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CAPITOLO PRIMO:
L’INTEGRALE INDEFINITO.
PRIMITIVA E INTEGRALE INDEFINITO.
Concetto di funzione primitiva.
Una funzione F si dice funzione primitiva di una funzione f in un intervallo I se è derivabile in I e per ogni 𝑥 ∈ 𝐼 la sua derivata in x è uguale a f (x) , cioè se : 𝐹'(𝑥) = 𝑓(𝑥) con∀𝑥 ∈ 𝐼 Caratterizzazione delle primitive su un intervallo. Se F è una funzione primitiva della funzione f in un intervallo I , allora l’insieme di tutte e sole le primitive di f in l è costituito dalle funzioni : 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝑐 (AL VARIARE DI C NELL’INSIEME DEI NUMERI REALI Geometricamente: il presente teorema implica che partendo da una primitiva della funzione considerata e tracciando traslazioni verticali si può determinare l’insieme di tutte le primitive. Osservazioni importanti. ● non tutte le funzioni ammettono primitive; ● la primitiva di una funzione non è unica; ● la continuità è una condizione su ciente per l’esistenza delle primitive.
Nozione di integrale inde nito.
L’insieme di tutte le primitive di una funzione f si dice integrale indefinito della funzione f e si indica con il simbolo : che si legge “integrale indefinito di f(x) in dx ”.
Osservazioni importanti ● L’operazione con cui si associa a una funzione tutte le sue primitive è chiamata integrazione; ● Il risultato dell’operazione di integrazione è chiamato integrale inde nito; ● l’operazione di integrazione è l’inversa dell’operazione di derivazione.
CALCOLO DI INTEGRALI
I metodi di integrazione. Il calcolo di integrale inde niti avviene per mezzo di procedimenti matematici che sono chiamati metodi di integrazione. I principali metodi di integrazione sono : ● integrazione immediata; ● integrazione per scomposizione; ● integrazione di funzioni composte (quasi immediata).
Integrazione immediata.
I complementi in materia di integrazione si basano sui cosiddetti integrali immediati. Documento : integrali inde niti.
PRIMITIVE DI FUNZIONI ELEMENTARI
Linearità di integrali inde niti.
L’integrale inde nito è lineare in quanto l’integrale della somma di due funzioni è la somma degli integrali delle due funzioni, e l’integrale del prodotto di una funzione per una costante è il prodotto della costante per l’integrale della funzione.
Integrazione di funzioni razionali frazionarie.
Si chiama funzione razionale frazionaria una funzione algebrica che si presenta nella forma : essendo A(x) e B(x) due polinomi.
INTEGRAZIONI DI FUNZIONI RAZIONALI
FRAZIONARIE
(costante al numeratore e un polinomio al denominatore). Tecnica di integrazione … Ci si riconduce alla forma : (come? moltiplicando e dividendo per ciò che è necessario per ottenere al numeratore la derivata di (x)). (costante al numeratore e un quadrato di binomio al denominatore) Tecnica di integrazione … Ci si riconduce alla forma : (come? moltiplicando e dividendo per ciò che è necessario per ottenere al numeratore la d(x) della scatola interna). (binomio al numeratore e un trinomio di secondo grado al denominatore) Tecnica di integrazione … 1° caso: Se risulta che : La tecnica di integrazione consiste nel trovare due numeri A e B tali che : (i valori di A e B si ottengono sostituendo le soluzioni x1 e x l'equazione risolvente) 2° caso:
Se risulta che : La tecnica di integrazione consiste nel trovare due numeri A e B tali che : (i valori di A e B si ottengono sostituendo le soluzioni x1 e x l'equazione risolvente) (la funzione integranda ha numeratore di grado maggiore o uguale a quello del denominatore) Tecnica di integrazione … Ci si riconduce a : essendo Q(x) e R(x) il quoziente e il resto della divisione di A(x) per B(x). ● scomporre la funzione integranda nella somma di un polinomio e di una funzione razionale frazionaria avente il numeratore di grado minore del denominatore. → scomposizione avviene dividendo il numeratore per il denominatore.
Integrazione per sostituzione.
Il teorema di integrazione per sostituzione implica che : ● sostituzione : ; ● di erenziale : ; Procedimento :
- scelta di sostituzione;
- calcolo di erenziale;
- ritorno alla variabile iniziale.
