Scarica Calcolo Differenziale: Esercizi Svolti e più Appunti in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!
18. Calcolo differenziale: esercizi
Esercizio 18.7. Determinare, se non espressamente indicato, il dominio delle seguenti funzioni e studiarne la continuita e la derivabilita.
- f (x) = log√x(x ex); 2. f (x) = xx, x ∈]0, +∞[;
- f (x) = x(x
x) , x ∈]0, +∞[; 4. f (x) = (xx)x, x ∈]0, +∞[;
- (sen x)cos^ x.
R (^) 1. Pu`o tornare comodo scriversi l’espressione della funzione passando alla base naturale con la formula del cambiamento di base:
f (x) =
log(x ex) log
x
log x + x log x
2 x log x
Il dominio e l’insieme D =]0, 1[∪]1, +∞[. La funzionee continua e derivabile in D. Si ha d dx
f (x) = d dx
2 x log x
log x − 1 log^2 x
- Essendo xx^ = ex^ log^ x, la funzione `e continua e derivabile nel suo dominio ]0, +∞[. Si ha d dx
(xx) = d dx
ex^ log^ x^ = xx(log x + 1).
- Essendo x(x x) = ex x (^) log x la funzione `e continua e derivabile nel suo dominio ]0, +∞[. Si ha
d dx
x(x x)) = d dx
ex x (^) log x) = xx x
[
xx(log x + 1) log x + xx^
x
]
= xx x xx
log^2 x + log x +
x
- Dovendo essere sen x > 0 il dominio `e D =
k∈Z
]2kπ, (2k + 1)π[. La
funzione `e continua e derivabile in D e si ha
d dx ((sen x)cos^ x) =
d dx
ecos^ x^ log sen^ x
= (sen x)cos^ x^
− sen x log sen x + cos x
cos x sen x
Esercizio 18.10. Date le funzioni f : R → f (R) con legge
- f (x) =
1 + 3x se x < 0 6 ex^ +a se x ≥ 0 ,
- f (x) =
e^2 x^ se x < 0 x^3 + a se x ≥ 0 ,
- f (x) =
x^3 se x ≤ 1 a 4
x se x > 1 ,
- f (x) =
x se x < 0 α + arctg x se x ≥ 0 ,
- f (x) =
ax + 2 se x < 1 − log x se x ≥ 1 , 6.^ f^ (x) =
arctg x se x ≤ 0 xa^ se x > 0 ,
- f (x) =
√ax^ se^ x^ ≤^0 x + 1 se x > 0 , 8.^ f^ (x) =
log(1 − x) se x ≤ − 2 a − 2 x se x > − 2 ,
- f (x) =
1 + ax^2 se x ≤ 0 1 + x^3 se x > 0 ,
- f (x) =
ax^4 se x ≤ − 1 √ (^3) x se x > − 1 ,
a. dire per quali valori di a la funzione `e invertibile; b. per il rispettivo valore del parametro
- a = 1; 2. a = 2; 3. a = 2; 4. a = 1; 5. a = −1;
- a = 1/2; 7. a = e; 8. a = −3; 9. a = −2; 10. a = − 2
dire se la funzione e invertibile e, in caso affermativo, determinare dominio, codominio e legge della funzione inversa; c. determinare per quali valori di a, se ne esistono, fe continua in R; d. determinare per quali valori di a, se ne esistono, f `e derivabile in R.
R (^) 1.a. Conviene distinguere alcuni casi (vedi figura):
1.c. Per come e definita, la funzionee continua per ogni x 6 = 0 qualunque sia a. Per decidere per quali valori di a risulta continua anche nel punto x = 0 occorre calcolare (se esiste) il lim x→ 0 f (x) e confrontarlo con f (0). Poich´e
lim x→ 0 +^
f (x) = lim x→ 0 +^
6 ex^ +a = 6 + a
mentre lim x→ 0 −^
f (x) = lim x→ 0 −^
1 + 3x = 1 ∀ a ∈ R,
allora il limite per x → 0 esiste ed e uguale a f (0) = 6 + a per ogni a ∈ R tale che 6 + a = 1, cioe a = −5 e pertanto f e continua in tutti i punti di R solo per a = −5. 1.d. Possiamo restrigerci a considerare solo il caso a = −5 perche per a 6 = − 5 la f non essendo continua nel punto x = 0 non e neppure derivabile. Sia dunque a = −5. Per comee definita, la funzione `e derivabile per ogni x 6 = 0 con derivata
f ′(x) =
3 se x < 0 6 ex^ se x > 0
Per studiare la derivabilit`a in x = 0, consideriamo i limiti del rapporto incrementale in 0 da sinistra e da destra. Avendosi
lim h→ 0 −
f (h) − f (0) h = lim h→ 0 −
3 h h
lim h→ 0 +
f (h) − f (0) h = lim h→ 0 +
6(eh^ −1) h
allora f non `e derivabile nel punto x = 0 e quindi non esiste alcun valore di a tale che f sia derivabile in tutti i punti di R.
2.a. a ≥ 1. 2.b. Per a = 2 la funzione `e invertibile e si ha
f −^1 (y) =
log y 2 se 0 < y < 1 √ (^3) y − 2 se y ≥ 2.
2.c. a = 1. 2.d. Non esistono.
3.a. a ≥ 1. 3.b. f −^1 :] − ∞, 1]∪]2, +∞[→ R
f −^1 (y) =
√ (^3) y se y ≤ 1
(y/2)^4 se y > 2.
3.c. a = 1. 3.d. Non esistono.
4.a. α ≥ 0. 4.b. per α = 1 la funzione `e invertibile e si ha
f −^1 (y) =
y se y < 0 tg(y − 1) se 1 ≤ y < 1 + π/ 2.
4.c. α = 0. 4.d. α = 0.
5.a. Conviene distinguere alcuni casi (vedi figura):
a=
a>
y
1 x
2
a<- a=-
Come si vede, la funzione risulta iniettiva, e quindi invertibile, per ogni − 2 ≤ a < 0. 5.b. Per a = −1 la funzione `e invertibile. Per determinare la legge della funzione inversa occorre risolvere le equazioni
y = −x + 2 per x < 1 e y = − log x per x ≥ 1.
Avendosi
y = −x+2 per x < 1 ⇐⇒ x = 2−y per 2−y < 1 ⇐⇒ x = 2−y per y > 1 ,
y = − log x per x ≥ 1 ⇐⇒ x = e−y^ per e−y^ ≥ 1 ⇐⇒ x = e−y^ per y ≤ 0 ,
allora f −^1 :] − ∞, 0]∪]1, +∞[→ R con legge
f −^1 (y) =
2 − y se y > 1 e−y^ se y ≤ 0
7.c. a > 0. 7.d. a =
e.
8.a. E invertibile per ognia ≤ log 3 − 4. 8.b. Per a = −3 la funzionee invertibile con f −^1 :] − ∞, 1[∪[log 3, +∞[→ R definita da
f −^1 (y) =
1 − ey^ se y ≥ log 3 −(y + 3)/ 2 se y < 1.
8.c. a = log 3 − 4. 8.d. Non esistono.
9.a. Conviene distinguere alcuni casi (vedi figura):
y
x a>
a=
a<
1
Come si vede, la funzione risulta iniettiva, e quindi invertibile, per ogni a < 0. 9.b. Per a = −2 la funzione `e invertibile. Per determinare la legge della funzione inversa occorre risolvere le equazioni
y = 1 + x^3 per x > 0
e
y = − 2 x^2 + 1 per x ≤ 0.
Avendosi
y = 1 + x^3 per x > 0 ⇐⇒ x = 3
y − 1 per 3
y − 1 > 0 ⇐⇒ x = 3
y − 1 per y > 1
e
y = − 2 x^2 + 1 per x ≤ 0 ⇐⇒ x^2 = 1 − y 2
per x ≤ 0
⇐⇒ x = − 1 − y 2
per y ≤ 1
allora f −^1 : R → R con legge
f −^1 (y) =
√ (^3) y − 1 se y > 1
1 − y 2
se y ≤ 1.
9.c. Per come e definita, la funzionee continua per ogni x 6 = 0 qualunque sia a. Per decidere per quali valori di a risulta continua anche nel punto x = 0 occorre calcolare (se esiste) il lim x→ 0 f (x) e confrontarlo con f (0). Poich´e
lim x→ 0 +^
f (x) = lim x→ 0 +^
1 + x^3 = 1
mentre lim x→ 0 −^
f (x) = lim x→ 0 −^
ax^2 + 1 = 1 ∀ a ∈ R,
allora il limite per x → 0 esiste ed e uguale a 1 = f (1) per ogni a ∈ R e pertanto fe continua in tutti i punti di R qualunque sia a ∈ R. 9.d. Per come e definita, la funzionee derivabile per ogni x 6 = 0 con derivata
f ′(x) =
3 x^2 se x > 0 2 ax se x < 0.
Per studiare la derivabilit`a in x = 0, consideriamo i limiti del rapporto incrementale in 0 da sinistra e da destra. Avendosi
lim h→ 0 −
f (h) − f (0) h = lim h→ 0 −
ah^2 h
lim h→ 0 +
f (h) − f (0) h
= lim h→ 0 +
h^3 h
allora f `e derivabile anche nel punto 0 e quindi in tutti i punti di R qualunque sia a ∈ R.
10.a. a ≤ −1. 10.b. f −^1 :] − ∞, −2]∪] − 1 , +∞[→ R
f −^1 (y) =
−y/ 2 se y ≤ − 2 y^3 se y > − 1.
10.c. a = −1. 10.d. Non esistono.
Esercizio 18.11. Date le funzioni
- f : R → f (R),
f (x) =
α 2 −x+1^ se x ≤ − 1 2 − αx se x > − 1 ,
- f :]0, +∞[→ f (]0, +∞[),
f (x) =
log x − α se x ≤ 1 (x − 1)^2 se x > 1 ,
