^1) ] La funzione è continua in R e quindi lo è anche nell’intervallo [^0 ,^1 ]. La funzione assume valori di segno opposto agli estremi dell’intervallo: e Per il Teorema di Bolzano, esiste almeno uno zero in [0,1].
f ( 0 ) 1 f ( 1 ) 1
- Stabiliamo se la funzione ammette zeri nell’intervallo o nell’intervallo. f (^) ( x )
x
3
x
[ ^1 ,^1 ] [ 1 ,^2 ] In [^ ^1 ,^1 ] la funzione non è continua in quanto non è definita in x = 0. In [ 1 ,^2 ] la funzione è continua; valutiamola agli estremi dell’intervallo: f (^) ( 1 ) 2 f ( 2 )
La funzione assume valori dello stesso segno. In entrambi i casi non tutte le ipotesi del teorema sono verificate, non è quindi garantita l’esistenza degli zeri in tali intervalli. Le proprietà delle funzioni continue
Funzioni e continuità
Teorema di Weierstrass Se un funzione è continua in un intervallo chiuso e limitato , esiste almeno un punto in dove assume il valore massimo ed almeno un punto dove assume il valore minimo. f (^) ( x ) [^ a ,^ b ] [^ a ,^ b ] f (^) ( x ) Il massimo M e il minimo m della funzione si possono trovare in corrispondenza di uno dei punti estremi oppure di un punto interno a (^) [ a ,^ b ], come illustrato nelle seguenti figure: Le proprietà delle funzioni continue
Funzioni e continuità
Teorema dei valori intermedi Una funzione continua in un intervallo assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo m e il massimo M. f (^) ( x ) [ a , b ] Interpretazione grafica: se una funzione è continua, ogni retta , con k variabile tra m e M , interseca il grafico di in almeno un punto.
y k
f ( x )
Le proprietà delle funzioni continue
Funzioni e continuità
ESEMPIO
La funzione f^ ( x ) è una funzione omografica.
x 2
x 3
La funzione è continua nell’intervallo Assume il suo valore minimo in ed è Assume il suo valore massimo in ed è I [ 2 , (^1) ]
x 1
x 2
f ( 1 )
f ( 2 )
Possiamo quindi affermare che in I assume almeno
una volta ogni valore compreso tra e.
Le proprietà delle funzioni continue
Funzioni e continuità
ESEMPIO
La funzione ha dominio e non è quindi definita ; questo punto è però di accumulazione per. f (^) ( x )
x 1
D : ( 1 , ) x 1
D Non esiste quindi f^ (^ x )^ ^1 ma è possibile valutare il limite di f^ ( x )^ per x ®^1 ed è lim. x ® 1
x 1
Il punto x ^1 è un punto di discontinuità.
I punti di discontinuità delle funzioni
Funzioni e continuità
Classificazione dei punti di discontinuità – Discontinuità di prima specie Una funzione presenta in una discontinuità di prima specie se i limiti sinistro e destro per che tende a sono finiti e sono diversi:
f ( x ) x x 0
x x 0
lim
x ® x 0 ^
f ( x ) ℓ 1 lim
x ® x 0 ^
f ( x ) ℓ 2 ed è ℓ 1 ¹ℓ 2
La differenza ℓ 1 ^ ℓ 2 tra i due limiti si dice salto della funzione.
ESEMPIO
La funzione
è discontinua in x = 0, poiché:
f ( x )
x x < 0
x
2
1 x ³ 0
ì
í
î
lim
x ® 0 ^
f ( x ) 0 lim
x ® 0 ^
f ( x ) 1 i due limiti sono diversi
La discontinuità è di prima specie con salto pari a 0 ^ (^1 )^ ^1
I punti di discontinuità delle funzioni
Funzioni e continuità
- La funzione non è definita in. Calcoliamo il limite per : non esiste quindi in la funzione presenta una discontinuità di seconda specie. f (^) ( x ) tan
x
x ® 0
lim
x ® 0
tan
x
x ® 0
x 0
ESEMPI
- La funzione non è definita in e presenta in questo punto una discontinuità. Poiché la discontinuità è di seconda specie. f (^) ( x )
x 1
x 2
x 2
lim
x ® 2
x 1
x 2
e lim
x ® 2
x 1
x 2
I punti di discontinuità delle funzioni
Funzioni e continuità
Una funzione presenta in una discontinuità di terza specie se esiste finito il limite , ma o non esiste, oppure è un valore diverso da quello del limite: e
f ( x ) x x 0 x ®^ x 0
f ( x 0 )
lim
x ® x 0
f ( x ) k f ( x 0 )
h con^ h ¹ k
non esiste Classificazione dei punti di discontinuità – Discontinuità di terza specie La funzione può essere resa continua modificando la sua definizione nel punto in modo da farle assumere il valore del limite (discontinuità eliminabile).
x 0
I punti di discontinuità delle funzioni
