Il Metodo del Simplesso: Appunti di Ottimizzazione Lineare, Appunti di Matematica Per L'economia

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Il metodo del simplesso

I problemi di PL in forma standard

I problemi di PL in forma

standard

hanno la seguente

formulazione:

max

cx ai

x

b

i^

i^

,... , m

x

o, equivalentemente, in forma matriciale:

max

cx Ax

b

x

Dimostrazione

Problema di PL in forma canonica

max

cx ai

x

b

i^

i^

,... , m

x

ai

x

b

i^

ai

x

y

=i

b

,i

yi

Quindi, il problema di PL in forma canonica è equivalente alseguente:

max

cx

ai

x^

y

i^

b

i^

i^

,... , m

x

yi

i^

,... , m

che è in forma standard.

Continua

Ogni problema di PL può essere ricondotto ad unoequivalente in forma canonica.Ogni problema in forma canonica può essere ricondotto aduno equivalente in forma standard.Quindi: ogni problema di PL può essere ricondotto ad unoequivalente in forma standard. NB:

nella pratica si passa direttamente da un problema di

PL in forma generica ad uno equivalente in forma standard,senza passare necessariamente attraverso un problema informa canonica.

Ipotesi aggiuntiva

Si richiede che la matrice dei vincoli

A

R

m

× n^

abbia rango

pari a

m

, il numero delle sue righe

, il che equivale a

richiedere che:

non ci sono righe di

A

ottenibili come combinazioni

lineari di altre righe di

A

esistono

m

colonne della matrice

A

che formano una

matrice quadrata invertibile.

NB:

Si può dimostrare che anche questa non è una

condizione restrittiva e che ci si può sempre ricondurre adessa.

Esempi

A

1

Rango di

A

1

< m

= 3^ A

2

[

]

Rango di

A

2

m

Un esempio

Dato

max

3 x

1

x^2

x^3

x^4

x

5

x^1

x^2

x^3

x

4

x

5

x^1

x^2

x

3

x^4

x^5

x^1

, x

, x 2

, x 3

, x 4

5

Matrice dei vincoli

A

[

]

Continua

B

1

x^1

, x

non è una base. Infatti

A

B 1

[

]

non è invertibile

Invece,

B

2

x^1

, x

è una base in quanto:

A

B 2

[

]

è invertibile

Allo stesso modo si verifichi che

B

3

x^3

, x

e

B

4

x^4

, x

sono basi.

Nell’esempio

Con la base

B

x^1

, x

abbiamo:

x B^

x^1

x^3

x N

x^2

x^4

x^5

cB

cN

A

N

[

]

Riscrittura della riformulazione

Possiamo ora riscrivere il problema di PL in forma standardnella seguente forma equivalente:

max

cB

x B^

c

N

x N

A

B

x B^

A

N

x N

b

xB

,^ x

N

e quindi anche in questo modo:

max

cB

x B^

c

N

x N

A

B

xB

b

A

N

x N

x B

,^ x

N

E quindi ...

max

cB

x B

︷^

3 x

1

x^3

cN

x N

︷^

4 x

2

x^4

x

5

A

xB B

︷^

x^1

x^3

b−

A

N^ xN

︷^

x^2

x

4

x

5

x^1

x

3

x^2

x^4

x^5

x^1

, x

3

︸^

xB

, x

, x 2

, x 4

5

︸^

xN

Continua

Moltiplichiamo ora i vincoli di uguaglianza per

A

− 1 B

max

cB

x B^

c

N

x N

A

− 1 B

A

B^

x B

A

− 1 B

b

A

− 1 B^

A

N

x N

x B

,^ x

N

e quindi da

A

− 1 B^

A

B

xB

Ix

B^

x

B

max

cB

x B^

c

N

x N

x B

A

− 1 B

b

A

− 1 B^

A

N

x N

x B

,^ x

N

Questo equivale a risolvere il sistema dato dai vincoli diuguaglianza considerando la variabili in base come incognite

del sistema e quelle fuori base come

parametri

Il metodo del simplesso – p. 17/

Riformulazione rispetto alla base B

Infine, sostituendo

x

B^

nell’obiettivo:

cB

x B

c

N

x N

c

B

( A

− 1 B

b

A

− 1 B^

A

N

x N

)^

c

N

x N

da cui:

max

cB

A

−^1 B^

b

cN

c

B

A

− 1 B^

A

N

)x

N

x B

A

− 1 B

b

A

− 1 B^

A

N

x N

x B

,^ x

N

Questa riformulazione viene detta

riformulazione del

problema di PL rispetto alla base

B

NB:

tale riformulazione è del tutto equivalente al problema

originario di PL.

Il metodo del simplesso – p. 19/

Nell’esempio

Riformulazione rispetto alla base

B

x^1

, x

max

x^2

x^4

x^5

x^1

x^2

x^4

x^5

x^3

x^4

x

5

x^1

, x

, x 3

, x 2

, x 4

5