Scarica Calcolo Differenziale e Integrale: Esercizi Svolti e più Formulari in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity!
Curva di livello: L
k
( x , y ) ∈ D
f ( x , y )=k
Derivata direzionale :
∂ f
∂ V
P
0
=lim
t → 0
f
P
0
+tV
−f (P
0
t
Piano tangente : z=φ ( P )=f
P
0
P
0
∙( P−P
0
Taylor II ordine :T =f
P
0
P
0
P−P
0
P−P
0
(
f
xx
P
0
f
xy
P
0
f
xy
P
0
f
yy
P
0
)
P−P
0
t
P 0
punto critico
→ ∇ f
P
0
0 → H
P
0
(
f
xx
P
0
f
xy
P
0
f
xy
P
0
f
yy
P
0
)
(matrice derivate seconde)
H
P
0
definita positiva →minimo 2.
H
P
0
definita negativa →massimo 3.
H
P
0
indefinita →sella
Se H
P
0
2×2, - det
(
H
P
0
)
< 0 , sella - det
(
H
P
0
)
0 somma autovalori traccia > 0, minimo; traccia < 0,
massimo
chain rule composta: ∇
f ∘ g
P
0
= ∇ f (
g
P
0
) )
∙ J
g
P
0
in generale, J
( f ∘ g )
P
0
=J
f
(
g
P
0
) )
∙ J
g
P
0
semplice per verticali : ∬
Ω
f
x , y
dx dy= ∫
a
b
(
∫
g ( x )
h
( x
)
f
x , y
dy
)
dx per orizzontali : ∫
c
d
(
∫
g ( y )
h
( y
)
f
x , y
dx
)
dy
Vol
E
∬
Ω
f
x , y
dx dy=
∫
a
b
(
∫
g ( x)
h ( x)
f
x , y
dy
)
dx=
∫
a
b
A
x
dx
Centro di massa: x=
∬
Ω
x ρ ( x , y ) dx dy
∬
Ω
ρ
x , y
dx dy
, y =
∬
Ω
y ρ( x , y ) dx dy
∬
Ω
ρ
x , y
dx dy
Momento di inerzia : I = ∬
Ω
( (
x−x
0
2
y− y
0
2
)
ρ ( x , y ) dx dy
Se f è dispari in x e Ω è simmetrico rispetto a y, allora ∬
Ω
f ( x , y)dx dy= 0
Coordinate polari → det
J
g
( r , θ)
=r Coordinate ellittiche → det
J
g
( r ,θ )
=abr
Riduzione per fili : ∭
Ω
f ( x , y , z ) dx dy dz=
∬
D
(
∫
g ( x , y )
h ( x , y )
f ( x , y , z ) dz
)
dx dy
Riduzione per strati:
∭
Ω
f ( x , y , z ) dx dy dz =
∫
a
b
(
∬
S
z
f ( x , y , z ) dx dy
)
dz
Coordinate sferiche:r ∈ [ 0 ,+∞) ,θ ∈ [ 0 , 2 π ) , φ ∈ [ 0 , π ] ,
{
x=r sen φ cos θ
y=r sen φ sen θ
z =r cos φ
→∨det J ∨¿ r
2
sen φ
Coordinate cilindriche :
{
x=r cos θ
y =r sen θ
z=z
→∨det J ∨¿ r
Segmento di retta: γ ( t) =A +t ( B− A ) t ∈ [0,1] o
γ ( t) =A +
τ −a
b−a
( B− A ) τ ∈ [ a , b]
Curva poligonale:
γ ( t) =A
i
+( t−i)
A
i+ 1
− A
Circonferenza: γ ( t) =A +R ( cos t , sen t ) o γ ( τ )= A +R
(
cos
2 πτ
T
, sen
2 πτ
T
)
Integrale funzione scalare su γ : ∫
γ
f dl=
∫
a
b
f ( γ ( t ) )
|
|γ
'
( t )| |
dt Lunghezza ( γ )=
∫
a
b
|
|γ
'
( t)| |
dt
Integrale campo vettoriale lungo γ : ∫
γ
F ∙ d
l=
∫
a
b
F ( γ (t ) ) ∙ γ
'
( t) dt
F conservativo : 1. ∮
γ
F ∙ d
l= 0 2.
∫
γ
1
F ∙ d
l=
∫
γ
2
F ∙ d
l3. F ( P)= ∇ V ( P)
Se F conservativo :
∂ F
i
∂ x
j
( P)=
∂ F
j
∂ x
i
( P) ( Rot F= 0 ) → irrotazionale
Campo centrale →conservativo
F generico →V = ∫
F
1
dx=P
1
F
2
∂ P
1
∂ y
dy avendo V → ∫
γ
F ∙ dl=V ( γ ( b) ) −V ( γ ( a) )
Teorema di ¿ : ∮
γ
F ∙ dl= ∬
R
(
∂ F
2
∂ x
∂ F
1
∂ y
)
⏟
Rot F
dx dy con γ antioraria
Prodotto fondamentale: P
u
× P
v
=det
(
i j k
∂ X
∂ u
∂Y
∂ u
∂ Z
∂ u
∂ X
∂ v
∂Y
∂ v
∂ Z
∂ v
)
superficie regolare se P
u
× P
v
Integrale superficie : ∬
Ω
f ( X ( u , v ) ,Y ( u , v ) , Z ( u , v ) )
||
P
u
× P
v
||
du dv= ∬
Ω
f ( X ( u , v ) ,Y ( u , v ) , Z ( u , v ) ) dσ
Superficicome grafici→
^
n=
(−g
x
,−g
y
√
∇ g
2
∬
grafico
g (x , y)
f dσ = ∬
Ω
f ( x , y , g ( x , y ) )
√
1 +|| ∇ g(x , y)||
2
dx dy
Superficidi rotazione → ∬
S α
f ( x , y , z ) dσ =
∫
a
b
∫
0
α
f
γ
2
( t ) sen θ , γ
2
( t ) cos θ , γ
3
( t )
)|
γ
2
( t )
|
|
|γ
'
( t )| |
dθ dt
Area
S
α
=α ∙ L( γ ) ∙ d
z
Vol (C
α
)=α ∙ Area (Ω)∙ d
Flusso: ∬
S
F ( P) ∙
^
n ( P) dσ ⇒ ∬
Ω
F ( P ( u , v ) ) ∙(P
u
× P
v
) du dv
Identità di Lagrange : √
det J
p
t
∙ J
P
||
P
u
× P
v
||
Teorema divergenza( Gauss) : ∬
∂ Ω
F ∙ n^ dσ
⏟
flusso uscente da Ω
∭
Ω
(
∂ F
1
∂ x
∂ F
2
∂ y
∂ F
3
∂ z
)
⏟
¿F
dx dy dz
a
0
∑
n= 1
∞
a
n
∙ cos nωx +b
n
∙ sen nωx
a
0
T
∫
−T
2
T
2
f ( x ) dx
a
n
T
∫
−T
2
T
2
f ( x ) ∙ cos nωx dx=
π
∫
−π
π
f
(
T
2 π
x
)
∙ cos nx dx
b
n
T
∫
−T
2
T
2
f ( x ) ∙ sen nωx dx=
π
∫
−π
π
f
(
T
2 π
x
)
∙ sen nx dx
f pari→ b
n
f dispari→ a
n
- f T periodica e continua a tratti :convergenza∈media quadratica lim
N →+∞
∫
−T
2
T
2
( S
N
( x )−f ( x) )
2
dx= 0
- f T periodica , continua a tratti e C
1
a tratti :convergenza puntuale lim
N →+ ∞
S
N
( x) =f
¿
( x ) =
- f T periodica , continua e C
1
a tratti : convergenza uniforme lim
N →+ ∞
(
max
x ∈ R
|
S
N
( x )−f ( x ) |
)
= 0 uniforme ⇒ puntuale
Identità di Parseval ( T periodica e continua a tratti ) :
T
∫
−T
2
T
2
f ( x )
2
dx=a
0
2
∑
n= 1
∞
(
a
n
2
n
2
)
per normaquadratica
X ( s) ≝ ∫
0
+∞
e
− st
x ( t) dt
e
at
s−a
sen at
a
s
2
+a
2
cos at
s
s
2
+a
2
cosh at
s
s
2
−a
2
senh at
a
s
2
−a
2
U ( t−a )
e
−sa
s
t
n
n!
s
n+ 1
sen ( t )
t
arctg
(
s
)
A s
2
si raccoglie A e si completa il quadrato come quadrato dibinomio
s+c
A s
2
si raccoglie A , si completail quadratoe si semplifica il numeratore
[
α x
1
( t) + β x
2
(t )
]
( s )=α L
[
x
1
( t )
]
( s )+ β L
[
x
2
( t)
]
( s )
[
x ( at )
]
( s) =
a
L
[
x ( t )
]
(
s
a
)
t−a
x
t−a
]
s
=e
−sa
L [ x
t
] (s)
at
x
t
]
s
=L [ x
t
]
s−a
Moltiplicazione : L [ t
n
x
t
]
s
n
X
(n)
s
Divisione : L
[
x ( t )
t
]
( s) = ∫
s
X ( S) dS
Derivata prima : L [ x
'
t
]
s
=s X
s
−x
Derivata seconda : L [ x
' '
( t) ] ( s )=s
2
X ( s )−s x ( 0 )−x
'
s
2
A s
2
X ( s )
s
2
siantitrasforma X ( s)
(
senza
s
2
)
e siintegra due volte ( da 0 at ) ciò che si ottiene
cos nx=
e
inx
+e
−inx
sen nx=
e
inx
−e
−inx
2 i
cos nπ=(− 1 )
n
sen(nπ + x)=(− 1 )
n
sen x
∫
ln x= x ln x−x
∫
tg x=−ln¿ cos x∨¿ ¿
∫
arctg x=x arctg x−
ln ( 1 +x
2
lim
x → 0
1 +x
1
x
=e
lim
x→+∞
(
a
x
)
x
=e
a
