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Funzioni elementari
1 Funzioni elementari......................................................................... pag. 1 1.1. Potenze ad esponente naturale......................................................... .pag. 1 1.2. Potenze ad esponente intero negativo................................................... pag. 2 1.3. Potenze ad esponente razionale positivo non intero...................................... pag. 2 1.4. Potenze ad esponente razionale negativo non intero..................................... pag. 3 1.5. Potenze ad esponente irrazionale....................................................... pag. 4 1.6. Funzioni esponenziali................................................................... pag. 5 1.7. Funzioni logaritmiche.................................................................. .pag. 5 1.8. Funzioni trigonometriche............................................................... pag. 6 1.9. Funzioni trigonometriche inverse........................................................ pag. 7 1.10. Funzioni iperboliche e loro inverse..................................................... pag. 8 2 Funzioni definite a tratti.................................................................... pag. 9 2.1. Segnante............................................................................... pag. 9 2.2. Valore assoluto......................................................................... pag. 9 2.3. Parte intera........................................................................... pag. 10 2.4. Mantissa.............................................................................. pag. 10
1. FUNZIONI ELEMENTARI
1.1. Potenze ad esponente naturale: f (x) = xn^ con n 5 N. Ricordiamo che per definizione si pone
xn^ =
xx · · · x (n volte) se n 9 = 0 1 se n = 0 per ogni x 5 R.
Si tratta di funzioni pari se n è pari, dispari se n è dispari. Domini, immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici.
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1.2. Potenze ad esponente intero negativo: f (x) = xn^ con n 5 N. Ricordiamo che per definizione si pone
xn^ =
xn^
per ogni x 5 R, x 9 = 0.
Sono funzioni pari se n è pari, dispari se n è dispari. Domini, immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici.
1.3. Potenze ad esponente razionale positivo non intero: f (x) = x
mn con m, n 5 N^ primi tra loro, n 9 = 1.
Ricordiamo che per definizione si pone
x
mn = n
s xm^ per ogni x 5 R tale che la radice abbia senso.
Occorre allora distinguere vari casi, sulla base della parità o disparità di m ed n.
m pari Si tratta di funzioni pari, con dom f = R.
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m dispari ed n dispari Si tratta di funzioni dispari, con dom f = R \ { 0 }.
m dispari ed n pari Risulta dom f = (0, + 4 ).
Immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici.
1.5. Potenze ad esponente irrazionale: f (x) = x^ con 5 R \ Q.
La potenza x^ è definita tramite un procedimento di approssimazione mediante potenze ad esponente razionale, che non richiamiamo. Risulta dom f = (0, + 4 ) se < 0 , dom f = [0, + 4 ) se > 0.
Immagini, limiti ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici.
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1.6. Funzioni esponenziali: f (x) = ax^ con a 5 R, a > 0.
Risulta dom f = R in ogni caso e particolare rilevanza ha la base irrazionale e = 2. 718281828459 ... (numero di Nepero).
Immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici. Valgono le seguenti proprietà:
- per ogni x 5 R si ha ax^ =
ax^
axay^ = ax+y^ ,
ax ay^
= axy^ e (ax)y^ = axy^ ;
- per ogni x 5 R e b 5 R, b > 0 si ha
axbx^ = (ab)x^ e
ax bx^
(^) a b
x .
1.7. Funzioni logaritmiche: f (x) = loga x con a 5 R, a > 0 , a 9 = 1.
Sono le funzioni inverse delle funzioni esponenziali:
loga ax^ = x per ogni x 5 R, aloga^ x^ = x per ogni x > 0.
Risulta dom f = (0, + 4 ) in ogni caso. Immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici. Valgono le seguenti proprietà:
- loga x + loga y = loga (xy) per ogni x, y > 0 ;
- loga x loga y = loga
x y
per ogni x, y > 0 ;
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- cos^2 x + sin^2 x = 1 per ogni x 5 R;
- sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y per ogni x, y 5 R;
- cos (x + y) = cos x cos y sin x sin y per ogni x, y 5 R.
Le ultime due relazioni sono note come formule di addizione e da esse discendono numerose altre identità di uso frequente, tra cui ad esempio le cosiddette formule di duplicazione, bisezione, prostaferesi e Werner. Ci limitiamo qui a ricordare le seguenti formule di duplicazione: per ogni x 5 R risulta
sin (2x) = 2 sin x cos x e cos (2x) = cos^2 x sin^2 x.
Vale inoltre la disuguaglianza
|sin x| |x|
sin x cos x
per ogni^ x^5
Le funzioni tangente e cotangente sono definite da
tan x = sin x cos x
per ogni x 5 R tale che cos x 9 = 0
e
cot x =
cos x sin x
per ogni x 5 R tale che sin x 9 = 0
e risultano dispari e periodiche di periodo minimo .
Immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici.
1.9. Funzioni trigonometriche inverse: arcsin x, arccos x, arctan x.
Le funzioni
x 5
$ sin x 5 [ 1 , 1] , x 5 [0, ] :$ cos x 5 [ 1 , 1] , x 5
$ tan x 5 R
sono iniettive (e suriettive sugli insiemi di arrivo indicati) e possono quindi essere invertite, ottenendo rispettivamente le funzioni arcoseno (dispari), arcocoseno e arcotangente (dispari):
arcsin (sin x) = x per ogni x 5
, sin (arcsin x) = x per ogni x 5 [ 1 , 1] , arccos (cos x) = x per ogni x 5 [0, ] , cos (arccos x) = x per ogni x 5 [ 1 , 1] , arctan (tan x) = x per ogni x 5
, tan (arctan x) = x per ogni x 5 R.
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Immagini, limiti agli estremi del dominio ed intervalli di iniettività e monotònia sono evidenti dai grafici.
1.10. Funzioni iperboliche e loro inverse: sinh x, cosh x, tanh x.
Per ogni x 5 R, per definizione si pone
sinh x =
ex^ ex 2 , cosh x =
ex^ + ex 2 , tanh x =
sinh x cosh x
ex^ ex ex^ + ex^
Seno e tangente iperbolici sono funzioni dispari, mentre il coseno iperbolico è pari. Segnaliamo inoltre le seguenti identità:
- cosh^2 x sinh^2 x = 1 per ogni x 5 R;
- sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y per ogni x, y 5 R;
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2.3. Funzione parte intera: y = [x].
Per definizione, la parte intera [x] di un qualunque x 5 R è il massimo intero che non supera x, ossia
[x] = max {k 5 Z : k x} =
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
AA
2 se x 5 [2, 3) 1 se x 5 [1, 2) 0 se x 5 [0, 1) 1 se x 5 [ 1 , 0) 2 se x 5 [ 2 , 1) 3 se x 5 [ 3 , 2)
...
per ogni x 5 R.
Osserviamo che
- se k 5 Z, allora lim x$k^
[x] = k 1 9 = k = [k] e lim x$k+^
[x] = k = [k] (continuità da destra in k);
- se x 0 5 (k, k + 1) con k 5 Z, allora lim x$x 0 [x] = k = [x 0 ] (continuità in x 0 ).
2.4. Funzione mantissa: y = M (x).
La mantissa M (x) di un qualunque x 5 R è definita da
M (x) = x [x]
da cui segue la decomposizione
x = [x] + M (x) per ogni x 5 R.
Osserviamo che la funzione mantissa risulta limitata e periodica di periodo minimo 1. Inoltre
- se k 5 Z, allora lim x$k^
M (x) = 1 9 = 0 = M (k) e lim x$k+^
M (x) = 0 = M (k) (continuità da destra in k);
- se x 0 5 (k, k + 1) con k 5 Z, allora lim x$x 0 M (x) = x 0 k = M (x 0 ) (continuità in x 0 ).
