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INTEGRALI
INTEGRALI.
INTEGRALE DEFINITO
L’ integrale definito risponde alla domanda
molto naturale su come calcolare l’area
compresa tra il grafico di una funzione
𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ , positiva per 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] , e l’asse
delle x.
Somme di Riemann
Supponiamo che la funzione sia continua e di suddividere l’intervallo [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] in
𝑛𝑛 parti uguali di lunghezza �∆𝑥𝑥 =
𝑏𝑏−𝑎𝑎
𝑛𝑛
�. Costruiamo ora la somma dei
rettangoli in figura:
𝑛𝑛
0
1
𝑛𝑛−
𝑛𝑛
1
2
𝑛𝑛
Dal grafico abbiamo che 𝑠𝑠 𝑛𝑛
𝑛𝑛
Sia 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ una funzione continua allora 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍
𝒏𝒏→∞
𝒏𝒏
𝒏𝒏→∞
𝒏𝒏
Tale limite viene indicato tramite l’ integrale definito di 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tra
𝑎𝑎 e 𝑏𝑏.
Praticamente l’integrale sarebbe una sommatoria sul continuo. A
livello di calcoli è l’operazione inversa della derivata
TEOREMA DI TORRICELLI
Ci permette di collegare il calcolo delle aree e l’antiderivazione.
𝒃𝒃
𝒂𝒂
INTEGRALI
Definizione
Sia 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ una funzione continua. Si definisce primitiva di 𝑓𝑓 , una
funzione 𝐹𝐹: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ tale che 𝑭𝑭’(𝒙𝒙) = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) ∀ 𝒙𝒙 ∈ [𝒂𝒂, 𝒃𝒃].
Da notare che data una funzione 𝑓𝑓 e una sua primitiva 𝐹𝐹 , anche 𝑭𝑭 + 𝒄𝒄 è
primitiva di 𝑓𝑓 (𝑐𝑐 è una costante ). La primitiva di una funzione data NON è unica.
Definiamo quindi integrale indefinito l’insieme delle primitive di una
funzione
(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝑭𝑭(𝒙𝒙) + 𝒄𝒄 primitiva generica
Per 𝑐𝑐 = 0 la primitiva si dice fondamentale. Dunque le primitive di una stessa
funzione differiscono tra loro al più per una costante.
Teorema di Torricelli-Barrow
Sia 𝑓𝑓: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ una funzione continua con primitiva 𝐹𝐹 in [𝑎𝑎, 𝑏𝑏]. Allora:
𝒃𝒃
𝒂𝒂
INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI E GENERALIZZATI
Siano 𝑓𝑓, 𝑔𝑔: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ due funzioni continue. Allora:
𝒏𝒏
𝒙𝒙
𝒏𝒏+𝟏𝟏
𝒏𝒏+𝟏𝟏
� 𝑓𝑓′
𝑛𝑛
𝑛𝑛+
′
𝒙𝒙
𝒙𝒙
′
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
′
′
INTEGRALI
Esempio 3
Dove 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥 + 5 e 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢
Esempio 4
2
3
3
3
4
3
2
4
3
Dove 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥
2
Esempio 5
2
2
Dove 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥
2
Esempio 6
2
2
Dove u = sin(x) e quindi du = cos(x)dx
Esempio 7
2
2
2
−
−
Dove u =
x
2
e du =
1
2
dx
Esempio 8
2
2
2
2
tan
−
Dove 𝑢𝑢 = �
2
3
2
𝑥𝑥 e 𝑑𝑑𝑢𝑢 = �
2
3
2
INTEGRALI
INTEGRAZIONE PER PARTI
′
′
N.B. Corrisponde alla regola di Leibnitz
Esempio 1
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
Esempio 2
2
3
2 −
3
2 𝑑𝑑𝑥𝑥
3
2 −
5
2
3
2 �𝑥𝑥 −
Trovo f per sostituzione ( 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥 − 1 e 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 )
3
2
3
2
Sempre per sostituzione si risolve il second1o integrale ( 𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥 − 1 e 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 )
3
2
1
2
3
2 𝑑𝑑𝑢𝑢 =
1
2
2
5
5
2
1
5
5
2
Esempio 3 (per parti più volte)
2
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝑥𝑥
2
Esempio 4
3
2
3 − � −
2
3 𝑑𝑑𝑥𝑥
2
3
5
3 � + 𝑐𝑐 = −
2
3 −
5
3
−
1
3
𝑑𝑑𝑥𝑥 = −
−
1
3
𝑑𝑑𝑥𝑥 = −
2
3
2
3 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −
2
3 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −
5
3
RISOLUZIONE DI ALTRI INTEGRALI
Esempio 1
1
√𝑥𝑥+
−
1
2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2(𝑥𝑥 + 5)
1
2
INTEGRALI
Esempio
2
2
𝑑𝑑𝑥𝑥 = ln|𝑥𝑥 + 5| + 3(𝑥𝑥 + 5)
−
2
2
Esempio
2
2
2
= ln|x
2
−
(x + 2) + c
2
2
2
−
N.B. per il calcolo delle aree ricorda di stare attento ai segni, le aree, infatti,
sono sempre positive quindi se il grafico cambia di segno le aree devono
comunque essere concordi
