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IL METODO DEL SIMPLESSO
Il metodo del simplesso si utilizza nella soluzione dei problemi di Programmazione Lineare, in
particolare per quelli che abbiano più di due variabili e che non possano essere ricondotti a problemi
di Programmazione Lineare in due variabili, perché se le variabili sono due o sono riconducibili a
due, si preferisce sempre il metodo grafico o quello algebrico.
Problemi di massimo :
si schematizza il problema riconoscendo qual è la funzione da massimizzare e scrivendo le
equazioni e le disequazioni che rappresentano i vincoli
se il sistema dei vincoli è espresso nella forma
x 0 x 0 x 0
a x a x b
a x a x b
a x a x b
1 2 k
k 1 1 kn n k
21 1 2 n n 2
11 1 1 n n 1
si procede così:
- si inseriscono le cosiddette variabili di scarto ( s 1 , s 2 ed s 3 ) in modo da far diventare il
sistema un sistema di equazioni:
x 0 x 0 x 0
x 20
4 x 2 x 3 x 120
x x x 40
vincoli
funzionedamassimizzare z 300 x 200 x 350 x
1 2 3
3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
diventa
x 0 x 0 x 0 s 0 s 0 s 0
x s 20
4 x 2 x 3 x s 120
x x x s 40
vincoli
funzionedamassimizzare z 300 x 200 x 350 x 0 s 0 s 0 s
1 2 3 1 2 3
3 3
1 2 3 2
1 2 3 1
1 2 3 1 2 3
- si costruisce una tabella :
coefficienti z base X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 soluzioni rapporti
0 S 1 1 1 1 1 0 0 40 40/1= 0 S 2 4 2 3 0 1 0 120 120/3=
0 S 3 0 0 1 0 0 1 20 20/1= 20
coef. z 300 200 350 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 ∆∆∆∆=z-coef. z -300^ -200^ -350^0 0
nella quale evidenziamo di rosso le colonne che rappresentano (con la matrice identità) la
prima soluzione ammissibile (o di base) e che corrispondono alla soluzione del sistema
scritto nella forma
3 3
2 1 2 3
1 1 2 3
s 20 x
s 120 4 x 2 x 3 x
s 40 x x x
z 0
s 1 40 s 2 120 s 3 20 x 1 x 2 x 3 0
La riga z si calcola facendo: [ 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 0 ] [ 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0 ] [ 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 ]
ecc.
- si attiva una delle variabili non di scarto per migliorare la soluzione, cioè si fa entrare
una nuova colonna della matrice identità al posto di un’altra; si sceglie di attivare la
variabile x 3 perché nella riga ∆∆∆∆=z-coef. Z è quella che ha il valore più basso (-350) e, nel
disattivare una delle variabili attive, occorre fare attenzione che non diventi negativa
nessuna delle soluzioni: per questo e si disattiva la variabile s 3 che ha il rapporto più basso
e garantisce in tal modo la non negatività delle soluzioni.
Si procede così:
- si individua come posizione “pivot” la posizione a 33 dove c’è già 1
- si sottrae alla seconda riga la terza riga moltiplicata per 3 e alla prima riga la
terza riga in modo da ottenere 0 in tutta la colonna del “pivot”
coefficienti z base X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 soluzioni
0 S 1 1-0 1-0 1-1 1-0 0-0 0-1 40- 0 S 2 4-0⋅ 3 2-0⋅ 3 3-1⋅ 3 0- 0 ⋅ 3 1- 0 ⋅ 3 0- 1 ⋅ 3 120-20⋅ 3 0 S 3 0 0 1 0 0 1 20 coef. z 300 200 350 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 ∆∆∆∆=z-coef. z -300 -200 -350 0 0 0
coefficienti z base X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 soluzioni rapporti
0 S 1 1 1 0 1 0 -1 20 20/1=
0 S 2 4 2 0 0 1 -3 60 60/4= 15
350 X 3 0 0 1 0 0 1 20 (20/0=∞!)
coef. z 300 200 350 0 0 0 z 0 0 350 0 0 350 7000 ∆∆∆∆=z-coef. z -300 -200 0 0 0 350
la soluzione si può ancora migliorare, perché ci si ferma soltanto quando nella riga “ ∆∆∆∆=z-
coef. z” ci sono solo valori positivi o nulli. Attiviamo, quindi la variabile x 1 (che ha il
valore più basso -300) e disattiviamo la variabile s 2 che presenta il rapporto più basso:
- si evidenzia la posizione a 21 del “pivot” e si divide tutta la seconda riga per 4 in
modo da ottenere 1 nella posizione “pivot”
- si sottrae alla prima riga la seconda riga (si può lasciare invariata la riga 3 che ha
già lo 0 al posto a 31 ) in modo da ottenere 0 in tutta la colonna del “pivot”
coefficienti z base X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 soluzioni
0 S 1 1-1 1-0,5 0-0 1-0 0-0,25 -1+0,75 20- 0 S 2 4/4=1 2/4=0,5 0/4=0 0/4=0 ¼=0,25 (^) -3/4=-0,75 60/4= 15 350 X 3 0 0 1 0 0 1 20 coef. z 300 200 350 0 0 0 z 0 0 350 0 0 350 7000 ∆∆∆∆=z-coef. z -300 -200 0 0 0 350
coefficienti z base X 1 X 2 X 3 S 1 S 2 S 3 soluzioni rapporti
0 S 1 0 0,5^0 1 -0,25 -0,25 5 5/0,5= 10
300 X 1 1 0,5 0 0 0,25 -0,75 15 15/0,5=
350 X 3 0 0 1 0 0 1 20 (20/0=∞!)
coef. z 300 200 350 0 0 0 z 300 150 350 0 75 125 11500 ∆∆∆∆=z-coef. z 0 -50 0 0 75 125
la soluzione si può ancora migliorare: attiviamo la variabile x 2 (che ha ancora il valore
negativo) e disattiviamo la variabile s 1 che presenta il rapporto più basso:
- si evidenzia la posizione a 12 del “pivot” e si divide tutta la seconda riga per 0,5 in
modo da ottenere 1 nella posizione “pivot”
- si sottrae alla seconda riga la prima riga ( si può lasciare invariata la riga 3 che
ha già lo 0 al posto a 32 ) in modo da ottenere 0 in tutta la colonna del “pivot”
coefficienti z base X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 soluzioni rapporti 0 S 1 0 0 1 0,666 -1,333 6 2 x 1 1 0 0 0,444 0,444 10 1 x 2 0 1 0 -0,111 0,888 8 coef. z 2 1 0 0 0 - z 2 1 0 0,777 1,777 28 ∆∆ ∆∆=z-coef. z 0 0 0 0,777 1,777 33
il massimo della funzione z è z ( 10 ; 8 )= 33
N.B. Da ora in poi metteremo sempre anche lo zero nella cella destinata all’eventuale termine noto
Se il sistema dei vincoli ha disequazioni con il ≥ a volte si può moltiplicare a destra e
sinistra del segno ≥ per -1 e la disequazione diventa come le altre con il ≤; a volte questo
non si può fare perché nella colonna delle soluzioni verrebbe un valore negativo. In
questo caso per far diventare la disequazione col ≥ una equazione, non si aggiunge una
variabile di scarto positiva, bensì si toglie! Rimane, allora, da costruire la colonna
mancante della matrice identità:
z = 200 x 1 + 150 x 2 soggetta ai vincoli
1 2
1 2
1 2
1 2
x i
x x
x x
x x
x x
coefficienti z base X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 soluzioni rapporti
0 S 1 3 2 1 0 0 0 180 0 S 2 1 2 0 1 0 0 100 0 S 3 1 -2 0 0 1 0 20 1 1 0 0 0 -1 10
coef. z 200 150 0 0 0 0 0 z ∆∆∆∆=z-coef. z
per costruire la colonna mancante della matrice identità (quella con 1 nella quarta riga) scegliamo la
colonna di x 1 (ma sarebbe indifferente scegliere la colonna x 2 che ha lo stesso rapporto)
coefficienti z base X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 soluzioni rapporti 0 S 1 0 -1 1 0 0 3 150 50 0 S 2 0 1 0 1 0 1 90 90 0 S 3 0 -3 0 0 1 1 10 10 200 X 1 1 1 0 0 0 -1 10 - coef. z 200 150 0 0 0 0 0 z 200 200 0 0 0 -200 2000 ∆∆∆∆=z-coef. z 0 50 0 0 0 -200 2000
la prima soluzione ammissibile è allora ( 10 ; 0 )dove z = 2000 ; è una soluzione migliorabile;
scegliamo la colonna con il il ∆<0 inferiore agli altri… e continuiamo come sempre:
coefficienti z base X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 soluzioni rapporti
0 S 1 0 8 1 0 -3 0 120 15 0 S 2 0 4 0 1 -1 0 80 20 0 S 4 0 -3 0 0 1 1 10 -3, 200 X 1 1 -2 0 0 1 0 20 - coef. z 200 150 0 0 0 0 0 z 200 -400 0 0 200 0 4000 ∆∆∆∆=z-coef. z 0 -550 0 0 200 0 4000
coefficienti z base X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 soluzioni rapporti
150 X 2 0 1 0,125 0 -0,375 0 15 - 0 S 2 0 0 -0,5 1 0,5 0 20 40 0 S 4 0 0 0,375 0 -0,125 1 55 - 200 X 1 1 0 0,25 0 0,25 0 50 200 coef. z 200 150 0 0 0 0 0 z 200 150 68,75 0 -6,25 0 12250 ∆∆∆∆=z-coef. z 0 0 68,75 0 -6,25 0 12250
coefficienti z base X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 soluzioni rapporti
150 X 2 0 1 -0,25 0,75 0 0 30 0 S 3 0 0 -1 2 1 0 40 0 S 4 0 0 0,25 0,25 0 1 60 200 X 1 1 0 0,5 -0,5 0 0 40 coef. z 200 150 0 0 0 0 0 z 200 150 62,5 12,5 0 0 12500 ∆∆∆∆=z-coef. z 0 0 62,5 12,5 0 0 12500
la soluzione ottimale si raggiunge in ( 40 ; 30 )dove la funzione raggiunge il suo massimo valore:
z = 12250
Se il sistema dei vincoli ha delle equazioni, si può diminuire il numero delle variabili
oppure procedere direttamente con il metodo del simplesso; se la funzione da
massimizzare è
z = 6 x 1 + 8 x 2 + 5 x 3 + 2 x 4 e i vincoli sono espressi dal sistema
x 0
x 2 x 6 x 15
2 x x x 6
2 x 2 x x 12
i
2 3 4
1 3 4
1 2 3
Si può porre x 4 = 2 x 1 + x 3 − 6 e riscrivere l’intero problema in tre variabili anziché in quattro:
z = 6 x 1 + 8 x 2 + 5 x 3 + 2 ( 2 x 1 + x 3 − 6 ) = 10 x 1 + 8 x 2 + 7 x 3 − 12 con i vincoli
( )
1 2 3
1 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3
2 3 1 3
1 2 3
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
x x x
Oppure si costruisce la tabella del simplesso nel solito modo:
coef z base x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2
sol. base rapporti 8 x 2 0 1 -1 0,5 0,5 0 3 - 6 x 1 1 0 0,5 -0,5 0 0 3 6 0 s 2 0 0 3 5,5 -0,5 1 12 4 coef z 6 8 5 2 0 0 0 z 6 8 -5 1 4 0 42 ∆∆^ ∆∆=z-coef. z^0 0 -10^ -1^4 0
Nella nuova tabella abbiamo ancora un ∆∆∆∆ negativo, quindi entra un altro pivot al posto di 3 con i
conti seguenti
coef z base x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2
sol. base rapporti 8 x 2 0+0 1+0 -1+1 0,5+(5,5)/3 0,5-0,5/3 0+1/3 3+4 - 6 x 1 1-0 0-0 0,5-10,5 -0,5-(5,5)/30,5 0+0,5/3*0,5 0 3 6 0 s 2 0/3 0/3 3/3 (5,5)/3 -0,5/3 1/3 12/3 4 coef z 6 8 5 2 0 0 0 z 6 8 -5 1 4 0 42 ∆∆ ∆∆=z-coef. z 0 0 -10 -1 4 0 42
e la tabella diventa
coef z base x 1 x 2 x 3 x 4 s 1 s 2
sol. base rapporti 8 x 2 0 1 0 2,333 0,333 0,333 7 6 x 1 1 0 0 -1,416 0,083 -0,166 1 5 x 3 0 0 1 1,833 -0,166 0,333 4 coef z 6 8 5 2 0 0 0 z 6 8 5 19,33 2,333 3,333 82 ∆∆ ∆∆=z-coef. z 0 0 0 17,33 2,333 3,333 82
La soluzione finale, pertanto, sarà: il massimo della funzione è rappresentato da z ( 1 ; 7 ; 4 )= 82
Problemi di minimo :
Si schematizza il problema riconoscendo qual è la funzione da minimizzare e scrivendo le equazioni
e le disequazioni che rappresentano i vincoli, quindi si procede così:
se la funzione da minimizzare è z = 8 x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 e il sistema di vincoli è
x 0 x 0 x 0
x x 10
x 3 x 6
x 2 x x 14
1 2 3
1 3
2 3
1 2 3
- posso risolvere il problema come ho fatto prima, facendo attenzione che, trattandosi di un
minimo, alla riga “∆∆∆∆=z-coef. z” devono rimanere tutti negativi e non tutti positivi come nei
problemi di massimo:
coef. z base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 soluzioni rapporti
coef. z 8 4 2 0 0
z
come si può vedere non c’è nessuna colonna della matrice identità, quindi dobbiamo costruirla del
tutto: cominciamo dal rapporto positivo minore che è certamente
6 ; costruisco come sempre la
prima colonna della matrice identità (divido tutta la seconda riga per 3, con la solita combinazione
lineare di righe faccio diventare 0 gli altri due termini della colonna identità…)
coef. z base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 soluzioni rapporti
coef. z 8 4 2 0 0
z
Adesso il rapporto positivo minore, sul quale puntare per la seconda colonna della matrice identità
(senza voler alterare la colonna già costruita) è 16 2 , 3 , quindi divido tutta la prima riga per 2 , 3 e
procedo come sempre per costruire la seconda colonna della matrice identità:
coef. z base x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 soluzioni
coef. z 8 4 2 0 0
z
Notiamo che la soluzione NON è accettabile, perché il valore della x 3 verrebbe negativo (-0,286);
la cosa però, per il momento non è rilevante in quanto non è ancora costruita del tutto la matrice
identità. Si continua, allora con il rapporto positivo minore sulla terza riga (per non alterare le
colonne della matrice identità già costruite) che è
10 , 286 : dividiamo tutta la terza riga per
1,143 e annulliamo la prima e la seconda riga della colonna x 1
coef. z base x 1 x 2 x 3 s 1 s 1 soluzioni rapporti
4 x 2 0 1 0 -0,375 -0,25 3 -
2 x 3 0 0 1 0,125 -0,25 1 -
8 x 1 1 0 0 -0,125 0,25 9 36
coef. z 8 4 2 0 0
z 8 4 2 -2,25 0,5 86
∆ 0 0 0 -2,25^ 0,5^86
la prima soluzione di base è, quindi, (9;3;1) dove z=86. Questa è accettabile perché tutte le variabili
hanno valore positivo, ma può essere migliorata, perché c’è ancora un numero positivo nella riga
dei ∆: come abbiamo sempre fatto scegliamo il rapporto positivo minore (ce n’è uno solo positivo)
ed evidenziamo la posizione del pivot: costruiremo la colonna (0 0 1) della matrice identità,
facendo “uscire” la variabile x 1 :
S
S
