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FUNZIONI CONTINUE
Una funzione f ( ) x , definita in un intervallo[ a b , ]^ , si dice continua nel punto c (interno a questo
intervallo) se risulta:
lim ( ) ( ) x c
f x f c →
Dalla definizione segue che la funzione è continua in un punto c , quando si verificano queste
tre circostanze:
f ( ) x
- Esiste il valore della funzione nel punto c ;
- Esiste il limite della funzione per x → c ;
- Il limite coincide con il valore della funzione nel punto c.
Quando la funzione è continua nel punto c il calcolo del limite non presenta difficoltà,
vediamo due semplici esempi:
f ( ) x
Esempio 1.
Vogliamo calcolare 2
lim sin x
x → π
. Essendo la funzione sin definita in tutto , essa è continua per
ogni valore di x , quindi basta procedere come illustrato al punto 3:
x \
2
lim sin sin 1 x 2
x π
π
→
-10 -5 5 10
-0.
1
FUNZIONI DISCONTINUE
Sia f ( ) x una funzione definita in un intervallo[ a b , ] , escluso al più un punto c di questo. Se essa
non è continua in c , il punto c si dice punto singolare o di discontinuità della , e questa
dicesi discontinua in c.
f ( ) x
I punti di discontinuità si dividono in tre specie:
1. PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI PRIMA SPECIE (O DI SALTO).
Si dice che nel punto c la funzione ha una discontinuità di prima specie (o di salto) , se in tale
punto esistono finiti i limiti destro e sinistro e sono fra loro diversi.
f ( ) x
La differenza lim ( ) lim ( ) x c x c
f x f → + → −
− x si dice salto della f ( ) x in c.
Esempio.
Consideriamo la funzione 2
x y x x
= +. Essa ha una sola discontinuità di salto nel punto x = 0 ,
infatti:
0 0 0
lim 2 lim 2 lim 2 1 1 x x x
x (^) x x x x → − (^) x → − (^) x → −
⎜ +^ ⎟ =^ −^ =^ −^ = −
⎝ ⎠ ⎝^ ⎠
0 0 0
lim 2 lim 2 lim 2 1 1 x x x
x (^) x x x x → − (^) x → − (^) x → −
⎜ +^ ⎟ =^ +^ =^ +^ =
⎝ ⎠ ⎝^ ⎠
-6 -4 -2 2 4 6
-7.
-2.
5
10
2. PUNTI DI DISCONTINUITÀ DI SECONDA SPECIE.
Si dice che il punto c è, per la funzione , di discontinuità di seconda specie quando in c o non
esiste almeno uno dei due limiti:
f ( ) x
lim ( ) x c
f x → +
, lim ( ) x c
f x → −
, oppure quando uno almeno di questi vale
l’infinito.
Esempio.
La funzione 1
x y x
, ha una discontinuità di seconda specie nel punto x = 1 , infatti
1
lim x 1
x
→ − (^) x
1
lim x 1
x
→ + x
x
y
O
x
Q
A
P
P '
T
T '
M
purché x indichi la misura in radianti dell’angolo.
Cominciamo col calcolare il limite destro, e a tale scopo
consideriamo il cerchio goniometrico e conseguentemente
prendiamo il raggio come unità di misura.
Sia un angolo di misura x , in radianti , e quindi è anche
la misura, rispetto al raggio, dell’arco
l AOP o AM P. Supposto x
positivo e minore di 2
π , avendo preso il raggio del cerchio
come unità di misura, risulta:
QP = P Q ' =sin x
AT = T A ' = tan x.
Inoltre essendo: q P P ' < P AP ' < T T ' , si ha:
2sin x < 2 x < 2 tan x ,
da cui, dividendo per 2s in x (che è positivo), si ottiene:
sin cos
x
x x
Prendendo i reciproci:
sin cos 1
x x x
Dato che cos x è una funzione continua, risulta: li 0
m cos cos 0 1 x
x →
= = ; perciò in base al criterio del
confronto, si ha pure, sempre per x che tende a zero per valori positivi,
0
sin lim 1 x
x
→ + x
Per calcolare poi il limite di
sin x
x
per x tendente a zero da sinistra (per valori negativi), si osservi
che, posto x = − u , si ha:
0 0 0 0
sin sin( ) sin sin lim lim lim lim 1 x u u u
x u u u
→ − (^) x → + (^) u → + (^) u → + u
Concludiamo che per x tendente a zero per valori sia positivi che negativi, si ha:
0
sin lim 1 x
x
→ x
come si voleva dimostrare.
