Geometria
Sono concetti primitivi per la geometria il punto, la retta e il piano e
costituiscono la base per definire tutti gli altri enti della geometria.
•per indicare un punto usiamo una lettera maiuscola, A, B, C, …;
•per indicare una retta usiamo una lettera minuscola, a, b, c, …;
•per indicare un piano usiamo una lettera greca:
Per il simbolo di congruenza si usa
Gli enti fondamentali sono:
•Punto è ciò che non ha parti.
•Retta cioè l’insieme di tutti i punti allineati tra loro in un piano
•Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
FIGURA GEOMETRICA:è un insieme qualsiasi di punti; se appartiene al piano si
chiama figura piana;
POSTULATO o ASSIOMA: è una proprietà "evidente" cioè che viene accettata
come vera (senza bisogno quindi di dimostrazione) e si pone come base dello
studio della geometria. I postulati esprimono determinate proprietà dei concetti
primitivi e li caratterizzano.
TEOREMA Un teorema invece è ancora una proposizione esprimente una
determinata proprietà, ma a differenza del postulato, tale proprietà deve essere
dimostrata. La dimostrazione di un teorema consiste in una serie di passaggi
logici che, a partire dall'ipotesi (ciò che si conosce) ci fa giungere alla tesi (ciò
che vogliamo dimostrare) sfruttando i postulati oppure altri teoremi già
dimostrati.
LA GEOMETRIA NON EUCLIDEA:IL 5 postulato
Fin dall'antichità si sono affrontati problemi sulle rette parallele. Euclide
introdusse un postulato (verità geometrica indubitabile) su esse: "Due rette,
tagliate da una terza, si incontrano da quella parte ove la somma degli angoli
coniugati interni è minore di due angoli retti". Secondo il pensiero della
matematica antica i postulati sono proprietà che non si possono dimostrare, ma
possono essere verificate sperimentalmente. E il postulato di Euclide sfugge a
questa possibilità, perché per effettuare la verifica dovremmo disporre di una
regione illimitata.Così vari studiosi cercarono di dimostrarlo come se si trattasse
di un teorema.Bolyai (1802-1860) e Lobacevsky (1793-1856) ipotizzarono un
sistema in cui per un punto esterno ad una retta passano infinite rette parallele
alla retta data, creando la geometria iperbolica. Pochi anni dopo Riemann
(1826-1866) partendo dalla premessa che non esistono rette per P parallele a r,
sviluppò la geometria ellittica. Alla fine le geometrie non-euclidee, nonostante
avessero lo svantaggio di essere poco intuitive e di non rendere visualizzabili le
loro conseguenze logiche, riuscirono ad essere diffuse basandosi sulla geometria
euclidea come modello e costruendo un nuovo tipo di geometria.
GENNARO LUCREZIA
