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In questa sezione introdurremo il concetto di forza. Nel linguaggio comune la forza viene associata a spinte o trazioni muscolari. Ad esempio diciamo che è necessario applicare una forza per spostare un armadio da un punto all'altro della stanza. In fisica si definisce forza la causa in grado di produrre sui corpi ai quali viene applicata:
- Effetti statici , ossia deformazioni;
- Effetti dinamici , ossia variazioni di velocità.
Un tipico esempio di forza è il peso di un corpo. Infatti se appoggiamo una pila di libri sopra lo scaffale di una libreria notiamo che la forza-peso dei libri è in grado di produrre una curvatura (deformazione) nello scaffale (effetto statico). Viceversa, se lasciamo un libro libero di cadere, esso aumenterà la sua velocità nel moto verticale di caduta verso il basso sempre a causa della forza- peso che in questo caso manifesta i suoi effetti dinamici. Analogamente, quando un calciatore tira un calcio di rigore, il pallone da fermo comincia a mettersi in movimento: in questo caso parliamo di effetto dinamico della forza. Quando invece appendiamo un peso a una molla posta in verticale, la molla si deforma allungandosi: in questo caso parliamo di effetto statico della forza.
Esistono svariati esempi tratti dalla vita di tutti i giorni nei quali noi applichiamo una forza a un corpo e vediamo che tale corpo rimane fermo. Questo succede, ad esempio, nel tiro alla fune quando due squadre tirano la fune con la stessa intensità ma ai due capi opposti. Come vedremo meglio in seguito, in questo caso le due forze applicate si equivalgono e la fune rimane ferma perché la forza totale applicata è uguale a zero. Se invece una delle forze è più intensa allora sulla fune comincia ad essere applicata una forza totale diversa da zero e la fune comincia a muoversi.
In natura esistono quattro tipi di forze fondamentali: la forza di gravitazione universale (con la quale si attraggono due corpi dotati di una certa massa), la forza elettromagnetica (grazie alla quale, ad esempio, due cariche di segno opposto si attraggono tra di loro), e le forze nucleari forti e deboli.
Come vedremo meglio nelle prossime sezioni, l'unità di misura della forza nel Sistema Internazionale è il newton (N). Un newton è pari all'intensità della forza-peso con la quale una massa di circa 102 g viene attratta verso il centro della Terra.
Uno strumento tarato con il quale possiamo misurare l'intensità di una forza è il dinamometro. Il funzionamento di questo strumento curiosamente si basa sugli effetti statici della forza: infatti è costituito da un cilindro graduato contenente una molla. Applicando una forza alla molla, essa si allunga e dall'allungamento è possibile risalire all'intensità della forza.
il valore dell'accelerazione di gravità g = F (^) P / m rimane costante. Pertanto possiamo concludere
che la forza-peso F (^) P e la massa m di un corpo in un determinato luogo sono direttamente
proporzionali: questo implica che se raddoppiamo (o triplichiamo) la massa di un corpo allora
anche il suo peso raddoppia (triplica).
Per concludere questa sezione ricordiamo qual è la regola per moltiplicare un numero per un
vettore. Supponiamo di moltiplicare un vettore di intensità s per un numero k positivo. Otterremo un
vettore che ha stessa direzione e stesso verso e per intensità k · s. Se invece moltiplichiamo il
vettore per un numero k negativo avremo un vettore con la stessa direzione, intensità k · s e
verso opposto. In particolare due vettori si dicono oppostiquando hanno stessa direzione, stessa
intensità ma verso opposto. I vettori opposti sono importanti per il calcolo della differenza di due
vettori: infatti la differenza di due vettori si definisce come la somma del primo vettore e
dell'opposto del secondo vettore.
n questa sezione vogliamo cominciare a studiare la statica , ossia quella parte della meccanica che si occupa dell' equilibrio dei corpi. Partiremo con lo studio dell'equilibrio dei corpi per traslazioni. Un corpo subisce una traslazione quando ogni suo punto si sposta della stessa quantità nella stessa direzione e nello stesso verso, in altre parole quando ogni suo punto è sottoposto allo stesso vettore spostamento.
In fisica giocano un ruolo importante i cosiddetti corpi rigidi. Un corpo rigido è un corpo che non si può deformare, ossia un corpo in cui ogni punto mantiene nel tempo la stessa distanza da ogni
altro punto del corpo. In generale studiare il moto o l'equilibrio di un corpo rigido può non essere banale se il corpo rigido non ha forma regolare. Se però il corpo rigido ha forma regolare (ad esempio sferica) si può immaginare tutta la massa del corpo concentrata in un punto che è il centro di simmetria del corpo (nell'esempio della sfera, il suo centro). Questo centro di simmetria va anche sotto il nome di baricentro.
Lo studio del moto oppure dell'equilibrio del corpo rigido viene in questo modo ridotto allo studio del moto oppure dell'equilibrio di un particolare punto dotato di massa, ossia di un particolare punto materiale. In queste lezioni useremo sempre per semplicità questo modello del punto materiale, ossia immagineremo tutta la massa M del corpo rigido concentrata nel baricentro che pertanto risulterà sottoposto a una forza-peso totale data da M · g, dove g = 9.8 N / kg. Più in generale, si può utilizzare il modello del punto materiale quando il corpo è molto più piccolo delle dimensioni fisiche che caratterizzano il problema e quando le direzioni di tutte le forze agenti sul corpo si incontrano in un unico punto.
Anche nel linguaggio di tutti i giorni diciamo che un corpo è in equilibrio quando non si muove. Cerchiamo ora di tradurre questa definizione a parole di equilibrio in formule matematiche, limitandoci per il momento alle traslazioni. Abbiamo visto che le forze hanno effetti dinamici, ossia sono in grado di mettere in movimento i corpi ai quali sono applicate. Per avere equilibrio per traslazioni è perciò necessario che la somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo in esame sia uguale a 0:
F→ 1 + F→ 2 + F→ 3 + ... = 0→.
Ad esempio consideriamo due squadre che giocano a tiro alla fune: se una squadra applica una forza diretta orizzontalmente da destra a sinistra di intensità F e la squadra avversaria applica una forza di ugual intensità F, ma diretta orizzontalmente da sinistra a destra, avremo che la somma dei due vettori forza, uguali ed opposti, è uguale a zero e la fune risulta perciò in equilibrio.
Se ragioniamo in termini di componenti dei vettori avremo che, per avere equilibrio, la somma di tutte le componenti orizzontali dei vettori forza deve essere uguale a zero, così come deve essere uguale a zero la somma di tutte le componenti verticali dei vettori forza. Vedremo nelle prossime sezioni varie applicazioni di questo concetto.
Se mettiamo in comunicazione due o più tubi riempiti dello stesso liquido, il livello raggiunto dal liquido nei tubi è lo stesso indipendentemente dalla forma, dalle dimensioni e dalla sezione dei tubi comunicanti. Questo è l'enunciato del principio dei vasi comunicanti. La giustificazione di questo principio risiede in una legge più generale, detta legge di Stevino che andremo ora ad enunciare.
Un altro esempio molto importante di moto è il moto rettilineo uniformemente accelerato , caratterizzato da una traiettoria rettilinea e da un' accelerazione costante. Questo significa che in un moto rettilineo uniformemente accelerato l'accelerazione a non varia nel tempo. Se ora ci ricordiamo com'è definita l'accelerazione, a = (v - v 0 ) / (t - t 0 ), possiamo dire che in un moto rettilineo uniformemente accelerato il rapporto tra la variazione di velocità v - v 0 e l'intervallo di tempo t - t 0 è uguale a una costante. Questo vuol dire che la variazione di velocità e l'intervallo di tempo in cui tale variazione avviene sono direttamente proporzionali: v - v 0 = a · (t - t 0 ).
Come caso particolare, supponiamo di far partire il cronometro all'istante t 0 = 0 e che in quell'istante il corpo risulti fermo v 0 = 0. In questo caso la velocità istantanea del corpo v e il tempo t risultano direttamente proporzionali: v = a · t e il grafico è la retta passante per l'origine riportata in figura:
Lavoro e potenza
Lavoro di una forza costante
Nella figura riportata sopra O è il punto attorno al quale avviene la rotazione (ad esempio il centro del bullone), b è la distanza tra la retta d'azione della forza e il punto attorno al quale avviene la rotazione. Questa distanza prende anche il nome di braccio della forza. Il momento di una forza M si definisce come il prodotto dell'intensità F della forza per la lunghezza b del braccio: M = F · b. Dal momento che nel Sistema Internazionale la forza si misura in newton e il braccio in metri l'unità di misura del momento della forza è il newton per metro (N · m). Ad esempio, se l'intensità della forza è F = 5 N e il braccio misura b = 6 cm avremo un momento della forza pari a M = 5 N · 0.06 m = 0.3 N · m. Come casi particolari, se la retta d'azione della forza passa per il centro di rotazione O abbiamo che b = 0. In questo caso il momento della forza si annulla e non si verifica alcuna rotazione.
Il momento di una forza è la grandezza che regola i movimenti di rotazione. A questo punto è chiaro che possiamo aumentare il momento M sia aumentando l'intensità della forza F sia aumentando il braccio b: questo è il motivo per cui il portone si apre più facilmente se lo spingiamo dalla parte opposta rispetto ai cardini o per cui il bullone si allenta più facilmente spingendo una chiave inglese all'estremità del manico. Per convenzione si associa un segno alle rotazioni: il momento di una forza è un numero positivo se le rotazioni che esso provoca sono antiorarie , è invece un numero negativo se le rotazioni che esso induce sono orarie. Questa convenzione sarà di fondamentale importanza nella prossima sezione, dove andremo a stabilire quali sono le condizioni di equilibrio di un corpo che può ruotare.
Esistono tre possibili posizioni di equilibrio di un corpo: equilibrio stabile , equilibrio instabile ed equilibrio indifferente. Vogliamo illustrarle partendo dall'esempio in figura:
La sfera A occupa una posizione di equilibrio stabile : se spostiamo la sfera dalla posizione di equilibrio, lei tende a tornare nella posizione di partenza. La sfera B occupa invece una posizione di equilibrio instabile : se la allontaniamo dalla posizione di equilibrio, la sfera si allontana sempre più dalla posizione di partenza. La sfera C invece occupa una posizione di equilibrio indifferente : se la allontaniamo dalla posizione di partenza lei si sposta per assumere una nuova posizione di equilibrio. Su un piano orizzontale ogni punto corrisponde a una posizione di equilibrio.
In alcune situazioni la posizione del baricentro (ossia il punto in cui possiamo pensare concentrata tutta la massa di un corpo) gioca un ruolo importante nella classificazione delle posizioni di equilibrio. Supponiamo di avere un'asta omogenea. La possiamo appendere ad un punto posto sopra il baricentro, ad un punto posto sotto il baricentro o ad un punto coincidente con il baricentro, come nella figura sottostante:
Nella figura di sinistra il baricentro sta al di sotto del punto di rotazione. La posizione verticale dell'asta è una posizione di equilibrio stabile : infatti se spostiamo l'asta dalla posizione verticale si genera un momento orario che tende a riportare l'asta nella sua posizione di partenza. Nella figura centrale invece il baricentro sta al di sopra del punto di rotazione. L'equilibrio è instabile : infatti se spostiamo l'asta dalla posizione di equilibrio il momento orario tende ad allontanare l'asta dalla posizione di partenza e a rovesciarla. Nella figura a destra invece il baricentro coincide con il punto attorno al quale avviene la rotazione. In questo caso l'equilibrio è indifferente e l'asta tende a
rimanere nella nuova posizione in cui è stata portata. Infatti, poiché la retta d'azione della forza- peso passa per il centro di rotazione, abbiamo che il momento della forza-peso è nullo e non si genera alcuna rotazione.
Nella valutazione dell'equilibrio di un corpo assume la sua importanza anche la posizione relativa del baricentro e della superficie d'appoggio. Per avere equilibrio è fondamentale che la verticale passante per il baricentro di un corpo cada all'interno della superficie d'appoggio del corpo stesso. Se invece tale verticale interseca il perimetro della superficie d'appoggio allora l'equilibrio diventa instabile. Se infine la verticale per il baricentro cade fuori dalla superficie d'appoggio del corpo in esame allora la situazione non è più di equilibrio perchè si genera un momento in grado di far ruotare il corpo.
- ds > d (^) l: in questo caso la forza-peso è maggiore della spinta di Archimede e il corpo affonda.
- ds = dl : in questo caso la forza-peso è uguale ed opposta alla spinta di Archimede. Il corpo rimane in equilibrio nel punto in cui lo abbiamo posto inizialmente.
- ds < d (^) l: in questo caso la spinta di Archimede ha la meglio sulla forza-peso perché la sua intensità è maggiore. Il corpo emerge e galleggia.
Nel terzo caso in cui il corpo galleggia siamo in grado di calcolare, partendo dalla spinta di Archimede, qual è il volume emerso e qual è il volume immerso nel liquido. Infatti quando il corpo galleggia abbiamo che la spinta di Archimede, uguale al peso del liquido spostato, è data da S = g · d (^) l · V (^) i, dove V (^) i è il volume del solido immerso nel liquido. Quando il corpo galleggia, la forza- peso F (^) P = g · d (^) s · V e la spinta di Archimede S = g · d (^) l · V (^) i si fanno equilibrio, ossia hanno la stessa intensità, da cui possiamo ricavare: d (^) s · V = d (^) l · V (^) i che implica Vi = V · d (^) s / dl. Con questa formula possiamo calcolare qual è il volume del corpo che rimane immerso nell'acqua.
Teorema dell'impulso
In questa sezione vogliamo studiare la fisica del gioco del biliardo, ossia vogliamo capire come si descrivono in fisica l'urto tra la stecca e la biglia e le sue conseguenze. Per farlo vogliamo riscrivere in maniera diversa il secondo principio della dinamica. Per semplicità ometteremo il segno di vettore su forze, accelerazioni e velocità e scriveremo le relazioni che legano tra loro le rispettive intensità. Sappiamo che la forza F e l'accelerazione a sono direttamente proporzionali: F = m a. Ricordiamoci ora che l' accelerazione è una variazione di velocità v 2 - v 1 che avviene in un certo intervallo intervallo di tempo t 2 - t 1. Pertanto il secondo principio della dinamica diventa: F = m · (v 2 - v 1 ) / (t 2 - t 1 ). Moltiplicando entrambi i membri della precedente uguaglianza per l'intervallo di tempo t 2 - t 1 otteniamo la seguente relazione, nota anche come teorema dell'impulso : F · (t 2 - t 1 ) = m v 2 - m v 1.
La grandezza fisica che compare a sinistra della precedente equazione prende il nome
di impulso e si indica con la lettera I. L'impulso è dato dal prodotto della forza applicata a
un corpo per l'intervallo di tempo in cui tale forza viene applicata. Si tratta di una
grandezza vettoriale: la direzione e il verso dell'impulso coincidono con la direzione e il
verso della forza. Anche nel lato di destra del teorema dell'impulso compare una
grandezza fisica che non abbiamo ancora introdotto, ossia la quantità di moto q = m v,
data dal prodotto della massa m del corpo per la sua velocità v. Anche la quantità di moto
è una grandezza vettoriale: la direzione e il verso della quantità di moto q coincidono con
la direzione e il verso della velocità v. Possiamo pertanto enunciare a parole il teorema
dell'impulso come segue: un impulso I = F · (t 2 - t 1 ) applicato ad un corpo provoca una
variazione della sua quantità di moto q = m v pari all'impulso applicato. Prima di tornare
all'esempio della stecca e della palla da biliardo, andiamo a controllare la consistenza del teorema dell'impulso da un punto di vista delle unità di misura. L'impulso I nel Sistema Internazionale si misura in newton per secondi (N · s). Ricordando che possiamo riscrivere 1 N = 1 kg · 1 m / 1 s 2 possiamo dire che l'unità di misura dell'impulso nel Sistema Internazionale è il kg · m / s, che coincide con l'unità di misura della variazione della quantità di moto.
Torniamo al gioco del biliardo. Quando la stecca imprime un colpo alla palla da biliardo, vuol dire che applica una certa forza F per un certo intervallo di tempo Δt = t 2 - t 1 , in altre parole la stecca
vengono assorbiti dal sistema (nel precedente esempio dal gas a pressione costante) ed i lavori L che vengono fatti dal sistema sull'ambiente esterno.
La seconda legge della rifrazione
Tornando all'esempio da cui siamo partiti, l'indice di rifrazione dell' aria è pari a circa 1.0003 (per le nostre applicazioni approssimeremo sempre l'indice di rifrazione assoluto dell'aria a 1). Tutte le altre sostanze hanno indici di rifrazione assoluti maggiori di 1. L'indice di rifrazione assoluto dell' acqua è pari a 1.333. Dalla seconda legge della rifrazione abbiamo che sen i / (sen r) = 1.333. Ad esempio, se l'angolo di incidenza è i = 40° con una calcolatrice possiamo ricavare che sen i = 0.64. Usando la seconda legge della rifrazione otteniamo che il seno dell'angolo di rifrazione è legato al seno dell'angolo di incidenza dalla seguente relazione: sen r = sen i / 1.33 = 0.64 / 1. = 0.48, da cui l'angolo di rifrazione è r = 29°. In generale quando passiamo dall'aria all'acqua l'angolo di rifrazione è minore dell'angolo di incidenza. Questo produce il piegamento di una matita posta nell'acqua.
Il piegamento dei raggi luminosi nell'acqua giustifica anche il motivo per cui una macchia d'acqua su un abito fa sembrare il tessuto più scuro. Quando incontra l'acqua presente tra una fibra e l'altra del tessuto, la luce subisce un fenomeno di rifrazione e penetra sempre più in profondità. Questa luce è assorbita dal tessuto e pertanto viene sottratta alla parte di luce che viene riflessa dall'abito e raggiunge i nostri occhi. Come conclusione, noi percepiamo di colore più scuro la parte di tessuto bagnata rispetto a quella asciutta.
Per concludere questa sezione, notiamo come l'indice di rifrazione diminuisca leggermente all'aumentare della temperatura. Questa è fondamentalmente la ragione per cui nelle calde giornate estive gli oggetti distanti ci sembrano deformati e tremolanti. I raggi che provengono da punti diversi di oggetti lontani, prima di raggiungere i nostri occhi, attraversano zone d'aria a temperature diverse e vengono pertanto deviati con angolazioni diverse: questo giustica il motivo per cui l'immagine dell'oggetto ci sembra deformata. Il fatto che l'aria calda tenda a salire per convezione fa sì che la temperatura degli strati d'aria attraversati da un raggio di luce cambi al passare del tempo: questo genera il tipico tremolio degli oggetti lontani nelle giornate estive. Considerazioni simili sono anche alla base della spiegazione fisica dei fenomeni noti sotto il nome di miraggi.
Allo stesso modo in cui nella precedente sezione abbiamo introdotto il campo gravitazionale, andremo ora ad introdurre il campo elettrico. Il campo elettrico in un punto P si definisce come il rapporto tra la forza che agisce una carica positiva q, detta carica di prova , e la carica stessa: E→ = F→ / q. Evidentemente il campo elettrico ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza elettrostatica.
L'intensità del campo elettrico E viene invece a dipendere solo dal punto dello spazio in cui ci troviamo e dalla distribuzione di cariche elettriche che generano il campo, non dal valore della carica di prova. Ad esempio, il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q nel vuoto è dato da: E = k 0 Q / r 2. Dunque una carica Q è in grado di modificare lo spazio circostante creando un campo di forze elettriche. Vogliamo sottolineare come il campo elettrico esista indipendentemente dalla presenza della carica di prova q, il campo elettrico ha una sua realtà fisica. La carica di prova può essere usata per misurare in ogni punto dello spazio il valore della forza elettrica, in modo da poter poi risalire al valore del campo elettrico E = k 0 Q / r^2. Da questa formula ricaviamo subito che l'unità di misura del campo elettrico nel Sistema Internazionale è il newton su coulomb (N / C).
Se non introducessimo il concetto di campo dovremmo ammettere che le due cariche elettriche (oppure le due masse) subiscono un'azione a distanza istantanea. La moderna interpretazione delle interazioni è invece quella riportata nella figura seguente:
collegamenti in parallelo
collegamento in serie
