Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Prepara i tuoi esami
Studia grazie alle numerose risorse presenti su Docsity
Prepara i tuoi esami con i documenti condivisi da studenti come te su Docsity
Trova i documenti specifici per gli esami della tua università
Preparati con lezioni e prove svolte basate sui programmi universitari!
Rispondi a reali domande d’esame e scopri la tua preparazione
Riassumi i tuoi documenti, fagli domande, convertili in quiz e mappe concettuali
Studia con prove svolte, tesine e consigli utili
Togliti ogni dubbio leggendo le risposte alle domande fatte da altri studenti come te
Esplora i documenti più scaricati per gli argomenti di studio più popolari
Ottieni i punti per scaricare
Guadagna punti aiutando altri studenti oppure acquistali con un piano Premium
Questi appunti, forniti dal sito geologia 2000, coprono diversi argomenti di geologia applicata, tra cui la classificazione granulometrica dei terreni, la saturazione del terreno, la capacità portante, l'equazione della consolidazione e i parametri di resistenza. Vengono inoltre fornite formule e grafici per il calcolo della capacità portante e della resistenza dei terreni.
Tipologia: Appunti
1 / 29
Questa pagina non è visibile nell’anteprima
Non perderti parti importanti!
v 5.2 - ultimo aggiornamento novembre 2002
( ***** ) (^) La Redazione non si assume alcuna responsabilità circa eventuali danni morali, materiali o cerebrali derivati dall’uso proprio o improprio di questi appunti. Non si riterrà altresì responsabile di eventuali crolli, incidenti di cantiere o défaillance in sede d’esame causati da errori o imprecisioni nei dati pubblicati.
Introduzione alla MECCANICA DELLE TERRE
Una terra si differenzia da un materiale a comportamento lapideo (roccia) in quanto le sue particelle sono tenute insieme da forze inferiori di diversi ordini di grandezza rispetto al secondo (un’argilla immersa in acqua per alcune ore si disgrega completamente mentre un calcare o un granito rimane integro). Qui si tratterà esclusivamente della meccanica delle terre; le rocce hanno un diverso comportamento che va studiato in modo differente.
Una terra è costituita da un aggregato di particelle separate da vuoti che possono essere colmati da acqua o aria. Un terreno è dunque definibile come sistema multifase in cui coesistono distinguibili i seguenti tre elementi:
L’insieme di queste tre fasi determina il comportamento di un terreno.
FASE SOLIDA :
Nello studio di una terra, la prima cosa da osservare è la granulometria dei costituenti la sua fase solida, ovvero la distribuzione granulometrica della fase solida.
CLASSIFICAZIONE puramente granulometrica¹ (non mineralogica²) delle particelle secondo la scala M.I.T. (Massashuttes Institute of Tecnology):
DIAMETRO (ø) CLASSE <2μ Argilla 2μ - 64μ Limo ( 2μ = 0,002mm ) 64μ - 2mm Sabbia ( 64μ = 0,064mm )
2mm Ghiaia
¹) differente però da quella usata in sedimentologia; ²) per es. le argille sono quei terreni le cui particelle hanno diametro ø<2μ indipendentemente dalla presenza dei “minerali delle argille”; *) all’interno del Limo e della Sabbia vi è l’ulteriore suddivisione Fino, Medio, Grande.
La classe è una caratteristica indice, indipendente dallo stato in cui si trova il materiale, che condiziona il comportamento del materiale stesso:
Prevalenza della frazione sabbiosa » comportamento granulare Prevalenza della frazione argillosa » comportamento coesivo
Basta infatti una presenza di argilla del 20% per condizionare il comportamento del materiale. Questo è il motivo per cui il primo elemento da studiare in un terreno è la granulometria della fase solida. Il diverso comportamento dei terreni in funzione della granulometria è dovuto all’interazione tra le particelle.
Le FORZE DI INTERAZIONE tra le particelle solide si dividono in forze di massa e forze di superficie. Le forze di massa agiscono sul volume (es. forza di gravità), mentre le forze di superficie interessano esclusivamente la superficie della particella (es. Forze di natura elettrica). La prevalenza di un tipo di forze sull’altro dipende principalmente dalle dimensioni delle particelle. Le forze di massa infatti variano con la dimensione al cubo, mentre quelle di superficie con la dimensione al quadrato, dunque partendo da una determinata dimensione granulometrica e dimezzando progressivamente, le forze di massa diminuiscono in maniera molto più rapida delle forze di superficie.
Morale: in una sabbia prevalgono le forze di volume, in un’argilla quelle di superficie e di conseguenza queste saranno le forze che condizionano l’interazione delle particelle nelle rispettive due classi.
*) Le sostanze in cui le forze di coesione sono legate essenzialmente a forze di superficie e quindi di natura elettrica sono dette “colloidi”. Si tratta di materiali costituiti da particelle di ø<1μ.
Per poter esprimere questo concetto di prevalenza delle forze di superficie su quelle di massa si adotta la SUPERFICIE SPECIFICA. Si tratta della superficie contenuta nell’unità di massa (m²·g), cioè preso un grammo di materiale, è la superficie che si otterrebbe se si potesse svolgere tutta la superficie di tutte le singole particelle che contiene.
Se una Sabbia può avere una superficie specifica di 10-² m²·g, un’Argilla come la Caolinite risulta invece 20 m²·g mentre la Montmorillonite raggiunge addirittura gli 800 m²·g (idealmente ne basterebbero 12g per ricoprire un campo di calcio!) Si capisce bene che nelle argille le forze di superficie acquistano una importanza prevalente. Questa notevole differenza nella superficie specifica è dovuta non soltanto alle dimensioni dei granuli ma, specie nella Montmorillonite, essenzialmente alla composizione mineralogica. Se nelle frazioni sabbiose infatti prevalgono minerali come quarzo, feldspati, plagioclasi e calcite, nella frazione granulometricamente rientrante nella classe delle argille prevalgono invece i cosiddetti minerali delle argille (Illite, Montmorillonite, Caolinite ecc.) i quali, avendo forma lamellare, presentano una superficie molto ampia rispetto alla massa, specie se confrontati ai sopra citati minerali delle Sabbie.
Le forze di superficie che agiscono nelle particelle dei Minerali delle argille sono dovute a cariche negative in eccesso o distribuzione disomogenea delle cariche (effetto dovuto alla struttura atomica delle particelle, costituite da pacchetti di catene di tetraedri). La presenza di cariche negative sulla superficie delle particelle delle argille provoca l’attrazione sia delle molecole dell’acqua che di eventuali cationi presenti nell’acqua (sodio, potassio, calcio, secondo la salinità dell’acqua), tali ioni sono a loro volta idrati (legati anch’essi a molecole d’acqua). In tali condizioni si dice che il materiale ha “elevata attività superficiale”. In conclusione, intorno alla superficie della particella di argilla si fisserà uno strato d’acqua in modo molto forte. E’ l’acqua cosiddetta “adsorbita”, che non risente più della forza di gravità, e la cui eliminazione richiede molta energia, essendo vincolata alla particella da legami elettrici, quindi relativamente forti.
Una conseguenza di tutto ciò è ad esempio la quantità d’acqua necessaria perché un terreno raggiunga un comportamento da liquido. Ricordando i valori di superficie specifica della Caolinite e della Montmorillonite, è evidente che la seconda è maggiormente interessata dall’adsorbimento, offrendo una superficie notevolmente maggiore. Di conseguenza se prendiamo una medesima quantità dei due tipi di argilla ed aggiungiamo acqua, la Caolinite
In base a questo principio la densità della soluzione punto per punto è proporzionale alla quantità di materiale presente in un determinato istante ad quella determinata profondità. Si effettueranno così delle misurazioni a profondità standard decrescenti e a intervalli di tempo standard, che saranno più frequenti all’inizio e poi via via sempre più distanti, per evitare di rimisurare ø già presenti in precedenza ma nel frattempo scese a livelli più bassi.
Dopo opportune correzioni relative al tipo di densimetro utilizzato, alla temperatura e alla presenza del deflocculante (la cui densità ha certamente alterato quella della soluzione), si ottiene un dato che chiameremo ø equivalente trattenuto, come se avessimo usato un setaccio ideale (di una finezza che materialmente è irrealizzabile). Conoscendo il peso totale del campione secco, su una tabella (fotocopia Ia) verranno infine indicate, per ciascun ø equivalente, la corrispondente percentuale di trattenuto e la percentuale cumulata, analogamente a quanto già visto per la setacciatura.
Il DIAGRAMMA GRANULOMETRICO (fotocopia Ia) si costruisce in base ai risultati della setacciatura e dell’aerometria eseguite sul nostro campione per conoscere come questo materiale si distribuisce all’interno delle varie classi granulometriche. In ascissa abbiamo il diametro¹ delle particelle riportato in mm e su scala logaritmica, dato l’ampio range di dimensioni. In ordinata (in scala lineare) abbiamo da un lato la % cumulata di trattenuto e dall’altro la % cumulata di passante, ovviamente con scale reciprocamente inverse. In base alle tabelle compilate in precedenza, si individuano nel diagramma i punti che hanno come coordinate trattenuto e ø, unendo i quali si otterrà la curva granulometrica (vedi fotocopia Ia).
¹) ricordiamo che usando il termine “diametro” intendiamo per la setacciatura la dimensione minore e per l’aerometria un diametro teorico che definiamo equivalente. *) nella realtà la % cumulata del trattenuto al ø minore non risulterà sempre 100% poiché vi potrà essere al di sotto di quella dimensione una certa quantità di materiale tanto fino da non essere discriminabile neppure all’aerometria.
Il diagramma pone in rapida evidenza la distribuzione granulometrica del nostro campione e quindi qual è la componente che influisce sul suo comportamento. Ad esempio per conoscere l’incidenza dell’argilla basterà osservare la % di passante che ricade nella gamma delle argille. Una curva molto ripida indica un materiale poco diversificato, viceversa la presenza di molte classi granulometriche produce curve meno pendenti. Per esprimere questo concetto si definisce il Coefficiente di Uniformità = D60/D10, dove “D60” è il ø che corrisponde al 60% di passante e “D10” è il ø corrispondente al 10% di passante. D60 e D10 si ricavano molto semplicemente, dopo aver individuato la % sulla scala del passante, andando ad intersecare la curva e leggendo il corrispondente valore di ø. Se il materiale è rappresentato da una sola classe granulometrica (caso limite), la curva risulterà una linea verticale ed il rapporto equivarrà ad 1. E’ definito invece uniforme un materiale con Coefficiente di Uniformità <2.
Una prima classificazione del tipo di terreno è quella granulometrica che si può ottenere sul DIAGRAMMA GRANULOMETRICO DELL’ U.S. BUREAU OF SOILS in base alle percentuali di Sabbia Limo e Argilla riscontrate nel campione (vedi fotocopia Ia, diagramma triangolare). Una classificazione granulometrica in generale è significativa per classificare materiali come Sabbie e Ghiaie ma insufficiente per terreni Argillosi, per i quali occorre definire anche altri parametri.
Si definisce PESO PER UNITA’ DI VOLUME DELLA PARTE SOLIDA il peso del volume unitario di solido “γs”, riferito cioè esclusivamente alla fase solida¹. L’unità di misura è il g/cm³, o kN/m³, o t/m³, equazione dimensionale: [M·L-³] (per le conversioni vedi fotocopia IIIb). L’ordine di grandezza del γs va da 2,5 a 2,9 (²) e sarà generalmente il risultato di una miscela di differenti minerali. Il γs è indispensabile per effettuare stime che vedremo in seguito e si determina sperimentalmente con il cosiddetto metodo dei picnometri. ¹) di conseguenza, in un terreno costituito da un unico minerale, si avrà: Quarzo γ s=2,65 g/cm³ Calcite γ s=2,72 g/cm³ Montmorillonite γ s=2,8 g/cm³ ²) se risulterà ad esempio 2,1 allora sarà evidente che c’è stato qualche errore.
Il METODO DEI PICNOMETRI consente di ricavare il volume occupato da un certo peso (noto) del materiale e quindi di ottenere il γs dal rapporto g/cm³. Partendo da un certo quantitativo di peso secco, per determinarne il volume si osserva il volume di liquido che sposta quando vi viene immerso. Il picnometro è un contenitore di vetro graduato che porta 100ml max di liquido. Per ogni picnometro si usa un certo quantitativo di materiale secco, orientativamente 12g (purché il valore esatto sia pesato alla 3ª cifra decimale).
Le operazioni da eseguire materialmente (vedi fotocopia II) e da ripetere per tre volte per poi ricavarne un valore medio, sono le seguenti:
si pesa il picnometro, ottenendo il valore T o tara. Si introduce il campione secco nel picnometro e si pesa tutto ottenendo Pls. Si aggiunge Acqua Distillata¹ fino a raggiungere i 100ml indicati sul picnometro. Si pesa il tutto, ottenendo Plu. A questo punto si versa via tutto e si ripesa il picnometro riempito solo di Acqua Distillata fino ai 100ml.
Considerando che il peso del campione secco Ps=Pls-T, avremo:
¹) disareata, per eliminare il volume delle bolle;
RELAZIONE TRA FASE SOLIDA E FASE LIQUIDA
Abbiamo già detto che per classificare una Sabbia o una Ghiaia è sufficiente, in prima approssimazione, conoscerne la composizione granulometrica, per materiali invece con un certo contenuto di frazione fine, la composizione granulometrica non è sufficiente. Occorre conoscere anche come si comporta il materiale rispetto al suo contenuto d’acqua.
Il CONTENUTO IN ACQUA del terreno (W o Wn)¹, detto anche umidità, si esprime in percentuale, non ha un valore massimo ed è adimensionale, essendo il rapporto tra due pesi. Esprime infatti il rapporto tra il peso dell’acqua ed il peso del solido in un certo materiale: W=Pw/Ps·.
Procedimento per la determinazione: si pesa un contenitore (T); si introduce nel contenitore il campione umido e si pesa tutto (Plu); si secca il campione² e si ripesa con tutta la tara (Pls). Considerando che il peso del campione umido (Pu) =Pw+Ps, avremo Pu-Ps=Pw (³), dove Pu=Plu-T e Ps=Pls-T.
¹) per γ n si intende il contenuto naturale d’acqua; ²) solita cottura per 24 ore in forno ventilato a 110°C; ³) non facevamo prima a fare PW=Plu-Pls?
STATI DI CONSISTENZA e LIMITI DI ATTEMBERG. I limiti di Attemberg definiscono dei passaggi di stato del materiale in base al suo contenuto d’acqua (W). I diversi stati che un materiale può assumere al crescere del suo contenuto d’acqua sono quattro: solido, semisolido, plastico, liquido, separati tra loro dai tre limiti: “di ritiro”, plastico, liquido.
- Stato Solido Limite di Ritiro (Wls) Stato Semisolido W Limite Plastico (Wlp) Stato Plastico Limite Liquido (Wll) + Stato Liquido
¹) nello Stato Solido, dopo 1h di cottura, diminuisce il contenuto in acqua ma non il volume del campione.
La DETERMINAZIONE DEL LIMITE LIQUIDO si effettua mediante la Coppella di Casagrande: un sofisticatissimo strumento meccanico costituito da una vaschetta emisferica¹ in grado di sobbalzare sotto l’azione di piccoli ma costanti colpi prodotti da un meccanismo a manovella. (Praticamente un portacenere a catapulta: siamo a un livello tecnologico da Mago Merlino!)
Procedura:
si passa il campione di terreno al setaccio #40. Il passante viene sottoposto a rimaneggiamento (impasto), cioè lo si dispone su una lastra di vetro, si aggiunge acqua² e si mescola fino a renderlo uniforme. Si depone il tutto nella Coppella di Casagrande e si produce nel materiale un solco diametrale della larghezza di 2mm. Si producono dei colpi ruotando l’apposita manovella e si contano finché il solco non si richiude per una lunghezza di 13mm. A questo punto si misura il W. Il Limite Liquido del nostro materiale corrisponde al contenuto d’acqua per il quale il solco si chiude con 25 colpi. Per determinarlo con esattezza si eseguiranno 5 prove con contenuti d’acqua crescenti e si riporteranno i dati su un diagramma W\colpi dove, tracciato l’andamento relativo alle 5 prove, si estrapolerà il valore corrispondente ai 25 colpi, che sarà il Wll³ (vedi fotocopia Ib).
¹) le dimensioni e tutti i parametri sono standard; ²) il campione avrà dunque un determinato W; ³) ma, se si è fortunati, una delle prove può già risolversi con 25 colpi!
La DETERMINAZIONE DEL LIMITE PLASTICO si effettua anch’essa sul passante al setaccio #40 ma con la seguente procedura:
si impasta il materiale con acqua e si lavora con le mani su di un piano in modo da ottenere degli “spaghetti” (ormai non non ci sorprende più nulla). Così facendo l’acqua contenuta nella pasta evapora progressivamente fino al punto che lo spaghetto si spezzerà. A questo punto si misura il contenuto d’acqua del materiale manipolato. Si ripete il procedimento con un secondo spaghetto e si mediano i due valori W: il risultato sarà Wlp.
La DETERMINAZIONE DEL LIMITE DI RITIRO ... Lacuna! Spera che non ti capiti all’esame...
PARAMETRI INDICE :
Dove W è il naturale contenuto d’acqua del materiale.
L’ABACO DI CASAGRANDE è un grafico che riporta in ascissa il Limite Liquido (Wll) e in ordinata l’Indice di Plasticita (IP). La retta inclinata segue l’equazione IP = 0,73·(Wll-20); le due rette verticali corrispondono rispettivamente a Wll=30 e Wll=50. I 6 campi rappresentati (vedi fotocopia Ib) suddividono la componente fine¹ nelle seguenti classi:
Diagramma dell’ INDICE DI GRUPPO : sul nomogramma (vedi fotocopia Ib) si individua la % di passante al setaccio #40 (asse destra) e si unisce con una retta al valore di IP del nostro materiale, individuato sull’apposito asse (inclinato superiore). Una seconda retta si traccia tra lo stesso valore di passante e il valore di Wll del nostro materiale (quest’ultimo sull’asse inclinato inferiore). Entrambe le rette vanno proiettate sull’asse dell’indice di gruppo parziale (verticale a sinistra), intercettando due valori che andranno sommati¹. ¹) sul fatto che vadano sommati non ci giurerei...
L’ ATTIVITA’ SUPERFICIALE (A) è una grandezza che esprime il rapporto tra l’indice plastico (Wll-Wlp) e la % granulometrica <2μ:
¹) dicevamo infatti nel paragrafo “DIAGRAMMA GRANULOMETRICO” che per la componente fine, considerata la forte influenza che la fase liquida ha su di essa, occorrevano altri parametri per definire una classificazione adeguata.
W-Wlp
Wll-Wlp
Per W<WLp ⇒ Il< per W=Wll ⇒ Il=
Per W=Wll ⇒ Ic= per W=Wlp ⇒ Ic=
Wll-W Wll-Wlp
¹) lo 0 è puramente teorico poiché corrisponde all’inesistenza di spazi tra le particelle del solido.
RELAZIONE TRA POROSITA’ E INDICE DEI VUOTI : supponiamo di prendere un volume totale di materiale tale che all’interno di questo volume rientri un volume unitario di solido (ovvero un solo cm³). Se ho un Vs=1, per la definizione di indice dei vuoti risulterà Vv=e, e quindi avremo:
Vv Vv e n = = = ⇐ porosità come funzione dell’indice dei vuoti Vt Vs+Vv 1+e
Analogamente, se prendiamo un volume totale di 1cm³ (Vt=1), per la definizione di porosità, questa volta avremo Vv=n, e di conseguenza:
Vv n n e = = = ⇐ indice dei vuoti come funzione della porosità Vs Vt-Vv 1-n
Applicando una sollecitazione ad un terreno (una pressione), avremo una riduzione sia dell’indice dei vuoti che della porosità. Però nel rapporto che esprime l’indice dei vuoti varia soltanto il numeratore poiché al denominatore c’è il volume del solido che, come abbiamo già detto, non può mai cambiare. Nel rapporto che esprime la porosità, variano invece entrambi i valori in gioco. Per questo motivo l’indice dei vuoti è quello da cui risalta meglio il costipamento di un terreno¹.
¹) nei casi di costipamento del terreno avremo sempre a che fare con e ma dobbiamo ricordare che sarà sempre possibile ottenere da esso il valore di n.
Il GAMMA NATURALE (γn) è il peso dell’unità di volume della totalità del nostro materiale, ovvero quanto pesa 1cm³ di materiale così come viene preso. E’ dunque espresso dal rapporto tra peso totale e volume totale: γn = Pt/Vt. Generalmente si tratta di un valore più piccolo di γs, poiché conta anche l’acqua che ha un peso specifico minore della componente solida¹. In un terreno saturo si avrà γn = γsat; in un terreno non saturo sarà invece γn < γsat.
¹) il gamma naturale raggiunge al massimo il valore 2,1 contro il range 2,4\2,9 del gamma solido.
Il GAMMA DRY (γd) esprime il peso del solido che si trova all’interno di 1cm³ di materiale ed è rappresentato dal rapporto tra il peso del solido e il volume totale: γd = Ps/Vt. Ovviamente sarà generalmente minore del γn, e risulterà uguale soltanto in un terreno completamente secco.
Wn· s e = ⇒ molto usata in laboratorio perché è più facile misurare un peso piuttosto che un volume; Gs
Gs·e = W· s ⇒ deriva dalla precedente, se questa uguaglianza non è verificata, allora uno dei parametri è errato;
n d = 1+Wn ¹) oltre a quelle riportate nella fotocopia IIIa
*) tra le “REALZIONI FONDAMENTALI” indicate nella fotoco pia IIIa, è da imparare a memoria quella del n. Quella del sat è sostanzialmente uguale, solo che Gs=1.
DENSITA’ RELATIVA (Dr). Per ogni terreno esistono un e max e min. Al valore max che per un determinato terreno può raggiungere l’indice dei vuoti corrisponde la minima densità che quel terreno può avere¹ (γ n (^) min ), viceversa al valore minimo di e corrisponde la densità massima² (γnmax). Stabilito che la densità dipende dal range dell’indice dei vuoti, si può definire un valore di Densità Relativa: Dr = (emax-e)/(emax-emin). Si osservi: se l’indice dei vuoti (naturale) corrisponde al valore max per quel materiale, la Dr equivarrà a 0; se l’indice dei vuoti corrisponde invece al valore minimo possibile, la Dr equivarrà ad 1. Ne segue che la Dr, per qualsiasi materiale, avrà un range compreso tra 0 ed 1, o meglio tra 0% e 100%, poiché va espressa in percentuale. In conclusione se un materiale ha Dr=100% vuol dire che non possiamo ridurre ulteriormente l’indice dei vuoti. Dal valore della densità relativa è possibile classificare lo stato di addensamento che il materiale ha in sito³.
¹) in laboratorio si ottiene versando il materiale in un cilindro contenente acqua, senza sottoporlo ad altre sollecitazioni; ²) in laboratorio si ottiene sottoponendo il campione a vibrazioni in modo da farne assestare la disposizione le particelle ottenendo la massima compattezza. ³) sul posto e quindi al naturale; (qualche raffinato predilige l’espressione latina: ”in situ”).
FONDAMENTI DI IDRAULICA
Moto Vario: Data una corrente d’acqua transitante attraverso una determinata sezione, la velocità delle particelle è diversa da punto a punto e in ciascun punto varia anche col passare del tempo. La velocità varia nello spazio e nel tempo.
Moto Permanente: Data una corrente d’acqua transitante attraverso una determinata sezione, la velocità delle particelle è diversa da punto a punto ma in ciascun punto non varia nel tempo. La velocità varia nello spazio ma non nel tempo.
Moto Uniforme: Data una corrente d’acqua transitante attraverso una determinata sezione, la velocità delle particelle è uguale in ogni punto ed in ciascuno non varia nel tempo. La velocità non varia nello spazio e non varia nel tempo.
Portata Q (m
3 /sec): Volume d’acqua che attraversa la sezione nell’unità di tempo. È definita anche dal prodotto della superficie della sezione per la velocità media dell’acqua che la attraversa.
Q = A ⋅ v [m
2 ⋅ m/sec] = m
3 /sec
Velocità Media v (m/sec): Nel Moto Permanente è inversamente proporzionale alla superficie della sezione
v = Q / A [m
3 /m
2 sec] = m/sec
Altezza Geometrica Z o Hg (m): Altezza del baricentro della sezione della corrente liquida rispetto ad un piano orizzontale di riferimento, rappresenta l’energia potenziale che possiede una particella d’acqua che si trova ad un’altezza Z sul piano orizzontale di riferimento. È detta anche “Carico Potenziale” o semplicemente “Energia Potenziale”. Poiché l’energia potenziale della particella è Ept=P⋅h, se consideriamo un peso unitario avremo P=1 ⇒ Ept=h. Ecco perché l’altezza geometrica di una particella è identificata con la sua energia potenziale.
Ept = Hg = Z
Altezza Piezometrica Hp (m): Rappresenta l’energia che possiede l’acqua sottoposta ad una certa pressione. È detta anche “energia di pressione” o “Carico Piezometrico”. Dimensionalmente è espressa anche questa da una lunghezza e quindi può essere rappresentata anche materialmente come un’altezza: ponendo un piezometro in un punto, l’altezza piezometrica è la distanza tra quel punto e la quota di risalita dell’acqua nel piezometro (naturalmente se c’è pressione, altrimenti non sale!). Del resto se la pressione unitaria di una colonna d’acqua è P=γ⋅h allora h=P/γ.
Ep = Hp = P/γw [ / ] = = m
Altezza Cinetica Hc (m): Esprime l’energia cinetica che l’acqua possiede quando ha una velocità, è detta anche “Carico Cinetico” e ancora una volta ha le dimensioni di una lunghezza e quindi la rappresentiamo come altezza. L’energia cinetica ha la seguente espressione: Ecn=½ mv^2 , ma sapendo che P=mg da cui m=P/g, possiamo scrivere Ecn=½(P/g)v^2. Considerando un peso unitario P=1 si avrà: Ecn=v^2 /2g. Naturalmente g è sempre l’accelerazione di gravità, pari a 9, m/sec^2.
Ecn = = [ ] = m
Carico Idraulico H (m): Detto anche “Altezza Totale” (Ht) è l’energia che possiede l’unità di peso di acqua a causa della somma delle tre forze dovute all’altezza, alla pressione e alla velocità.
H = Z + +
Nel Moto Permanente la portata è costante in ogni sezione:
A 1 ⋅V 1 = A 2 ⋅V 2
di conseguenza per sezioni più piccole avremo velocità più alte e viceversa. Ciò garantisce il principio di conservazione della massa: tanta acqua entra nel tubo di flusso e tanta ne deve uscire. Notare che invece nel Moto Vario ciò non accade: il volume del tubo di flusso può variare nel tempo variando le portate poiché anche la velocità può variare nel tempo salvando la conservazione della massa.
Kg
m
2
Kg
m
3
Hp
v
2
2g
(m/sec)
2
m/sec
2
Kg
m
2
m
3
Kg
In un Liquido Perfetto l’energia è costante in ogni sezione:
Z 1 + + = Z 2 + +
In un liquido perfetto (senza attrito interno od esterno) per garantire il principio di conservazione dell’energia occorre che, considerate due sezioni S 1 e S 2 , l’energia che attraversa S 1 deve essere uguale all’energia che attraversa S 2 e di conseguenza i rispettivi carichi idraulici (rappresentativi dell’energia totale) saranno uguali.
v
2
2g
P
γ
P (^1)
γ
P (^2)
γ
v 1
2
2g
v 2
2
2g
Z 2 H (^2)
P 2
γ
v
2
2g
Z 1
P 1
γ
v
2
2g
H (^1)
Riepilogo: Una forza F agente su un terreno può essere scomposta nelle sue 3 componenti spaziali σ. I 3 piani ortogonali su cui le σ agiscono ⊥ sono i Piani Principali ; su questi non agiscono sforzi di taglio. L’intersezione dei P.P. è detta Origine dei Piani. Qualsiasi altro piano nel volume di terreno passerà per O.P.. La rappresentazione bidimensionale mostra di taglio PPMax su cui agisce ⊥ σ 1 e PPMin su cui agisce ⊥ σ 3. Il Cerchio di Mohr è il luogo dei punti che rappresentano gli stati tensionali σ;τ di tutti i possibili piani. Ogni piano è rappresentato da una retta che passa per OP e interseca il cerchio nel punto che rappresenta il suo stato tensionale. I PP saranno quindi quelli che partendo da OP intersecano il cerchio alla coordinata τ =0 (quindi direttamente sull’asse σ). Un piano qualunque passa per OP , è angolato sul PPMax di un angolo antiorario θ, subisce una forza R risultante delle sollecitazioni σ;τ individuabili dall’intersezione della retta con il cerchio. La forza R è angolata su questo piano di un valore α rappresentato sul grafico dall’angolo che la congiungente >σ;τ - Origine degli assi< forma con l’asse σ. La rottura si avrà per determinati valori σ 1 f ;σ 3 f ai quali corrisponderanno su un solo piano, quello di rottura, particolari valori σ f ;τ f la cui risultante sarà angolata dell’α max , ovvero del valore φ, angolo di attrito del materiale. Il piano di rottura forma con il PPMax un angolo critico θ c. La retta passante per l’origine e tangente al cerchio forma l’angolo φ con l’asse σ e prende il nome di Retta Inviluppo essendo il luogo dei punti che rappresentano gli stati tensionali a rottura (essendo l’angolo di attrito sempre lo stesso per uno stesso materiale, tutti i cerchi a rottura rappresentativi di tutti i possibili sforzi applicati allo stesso materiale saranno tangenti alla stessa retta). L’eventuale presenza di coesione è rappresentata sull’asse τ dal segmento C intercettato dalla Retta Inviluppo , non più passante per l’origine degli assi cartesiani.
Prova di Taglio Diretto o Scatola di Casagrande: Abbiamo un campione sottoposto ad una forza verticale costante σ v (un carico) e uno sforzo di taglio orizzontale τ che aumenta progressivamente fino alla rottura. Tutto è confinato in un cilindro in grado di dividersi in due sezioni traslanti su un piano orizzontale. E’ evidente che il piano di rottura sarà quel piano orizzontale. Possiamo dire che alla rottura il valore che avrà raggiunto lo sforzo τ sarà τ f , mentre σ f = σ v esercitata dal carico ⊥ al piano di rottura in modo costante durante tutta la prova. Nel caso della prova di taglio dunque abbiamo come dati iniziali una coppia σ f e τ f , nient’altro. Ma in assenza di coesione sappiamo che la retta inviluppo passa per l’origine degli assi e per il punto di coordinate σ f ;τ f. Con tre prove, eseguite con carichi diversi, avremo da mettere sul grafico tre punti dell’inviluppo che allineati all’origine degli assi danno una Retta Inviluppo attendibile e di conseguenza l’angolo di attrito φ del materiale. Da qui siamo in grado di costruire i cerchi di Mohr per ciascuna prova. Data una coppia σ f ;τ f si traccia la ⊥ alla R.I. in quel punto. Laddove tale perpendicolare incrocia l’asse σ individueremo il centro del cerchio (infatti la R.I. è per definizione la Tg al cerchio). Il segmento di ⊥ compreso tra RI e l’asse σ sarà allora il raggio del cerchio. Dunque possiamo individuare sull’asse σ i valori di σ 3 f a sinistra del centro e σ 1 f alla sua destra (perché σ 3 < σ 1 ). Sappiamo che il piano di rottura è orizzontale e che il suo stato tensionale ha coordinate σ f ;τ f. Tracciando allora una retta orizzontale dal punto di tangenza al cerchio (rappresentativa cioè del piano di rottura), questa interseca il cerchio stesso in un ponto che sarà necessariamente l’ Origine dei Piani. Da OP possiamo ora facilmente tracciare i Piani Principali Max e Min congiungendo rispettivamente σ 1 e σ 3. Tra il piano di rottura e il PPMax avremo graficamente anche il valore di θ c.
DOMANDA: che succede durante la Prova di Taglio? Come evolve il grafico del cerchio di Mohr dalle condizioni iniziali alla rottura? Inizialmente abbiamo soltanto una forza verticale σ v e nessuno sforzo di taglio, dunque non avrà senso parlare di Piani Principali (vedi definizione). Sul grafico non si può individuare nient’altro che un punto sull’asse σ in corrispondenza del valore σ v. Non appena si applica lo sforzo di taglio compariranno i Piani Principali e le rispettive σ, cioè da quello stesso punto si separeranno σ 1 e σ 3 che inizieranno a migrare rispettivamente verso destra e verso sinistra. Il cerchio dunque crescerà fino a tangere la Retta Inviluppo. Durante questa crescita le rette che passando per l’origine definiscono l’angolo α tangeranno il cerchio nei rispettivi punti tutti alla coordinata σ = σ v. Anche OP si staccherà dal punto iniziale ma percorrerà il cerchio in senso antiorario producendo una rotazione di entrambi i PP e quindi dell’orientazione delle rispettive σ. Quando il cerchio avrà raggiunto le dimensioni massime tangendo la Retta Inviluppo, ovvero all’istante della rottura, l’ OP avrà oltrepassato l’apice del cerchio e nella fase di discesa sarà giunto alla coordinata τ=τf poiché il piano di rottura deve essere necessariamente orizzontale.
σ v σ 1 f
τ f Piano di rottura
σ 3 f σ 1 f
τ
σ
σ f =σ v ; τ f
σ v
τ
σ 3 f σ 1 f σ
σ f =σ v ; τ f
σ 3 f σ 1 f
τ
σ
PP Min PP Max
φ
θ c
σ f ; τ f τ
σ 3 f σ 1 f σ
φ
σ f ; τ f
raggio
centro
inviluppo
Prova Triassiale: In questa prova il campione è sottoposto ad una forza costante e isotropa nelle tre dimensioni più una seconda sollecitazione verticale che aumenta progressivamente fino alla rottura. In pratica si ha una pressione uniforme su tutto il piano orizzontale σ 3 = σ 2 = σ h e una pressione verticale, maggiore di esse, che sarà dunque σ 1 = σ h + σ v. Avremo allora che il PPMax (su cui deve agire ⊥ σ 1 ) sarà orizzontale mentre al PPMin sarà verticale. Al contrario della prova di taglio, qui i dati iniziali sono σ 1 e σ 3 ≡ OP. Non conosciamo gli stati tensionali alla rottura.
Eseguendo la prova, aumentando cioè σ v fino alla rottura, si ottiene un valore σ v f che sommato a σ h darà σ 1 f , mentre σ 3 f = σ h (il σ h è rimasto costante durante tutta la prova). Possiamo dunque disegnare il cerchio a rottura. In assenza di coesione, la tangente al cerchio passante per l’origine degli assi individuerà sia l’angolo di attrito φ del materiale che il punto sul cerchio corrispondente allo stato tensionale σ f ;τ f del piano di rottura. La retta che unisce questo punto con OP (ricordare che nel triassiale OP ≡ σ 3 ) rappresenta il piano di rottura e delimita l’angolo critico θ c (quello con il PPMax ).
DOMANDA: come evolve la situazione tensionale durante la prova triassiale? Inizialmente, prima di applicare σ v , abbiamo esclusivamente in ogni direzione la medesima sollecitazione che abbiamo chiamato σ h. Dunque sarà: σ 1 = σ 2 = σ 3. Il cerchio è degenerato ad un punto sull’asse σ corrispondente al valore di σ h. Non abbiamo sforzi di taglio dunque nemmeno Piani Principali. Appena applichiamo la sollecitazione verticale σ v , dal cerchio-punto si separano σ 1 e σ 3 , o meglio, σ 3 rimane sulla posizione di σ h mentre σ 1 si allontana verso destra producendo la crescita del cerchio. Quando il campione si romperà, il cerchio avrà toccato l’inviluppo e si avrà σ 1 = σ 1 f. I Piani Principali rimarranno sempre sulla loro posizione: orizzontale PPMax e verticale PPMin. Anche OP sarà rimasto sempre fermo sulla posizione σ 3. Notare che il diametro del cerchio = σ 1 - σ 3 e quindi equivale al valore della σ v applicata. Il cerchio infatti è cresciuto dalla dimensione 0 al suo max diametro al crescere di σ v.
Condizione di Spinta Attiva di Rankine: Caso tipico del taglio stradale in cui al terreno viene a mancare una forza che si opponga a σ h (cioè quella del terreno adiacente) e le tensioni orizzontali trovano libero sfogo provocando la rottura. Caso analogo al triassiale in cui venga meno la pressione di cella σ 3 e il campione si dilata lateralmente fino alla rottura. Questa situazione è osservabile attraverso il Coefficiente di Spinta di Rankine: K = σ h /σ v. La Spinta attiva si ha quando K <1. Graficamente si può visualizzare con lo schema triassiale in cui σ h =σ 3 e σ v =σ 1 poiché σ v >σ h. Al venir meno della forza che si opponeva a σ h (immaginiamo un muro che si allontana dal terreno) questa si sfoga lateralmente e diminuisce quindi il suo valore. Sul grafico dunque si vedrà il cerchio con σ 1 (=σ v ) fissa e σ 3 (=σ h ) che si sposta verso sinistra facendo crescere il cerchio fino alla rottura, quando cioè a σ 3 =σ 3 f toccherà la retta inviluppo. Il piano di rottura nel terreno partirà dalla base del muro e sarà inclinato sul piano orizzontale di 45° + φ/2.
σ h^ σ h ≡^ σ 3
σ h
σ h
σ v σ 1 ≡
σ 1
σ 3 σ 3
σ 3
σ 3 f ≡ OP σ 1 f
τ
σ
φ
σ f ; τ f p. rottura
PPMax
PPMin inviluppo
θ c
σ 3 ≡ OP σ 1 f
τ
σ
σ f ; τ f
PPMax
PPMin inviluppo
σ 1
σ 3 f σ 1
τ
σ
PPMin inviluppo
PPMax
σ 3
45 ° + φ/
Cedimento sulla curva “e di logP”:
∆ e = e 0 - e
∆ logP’ = log(P 0 +∆P) - logP 0 = log
Cc =
Possiamo allora esplicitare: ∆ e = Cc ⋅ ∆logP
Sapevamo che: S = ∆ n ⋅ H e considerando che: ∆ n = ∆ e /1+ e 0 abbiamo formulato: S = (∆ e /1+ e 0 )H
Sostituendo ora il ∆ e si ha: S = H e sostituendo anche ∆logP avremo finalmente:
S = log H ⇐ Cedimento Totale in funzione di P e di e.
Cedimento con mv :
mv = ⇐
Esplicitando per ∆ n si ha: ∆ n = mv ⋅ ∆P’ che sostituito nella primitiva formula del Cedimento Totale fornisce:
S = ∆ n ⋅ H ⇒ S = mv ⋅ ∆ P’ ⋅ H ⇐ Cedimento Totale
S = ∆ P’ ⋅ H
S = mv ⋅ ∆ P’ ⋅ H
Calcolo del Cedimento Primario:
si calcola per argille con sovraccarico reale (∆ P ) o abbassamento del livello di falda (∆ P = γ w ⋅ hw ).
S = H ⋅ Cc /(1+ e 0 ) ⋅ log (∆ P + P’ / P’ ) dove:
C (^) c : sulla curva “ e /logP” si individua il punto e 0 ; P 0 che rappresenta il terreno in sito. Si individua poi sul tratto rettilineo il punto di coordinata e = e 0 × 0,4. Si traccia la retta passante per i due punti che rappresenta la curva in sito. Si definisce su tale retta un intervallo logaritmico e si stima la differenza tra i valori e corrispondenti agli estremi dell’intervallo. Abbiamo ottenuto ∆ e ed avendo considerato un ntervallo logaritmico avremo che ∆(logP)=
Calcolo del tempo di consolidazione:
Procedimento: sul diagramma C edimento/ T empo si sceglie la curva corrispondente al peso più vicino a quello che si ottiene dalla somma P’ +∆ P. Su questa curva si individua il punto di Fine Consolidazione all’intersezione dei prolungamenti dei tratti rettilinei delle curve di consolidazione primaria e secondaria. Abbiamo quindi i valori di T 100 e C 100. Si determina poi il valore di C corrispondente a T =0,8. Si stima l’intervallo ∆ C tra questo valore e il valore di C corrispondente all’inizio della curva. Il medesimo intervallo va riportato al di sopra della curva e il valore di C corrispondente verrà considerato C 0. Il punto medio tra C 0 e C 100 è il C 50 che individua sulla curva il valore T 50. La lettura del valore C 50 sulla scala non è immediata e richiede una proporzione.
e 0
e
∆ e
e
P 0 + ∆P P (^0) Analogamente alla curva precedente un sovraccarico ∆P produce un cedimento quindi una riduzione dell’indice dei vuoti ∆ e. Il rapporto incrementale (e coefficientre angolare del tratto rettilineo) è detto Indice di compressibilità ed indicato con C (^) c.
∆e
∆logP’
Cc ⋅ ∆logP
1 + e 0
1 + e 0
Cc
P (^0)
P 0 + ∆P
Torniamo al campione iniziale ed introduciamo il Coefficiente di Compressibilità Volumetrica che esprime la variazione del cedimento unitario del campione sottoposto ad un carico unitario
∆ n
∆P’
Confrontando questa formulazione del Cedimento Totale con una delle precedenti si ottiene inoltre una nuova definizione di Coefficiente di Compressibilità volumetrica (servirà in seguito).
av
1 + e 0 av 1 + e 0
{ ⇒ mv =
Coefficiente di Compressibilità Volumetrica (Cedimento Unitario)
H = intero spessore argilla
Cc = Indice di Compressibilità
e 0 = Indice dei Vuoti in sito
∆P = sovraccarico
P’ = P efficace a ½ strato
Cc = ∆ e / ∆log P = ∆ e / 1 = ∆ e
C 50 1,5 1,
Lmm
∆mm
Esempio: Lmm:0,5=∆mm:X C 50 = X+1,
Per convenzione il campione sarà stato alto 20mm. Quindi H 50 = 20 - C 50. Ma se lo strato è bidrenato l’acqua
percorrerà ½ dello strato, dunque considereremo in definitiva H = H 50 /2. Quindi si applicherà la formula:
Cv = Tv ⋅ H
2 / T 50 = cm
2 /sec dove:
Il Tv si ricava dal grafico U / Tv individuando
dalla curva centrale il valore Tv corrispondente al Grado di consolidazione. Per il 50% della consolidazione il Tv sarà
sempre 0,19. Una volta ottenuto Cv si riapplica la stessa formula invertita e riferita non più al campione ma al terreno:
T 50 = Tv ⋅ H
2 / Cv = sec dove questa volta: H = spessore totale dello strato di argilla
T 50 così ottenuto è il tempo in secondi necessario ad avere il 50% della consolidazione dello strato di argilla.
Consolidazione vista in termini matematici: Prendiamo un cubetto di terreno e consideriamo il flusso d’acqua al suo interno durante la consolidazione. Analizzando il problema tridimensionalmente consideriamo separatamente le 3 componenti della variazione di portata all’ingresso e all’uscita del cubetto.
( Questa parte di dimostrazione racchiusa nel tratteggio è la teoria di base, non necessaria ai fini applicativi )
Prendiamo in esame ad esempio la variazione di portata nella direzione x. Applichiamo la formula della Portata:
Q = k ⋅ i ⋅ A ⇒ Q = k (∆H/L) A dove:
All’ingresso del cubo avremo:
k = kxi ⇐ permeabilità all’ingresso
i = -(δH/δx) ⇐ il segno è negativo perché H varia lungo X diminuendo
A = dy⋅dz ⇐ è la sezione d’ingresso
All’uscita del cubo avremo:
k = kxu = kxi + (δkx/δx)dx ⇐ variazione di k (^) xi lungo X
i = i xu = -(δH/δx) - (δ
2 H/δx
2 )dx ⇐ variazione di i lungo X. È una derivata seconda perché derivata di una derivata
A = dy⋅dz ⇐ è la sezione d’uscita
Quindi possiamo dire:
Qxi = kxi (-δH/δx) (dydz) ⇐ portata all’ingresso del cubetto
Qxu = [kxi + (δk (^) x/δx)dx] [-δH/δx - (δ
2 H/δx
2 )dx] (dydz) ⇐ portata all’uscita del cubetto
∆ Q (^) x = Qxi - Qxu ⇐ variazione della portata in direzione X
∆ Q (^) x = kxi (-δH/δx) (dydz) - [kxi + (δk (^) x/δx)dx] [-δH/δx - (δ
2 H/δx
2 )dx] (dydz)
Consideriamo la permeabilità costante lungo tutto il cubetto (materiale omogeneo) la sua derivata si annulla. Risolvendo si ottiene allora:
∆ q (^) x = kx (δ
2 h/δx
2 ) (dxdydz) ⇐ Variazione di Portata nel cubetto in direzione x
Analogamente si possono calcolare le variazioni di portata nelle direzioni Y e Z. Possiamo allora esprimere la variazione globale della portata con la seguente formula, dove avremo sempre ∆q≠0 perché a causa del moto vario esisterà sempre una variazione di portata:
Vediamo invece come si comportano durante la consolidazione i parametri n e Gs. Il volume d’acqua presente nel cubetto alle condizioni iniziali può essere stimato in questo modo:
V H20 = Gs ⋅ n ⋅ dx dy dz e sostituendo n : V H20 = Gs ⋅ ( e /1+ e ) ⋅ dx dy dz
Poiché la variazione di portata ∆q equivale alla variazione del volume d’acqua nel tempo all’interno del cubetto, derivando la precedente rispetto al tempo possiamo dire:
δ
2 h δ
2 h δ
2 h
δ x
2 δ z
2 δ y
2
1 δ e
1+ e (^) δt
x dx
dz
dy y
z ∆H = percorso nel cubo in direzione X L = max percorso idraulico = dx
δGs
δt
T (^) v : per il 50% di consolidazione = 0,
H = (Hprovino - C 50 )/2 ⇐ Hprovino = 20mm
T 50 = dal precedente grafico C/T
= ⇐ Equazione definitiva della Consolidazione
Questa equazione è stata risolta con Taylor nel modo seguente: Ue = ∑
∞ (senMZ) ⋅ e
dove: U 0 = pressione dell’acqua all’istante T 0 (applicazione del sovraccarico)
Ue = pressione edometrica (U sotto l’effetto del sovraccarico)
M = (π/2) (2m+2)
Consolidazione in chiacchiere: Ma che ce ne facciamo dell’equazione di Taylor? Che senso avevano tutti quei passaggi matematici? (Non dirlo, so cosa pensi!) Sinteticamente: un sovraccarico applicato sul piano campagna produce un cedimento del terreno, cioè una riduzione della porosità e quindi la sua compattazione o consolidazione. Se il terreno è saturo (presupposto indispensabile delle precedenti dimostrazioni) man mano che diminuisce l’indice dei vuoti si avrà l’espulsione dell’acqua in essi contenuta. Più precisamente succede che istantaneamente il sovraccarico ∆Q graverà sulla sola acqua, poi pian piano l’acqua verrà espulsa e gradualmente parte del sovraccarico passerà dall’acqua al terreno finché, al termine del cedimento, tutta la sovrapressione graverà sul solo terreno incrementando la pressione efficace. L’espulsione dell’acqua sarà allora terminata.
Variazione delle pressioni nel terreno: P totale P acqua P efficace Prima del sovraccarico: Pt U P’ Istante del sovraccarico: Pt +∆Q U+∆Q P’ Fine consolidazione primaria: Pt +∆Q U P’+∆Q
Se chiamiamo Ue sovrapressione dell’acqua in un qualsiasi istante durante la consolidazione ed U 0 la sovrapressione dell’acqua al tempo T 0 cioè nell’istante dell’applicazione del sovraccarico, possiamo descrivere così le variazioni di pressione durante la consolidazione:
Variazione delle pressioni nel terreno: P totale P acqua P efficace Sovrapressione acqua Istante del sovraccarico: Pt +∆Q U+∆Q P’ U 0 =∆Q Consolidazione in corso: Pt +∆Q U+Ue P’+(∆Q-Ue) Ue Fine consolidazione primaria: Pt +∆Q U P’+∆Q 0
Insomma la sovrapressione dell’acqua Ue varia durante la consolidazione da un valore massimo Uo =∆Q ad un minimo di 0 con cui ha termine il cedimento. Morale: dallo studio dello smaltimento della sovrapressione dell’acqua, o meglio, dallo studio della variazione della pressione edometrica Ue, si può conoscere l’evoluzione della consolidazione. Terra-terra: per conoscere la progressione della consolidazione si studia la progressione dello smaltimento dell’acqua dagli interstizi ovvero la progressiva riduzione della pressione interstiziale. Il flusso dell’acqua all’interno dello strato avviene con moto vario perché varia nel tempo (alla fine la sovrapressione si esaurisce) e nello spazio (es: in uno strato bidrenato il tetto e il letto consolidano più velocemente del centro). Avremo dunque una continua variazione di portata. L’equazione della consolidazione esprime appunto, attraverso lo studio della variazione di portata, come cambia Ue in funzione del tempo e della profondità. Ecco graficamente come si evolve lo smaltimento delle sovrapressioni dell’acqua (grigio) all’interno di uno strato bidrenato :
La formula di Taylor rappresenta una famiglia di curve ciascuna delle quali rappresenta lo stato della consolidazione per ogni quota dello strato in un determinato istante. Il tempo è espresso in realtà dal Fattore Tempo T (funzione di t ) attraverso una determinata curva. La quota è espressa invece dal Fattore Z (asse verticale), funzione della profondità z. Notare che per uno strato bidrenato (max percorso drenante H = ½ spessore dello strato) avremo Z=0 al tetto, Z=1 al centro, Z=2 alla base. L’asse orizzontale in alto riporta infine i valori della pressione edometrica Ue che varia dal valore massimo U (^0) (quello iniziale) a 0, corrispondente al termine della consolidazione. Nel grafico che vediamo è stata tracciata una sola curva , rappresentativa del determinato istante T della consolidazione. I punti della curva indicano il valore della pressione dell’acqua per ciascun livello di profondità all’interno del nostro strato (es.: per la quota Z 1 leggiamo un valore di Ue 1 ). Notare che la massima pressione edometrica da smaltire la troviamo al centro dello strato mentre procedendo verso l’esterno risultano valori via via minori. Questo andamento visualizza chiaramente la differente rapidità di consolidazione all’interno dello strato: minima al centro e massima agli estremi (in uno strato drenato solo in alto avremmo avuto invece la massima velocità al tetto e la minima in corrispondenza del letto). Spostandoci nel tempo ad altri istanti, dovremmo disegnare altre curve con i vertici via via sempre più spostati verso destra fino a raggiungere il totale appiattimento in modo del tutto analogo al meccanismo dello schema precedente. Tornando ancora alla curva disegnata, studiando bene il grafico possiamo trarne due parametri importanti. Consideriamo l’intera area del grafico come la quantità d’acqua presente negli interstizi. La curva delimita allora due aree proporzionali alla quantità
δ
2 Ue
δZ
2
δUe
δT
m=o
2U -M^2 T 0 M
Z = z/H T 2
∆ Ue
0% (^) U 100%
a Ue 1
b
U U 0 U^ e
z z
T 0 T (^) n T∞
U U 0 U^ e U U 0 U^ e
z z
letto
centro
tetto U U U^ e
T (^1)
d’acqua smaltita durante la consolidazione fino all’istante T (sinistra) e alla quantità d’acqua ancora da smaltire fino al termine della consolidazione. Ma la quantità d’acqua espulsa corrisponde a dei volumi interstiziali persi durante la consolidazione ovvero, in due dimensioni, all’entità h della consolidazione stessa nell’istante T. Per la quota Z 1 possiamo allora calcolare:
i = = ⇐ Gradiente idraulico al tempo T per la quota Z 1
Spostandoci ad altre quote possiamo verificare che il gradiente idraulico è minimo al centro dello strato e massimo agli estremi, determinando così la differente velocità di consolidazione che avevamo riscontrato. Conoscendo i valori di U 0 ed Ue si può inoltre definire un nuovo parametro che quantifica la “maturazione” del fenomeno attraverso la seguente relazione:
U = ⇐ Grado di consolidazione
ovvero il rapporto tra la pressione smaltita (che nell’esempio abbiamo già chiamato a ) e la pressione iniziale. Notare che al tempo 0, appena posto il sovraccarico, avremo per definizione ed Ue = U 0 e di conseguenza U =0. Al termine della consolidazione avremo, sempre per definizione, Ue =0 e quindi U =1. È chiaro allora che il grado di consolidazione può assumere tutti i valori compresi tra 0 e 1; valori che leggiamo, in percentuale, sull’asse orizzontale inferiore del grafico. Grazie alla formula di Taylor siamo ora in grado di determinare lo stato della consolidazione U ad una certa profondità Z nell’istante T.
Capacità portante
Questo tipo di considerazioni riguarda esclusivamente i terreni granulari inquanto le argille sono in grado di sostenere carichi enormi. La fondazione in esame deve essere di tipo superficiale. Data una fondazione a nastro , se B ≥ D essa si può definire fondazione superficiale , se invece B << D allora è considerata un palo e non rientra in questo tipo di calcolo. La fondazione rappresentata nella prima figura (3D) può essere considerata superficiale ponendo un Piano Campagna teorico ( p.c. ) alla sua base e, in luogo dello spessore di terreno D, calcolando ai lati della fondazione un ipotetico carico q che grava sul nuovo piano campagna (disegno 2D). La Capacità Portante è il max peso che il terreno è in grado di sostenere su una data superficie. Guardando il problema in due dimensioni (considerando cioè una profondità unitaria), la superficie della fondazione si riduce alla dimensione B ed avremo qc = Q / B.
Modello di Rankine: Prendiamo in considerazione soltanto metà dell’estensione orizzontale della fondazione perché per l’altra mezza la costruzione è simmetrica. Applicando il carico max, ovvero alla rottura , si avranno nel terreno due superfici di scorrimento ovvero due piani di rottura. Al di sotto del carico Q si avrà infatti un volume di terreno in condizione di spinta attiva (cuneo chiaro) che premendo sul terreno adiacente, attraverso la sezione H, induce nel secondo volume (cuneo scuro) una spinta passiva (effetto punzone). Con carichi inferiori, cioè all’equilibrio , si avrà SA=Sp. La spinta attiva è data dal peso del terreno del cuneo chiaro più il carico Q. La spinta passiva è data dal peso del terreno del cuneo scuro più il sovraccarico q.
All’equilibrio si avrà allora:
S (^) A = S (^) B ⇒ [½⋅γt⋅H
2 ⋅KA] + [Q/B⋅H⋅KA] = [½⋅γt⋅H
2 ⋅KB ] + [q⋅H⋅KB ]
mettendo in evidenza ½⋅γt⋅H
2 si ha:
KA ⋅ Q/B ⋅ H = ½ ⋅γ t ⋅ H
2 ⋅ (KA-KB ) + q ⋅ H ⋅ KB sostituendo poi K (^) A = 1/KB si ha:
1/K (^) B ⋅ Q/B ⋅ H = ½⋅γt⋅H
2 ⋅ ( 1/K (^) B - KB ) + q ⋅ H ⋅ KB e quindi:
1/KB ⋅ Q/B ⋅ H = ½⋅γt⋅H
2 ⋅ (1/KB - KB ) + q ⋅ H ⋅ KB
2 ⇒ Q/B = ½⋅γt⋅H (KB
2
2
ma H = B/2 tgθ ⇒ H = B/2 tg( 45 + φ /2 ) dove tg(45 + φ/2) = √KB ⇒ H = B/2 ⋅√ K (^) B
Q/B = ½ ⋅ γt ⋅ B/2 ⋅√ K (^) B ⋅ (KB
2
2 ⇒ Q/B = ½ ⋅ γt ⋅ B /2 ⋅ (K (^) B
5/
- K (^) B
1/ ) + q ⋅ K (^) B
2
Introduciamo ora due grandezze adimensionali funzioni di KB e quindi di φ: Fattori di Capacità Portante
γt D
q = γt⋅D
∆H
L
q = γt⋅D
a
b
U 0 - Ue
U 0
p.c.
p.c.
θ=45+½φ θ=45-½φ
q = γt⋅D
p.c.
S (^) A = [½⋅γt⋅H
2 ⋅KA] + [Q/B⋅H⋅KA]
S (^) B = [½⋅γt⋅H
2 ⋅KB ] + [q⋅H⋅KB ]
Fondazioni superficiali
Tipi di fondazioni : Plinto : base sotto ogni pilastro (1)
Platea : base sotto tutta la costruzione (2)
Nastro : striscia che unisce tutti i pilastri (3)
Caratteristiche: B : larghezza
L : lunghezza
D : profondità piano di fondazione
Capacità Portante Max Carico Ammissibile
(“carico massimo” o “carico a rottura”) (limite imposto per la sicurezza)
q (^) d q (^) a = qd / F ⇐ Unitario [t/m
2 ]
(per unità di superficie)
Q (^) d = qd · B · (L) Q (^) a = [qd · B · (L)] / F ⇐ Totale [t; (t/m)]
(sull’intera superficie)
dove: F = 3 (fattore di sicurezza) ; ( … ) = la fondazione a nastro non richiede L e darà [t/m].
Formule di Terzaghi : I II III
Platea / Plinto rettang. q (^) d = ( 1 + 0,2 B/L ) · c · Nc + ( γ · D · Nq ) + ( 1 - 0,2 B/L ) · γ · B/2 · Nγ
Plinto quadrato q (^) d = ( 1,2 · c · Nc ) + ( γ · D · Nq ) + ( 0,4 · γ · B · Nγ )
Plinto circolare q (^) d = ( 1,2 · c · Nc ) + ( γ · D · Nq ) + ( 0,6 · γ · B · Nγ )
Nastro (o “continua”) q (^) d = ( c · Nc ) + ( γ · D · Nq ) + ( 0,5 · γ · B · Nγ )
dove: Nc , Nq e Nγ sono parametri della capacità portante che si ricavano da
un grafico standard a partire dall’angolo di attrito φ del terreno (vedere
grafico di Meyerhof)
Note:
Se la falda si trovasse ad una profondità compresa tra D e H, allora nella terza componente si dovrà usare un γ particolare:
γe = [ (2H – hw) hw γn / H
2 ] + [ γ’(H- hw)
2 / H
2 ] con hw = profondità della falda sotto al piano di fondazione.
B’ = B-2b
L’ = L-2l
B < L
[ t/m
2 ]
B
L
l
¤
Fondazioni profonde
Quando: vengono impiegate fondazioni profonde ( pali di fondazione ) quando la copertura superficiale non offre garanzie di stabilità. Le principali condizioni che richiedono l’uso di pali sono: 1) Strati superficiali compressibili (rischio di cedimento) 2) Non adeguati coefficienti di sicurezza per la stabilità (rischio di frana) 3) Discontinuità o disomogeneità laterale (rischio di cedimenti differenziali)
Perché: il palo lavora bene sulla portata laterale (per attrito laterale) nei terreni coesivi e/o sulla portata di punta (come un piccolo plinto) sul materiale lapideo. L’utilizzazione ideale è attraversare terreni coesivi (argille) e attestarsi su terreni non cedevoli (sabbia, ghiaia, roccia).
Come: ci sono tre tipologie fondamentali di pali e alcune varianti speciali:
Nota: i pali trivellati disturbano poco le caratteristiche originali del terreno di fondazione e consentono di verificarne la stratigrafia. I pali battuti però consentono di verificare passo-passo la portata grazie alla misura del “rigetto” del terreno alla battitura, la costipazione del terreno ne migliora localmente le caratteristiche e inoltre, essendo prefabbricati, si conoscerà al 100% la qualità del calcestruzzo e la lunghezza della struttura infissa.
Pali infissi: prefabbricati infissi a percussione con un maglio di peso pari a quello del palo stesso (minimo ½ palo). Si avrà una migliore penetrazione con un maglio pesante e una piccola h di caduta piuttosto che con un maglio leggero che cade da una grande altezza. L’infissione causa la costipazione del terreno al contatto ma da ciò ne risulta un miglioramento dell’attrito laterale che rende questa tecnica preferibile nel caso di pali “sospesi” (pali che lavorano per solo attrito). Nei terreni saturi invece l’impulso della percussione può causare la liquefazione del terreno di contatto. Si avrà allora una locale e temporaneamente riduzione dell’attrito che favorisce l’infissione per poi ristabilirsi sui valori normali non appena si ristabiliscono le condizioni statiche. I pali infissi hanno tipicamente un diametro variabile dai 20 ai 40 cm per una lunghezza che può raggiungere i 10-15 metri. Nelle sabbie dure la penetrazione può essere limitata a 5-6 metri.
Pali gettati con asportazione di terreno: il terreno viene trivellato ad elica o scavato con una benna ed asportato da una “cucchiaia”. Man mano che procede lo scavo si infigge il tubo-forma di contenimento (eventualmente anche battuto, ma comunque infisso in un foro già scavato). Al termine dello scavo si getta il cemento nella cassaforma e contemporaneamente si estrae il tubo. Il cemento consoliderà nel foro a diretto contatto con il terreno. I vantaggi di questa tecnica rispetto alla precedente è nella possibilità di raggiungere una maggiore lunghezza e di realizzare un maggiore diametro. La stratigrafia del terreno può essere verificata direttamente grazie all’asportazione del materiale di scavo, il terreno circostante risulterà meno disturbato ed è possibile attraversare terreni resistenti e “trovanti” (cioè terreni in cui la presenza occasionale di qualche blocco lapideo avrebbe potuto fermare un palo battuto). Con questa tecnica si possono realizzare pali di diametro maggiore di 100 cm e lunghezza fino a 30-40 metri.
Portata laterale
Argilla (C≠0)
Portata di punta
Roccia
Massima portata
Argilla
Roccia
Sabbia (C=0)
h
