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IDROSTATICA
esercizi risolti
Classi quarte L.S.
In questa dispensa verrà riportato lo svolgimento di alcuni esercizi inerenti la statica dei uidi, nei quali vengono discusse proprietà dei uidi in quiete. Riprendiamo alcuni concetti utili.
- Densità: per un qualsiasi corpo, è de nita come rapporto fra la massa ed il volume:
d = m V Nel S.I. si misura in kg/m^3 , ma altre unità sono il kg/dm^3 oppure il g/cm^3.
- Pressione: E' de nita per tutti i corpi e viene calcolata facendo il rapporto fra il modulo della forza F agente e la super cie S sui cui agisce la forza, in formule:
P =
F
S
La pressione si misura nel S.I. in Pascal (1Pa=1N/1m^2 ). Altre unità di misura sono il Bar = 105 Pa e l'Atmosfera (1atm = 1, 013 Bar)
- Legge di Stevino: Ci dà la pressione che un uido esercita ad una certa profondità, dipendente solo dalla sua densità d e non dalla super cie su cui agisce. Vale:
P = d · g · h
essendo g l'accelerazione di gravità terrestre (che vale 9 , 81 m/s^2 ).
- Spinta di Archimede: E' la forza che un corpo immerso in un uido subisce per eetto del uido stesso. E' diretta sempre verso l'alto ed è pari al peso del liquido spostato. In formule vale: §a = dliquido · VSolido immerso · g
LA LEGGE DI STEVINO
Quanto deve essere alto un tubo riempito di mercurio (d = 13. 590 Kg/m^3 ) per esercitrae sulla base una pressione di 2 Atm sulla sua base?
Si tratta di un'applicazione inversa della legge di Stevino: tale esercizio ha lo scopo di familiarizzare con i calcoli. Se P = d · g · h
allora è ovvio che:
h =
P
g · d Inserendo i valori numerici, dobbiamo fare attenzione nell'esprimere tutte le misure in unità del S.I. E' pertanto necessario trasformare la pressione in Pascal:
2 Atm = 2 · 1 , 013 · 105 P a = 2, 026 · 105 P a Quindi: h =
= 1, 52 m
Una pompa idraulica deve sollevare l'acqua di una condotta no ad un serbatoio posto su un grattacielo alto 130m. Quale pressione è necessaria per eettuare questa operazione?
E' ovvio che per sollevare un liquido ad una altezza h è necessario applicare una pressione almeno uguale a quella idrostatica prodotta dalla colonna di liquido alta h, ossia
Papplicata = PStevino = d · g · h Nel nostro caso:
Papplicata = 1000 · 9 , 81 · 130 = 1. 275. 300 P a = 12, 6 Atm
Su una ancata di una nave si apre una falla di 75 cm^2 di area, a 4,5 metro sotto la super cie di galleggiamento. Sapendo che la densità dell'acqua marina è d = 1030 Kg/m^3 , calcola quale forza è necessario applicare dall'interno per opporsi all'apertura della falla
La forza F in questione sarà quella uguale e contraria alla forza dovuta alla pressione idrostatica esercitata dall'acqua marina a 4,5 metri di profondità sulla super cie della falla.
Se P =
F
S
, allora F = P · S, quindi:
F = d · g · h · S Convertiamo la super cie in m^2 : 75 cm^2 = 0, 75 dm^2 = 0, 0075 m^2 , pertanto:
F = 1030 · 9 , 81 · 4 , 5 · 0 , 0075 = 341N
Il petrolio intubato dentro ad un foro di trivellazione a causa delle spinte interne di natura geologica, ha una pressione verso l'alto di 2800 N/cm^2. Per contrastare la risalita del greggio si immette nel tubo una miscela di acqua e fango, di densità d = 2, 5 · 103 Kg/m^3. Quanto deve essere alta la colonna di fango per contrastare adeguatamente la fuoriuscita del greggio?
La spinta del petrolio può essere contrastata grazie alla pressione idrostatica di una colonna di fango ed acqua di altezza h, a nchè la sua pressione equivalga a quella del greggio. Se Pf ango = df ango · g · h e Pf ango = Ppetrolio, allora:
hf ango = Ppetrolio df ango · g con Ppetrolio espressa però in unità del S.I., ossia in Pascal = N/m^2. Convertendo, si ha, visto che 1 cm^2 = 1 · 10 −^4 m^2 ,
Ppetrolio =
Inserendo i dati, si ha che:
h =
= 1141, 7 m
Se Fauto = mauto · g = 11. 772 N , trasformando la super cie del pistone in m^2 , Spistone = 0 , 035 m^2 , si ha:
Fpistone =
= 82, 404 N
Questa forza è molto più piccola di quella dovuta al peso dell'auto e può essere prodotta, per esempio, appoggiando sulla super cie del pistone, una massa di soli m = 8, 4 Kg.
LA PERDITA DI PESO
Un fusto metallico vuoto di m = 4Kg di massa e capacità di 5 litri viene completamente immerso attraverso una fune in una vasca piena di olio d = 765Kg/m^3. Calcolare la spinta di Archimede subita dal fusto e la tensione che deve avere la fune per mantenerlo in equilibrio all'interno del liquido.
Ricordando il concetto di Spinta di Archimede, basterà eettuare il seguente calcolo:
Sa = dolio · Vf usto · 9 , 81 Ricordando che 1 litro = 1 dm^3 , si ha che Vf usto = 0, 005 m^3 , quindi:
Sa = 765 · 0 , 005 · 9 , 81 = 37, 52 N
La tensione della fune τ sarà la forza uguale e contraria alla forza peso netta che agisce sul fusto, che è naturalmente la dierenza fra la forza-peso che il fusto subirebbe fuori dal liquido e la spinta di Archimede. Tale dierenza di forze si chiama anche perdita di peso. Si ha quindi che: τ = Fp − Sa = 4 · 9 , 81 − 37 , 52 = 1, 72 N
DENSITA' RELATIVA
Un corpo in aria pesa 500 N , mentre quando è immerso in acqua pesa 460 N. Determinare il suo volume e la sua densità relativa rispetto all'acqua
Per quanto visto nell'es.precedente, la perdita di peso è ascrivibile all'azione della spinta di Archimede, dunque:
Facqua = Faria − Sa ⇒ Sa = Faria − Facqua = 40N
Ricordando che Sa = dliquido · Vimmerso · 9 , 81 , si ha:
Vcorpo = Sa dliquido · 9 , 81
= 0, 004 m^3 = 4dm^3
Per densità relativa si intende il rapporto fra la densità del corpo stesso e quella dell'acqua, ossia:
dr =
dcorpo dacqua
Per calcolare la densità del corpo basta eettuare il rapporto d = m V
. La massa è ricavata
dalla forza-peso subita fuori dal liquido:
m =
FP
= 51Kg
Quindi: d =
= 12742, 1 Kg/m^3
La densità relativa vale allora
dr =
Notare che tale grandezza è adimensionale, visto che è il rapporto fra due grandezze identiche.
Un acquario è posto sopra una bilancia che misura una massa m = 48Kg. Si introducono cinque pesciolini rossi, ciascuno di volume pari a 3 , 3 cm^3. Quale valore della massa fornirà la bilancia dopo l'immersione dei pesciolini?
Ogni pesciolino subirà una spinta di Archimede per eetto dell'immersione in acqua: l'acqua spostata dal loro volume premerà però verso il basso, facendo aumentare il valore segnato dalla bilancia esattamente di una quantità pari alla spinta di Archimede complessiva:
SaT OT = 5 · dacqua · Vpesce · 9 , 81 = 5 · 1000 · 3 , 3 · 10 −^6 · 9 , 81 = 0, 162 N
Tale forza compete ad una massa di 0 , 0165 Kg, per cui la bilancia segnerà una massa nale di:
mf = m 0 + 0, 0165 = 48, 0165 Kg
GALLEGGIAMENTO E VOLUME IMMERSO
Una cassa galleggia sulla super cie del mare, aondando per 1/3 del proprio volume. Calco- lare la densità della sostanza di cui è fatta la cassa
La spinta di Archimede, e quindi il galleggiamento di un corpo solido immerso in un uido, dipende dalla percentuale di volume immerso. Difatti, a nchè il corpo galleggi è necessario che:
FP = Sa ⇔ dcorpo · VT OT = dliquido · Vsolido immerso
Nel nostro caso, se il corpo aonda per 1/3 del proprio volume, signi ca che il rapporto fra volume immerso e volume totale è proprio 1/3, cioè:
Vsolido immerso VT OT
quindi, dalla condizione di galleggiamento scritta prima:
dcorpo = Vimmerso VT OT
· dliquido =
· 1030 = 343, 33 Kg/m^3
Un iceberg, la cui forma può essere approssimata ad un cono di altezza 50m e raggio di base di 12m, galleggia sulla super cie del mare. Calcolare il volume della parte emersa, sapendo che la densità del ghiaccio è di d = 920Kg/m^3.
L'iceberg galleggia, quindi vale la condizione di galleggiamento già vista, secondo cui
dcorpo · VT OT = dliquido · Vsolido immerso
Lo sportello di un sommergibile che si trova a 400 m di profondità nell'oceano subisce una forza di 2 , 026 · 106 N. Calcolare la super cie dello sportello, sapendo che l'acqua marina ha densità 1 , 03 gr/cm^3
Si sfrutta la de nizione di pressione P :
P =
F
S
indicando con F e S rispettivamente forza e super cie. Invertendo la relazione, la super cie si troverà S =
F
p La pressione si ottiene dalla legge di Stevino:
p = h · dH 2 O · g
ove h è l'altezza della colonna d'acqua che sovrasta lo sportello, ossia 400 m. Quindi possiamo impostare la soluzione
S =
= 0, 502 m^2
Un pallone areostatico di 10 m^3 di volume è pieno di elio dHe = 0, 178 · 10 −^3 g/cm^3. Calcolare quale è la forza con cui l'aria daria = 1, 292 · 10 −^3 g/cm^3 lo spinge in alto. Quale zavorra sarebbe necessaria per mantenere in equilibrio il pallone?
Ovviamente, la forza che spinge in alto il pallone è la forza netta dovuta alla dierenza fra la spinta di Archimede subita dal pallone immerso completamente in aria e la forza peso. Visto che la densità dell'elio è minore di quella dell'aria, si comprende che la spinta Sa è sicuramente maggiore della forza peso FP. Bisogna fare attenzione alle unità di misura, trasformando le densità in unità del S.I. Ricor- dando che 1 g/cm^3 = 1Kg/m^3 , si ha, con la solita formula:
Falto = Sa = daria · Vpallone · 9 , 81 = 126, 74 N, FP = dHe · V · 9 , 81 = 17, 46 N
Essendo Sa > FP , il pallone è spinto in alto da una forza netta di
Falto = Sa − FP = 109, 3 N
Se il pallone deve stare in equilibrio, è necessario contrastare questa forza verso l'alto con una zavorra verso il basso, la cui massa vale:
mz = FAlto 9 , 81
= 11, 12 Kg
Un cilindro di rame di densità 8900 Kg/m^3 e massa m = 5Kg è immerso completamente in acqua, sospeso ad un lo. Quale tensione τ esercita il lo in tale posizione? E se il cilindro fosse immerso per metà del suo volume?
La tensione del lo è uguale e contraria alla forza netta che in questo caso farebbe aondare il cilindro, visto che la sua densità è maggiore di quella del liquido in cui è immerso.
Ricondando che V = m d
, si ha che Vrame = 0, 00056 m^3 , per cui si ha:
τ = FP − Sa = mrame · 9 , 81 − dacqua · Vrame · 9 , 81 = 49, 05 − 5 , 49 = 43, 56 N
Se poi il volume immerso è la metà, ripetendo il calcolo dimezzando il volume Vrame si ottiene
τ = 49, 05 −
= 46, 3 N
