Scarica Integrali impropri - schema e sintesi e più Esercizi in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!
INTEGRALI IMPROPRII
[ 1 ] INTEGRALI IMPROPRII FONDAMENTALI
a , b ∈ R , a b ; ∈ R
a
b 1 x − a ^
dx
CONVERGE se 1 DIVERGE se ≥ 1
a
b 1 b − x ^
dx
CONVERGE se 1 DIVERGE se ≥ 1
a
b 1 x − a ^
dx
b − a −^1
se 1
se ≥ 1
a
b 1 b − x ^
dx
a ∈ R ^ 0, ; ∈ R
a
x^
dx
CONVERGE se 1 DIVERGE se ≤ 1
−
− a (^) 1 | x | ^
dx
CONVERGE se 1 DIVERGE se ≤ 1
a
x^
dx
− 1 a −^1
se 1
se ≤ 1
b ∈ 1, , q ∈ R
1
b (^) 1 |log^ x | q^
dx
CONVERGE se q 1 DIVERGE se q ≥ 1
|log x | q^ x → 1
| x − 1| q
a ∈ 1, ; p , q ∈ R
a
xp log x q^
dx
CONVERGE se
p 1 , ∀ q p 1 , q 1
DIVERGE se
p 1 , q ≤ 1 p 1 , ∀ q
p 1 p 1 , 0
xp log x q^
x^1 /2
x /2log x q
∀ q
1
x^1 /2 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
p 1
a
x log x q^
dx 2
log a
zq^ dz
p 1 p 1 − , 0
1 xp log x q^
(^1) x x
log x q
∀ q
1
(^1) x
1 definitivamente per x → 2 sostituzione z log x ( dz (^1) x dx , z a log a , z
b ∈ 0, 1; p , q ∈ R
0
b (^) 1 xp |log x | q^
dx
CONVERGE se
p 1 , ∀ q p 1 , q 1
DIVERGE se
p 1 , q ≤ 1
p 1 , ∀ q
0
b (^) 1 xp |log x | q^
dx ∗
1/ b
z^2 − p |log z | q^
dz
∗ sostituzione z (^1) x dx − z^12 dz , z 0 , z b (^1) b
a ∈ R
a
(^) sin x
x dx^ CONVERGE;^ a
(^) |sin x | x dx^ DIVERGE
a ∈ R , ∈ R
a
(^) sin x x^
dx CONVERGE;
a
(^) cos x x^
dx CONVERGE
a
(^) sin x x^
dx CONVERGE sin^ x x^
x − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
a
(^) sin x x^
dx CONVERGE
∙ ∀ M a
a
M (^) sin x x^
dx p. p.
− cos^ x x^ a
M
a
M (^) cos x x ^1
dx
M →
lim a
M (^) sin x x^
dx 1
cos^ a a^
− a
(^) cos x x ^1
dx
a
(^) cos x x ^1
dx CONVERGE cos^ x x ^1
x ^1
a ∈ R
a
sin x^2 dx CONVERGE;
a
cos x^2 dx CONVERGE
a
cos x^2 dx CONVERGE
∙ ∀ M a a
M
cos x^2 dx a
M (^) 2 x cos x^2 2 x dx p. p.
sin x^2 2 x (^) a
M
12 a
M sin x^2 x^2
dx
M →
lim
a
M cos x^2 dx 1
sin a^2 2 a
a
sin x^2 x^2
dx
a
sin x^2 x^2
dx CONVERGE
sin x^2 x^2
dx ≤ 1 x^2
OSS. f x x sin x^3 non ammette limite per x → ed e’ illimitata su 1, , ma
1
x sin x^3 dx CONVERGE
∙ ∀ M a
a
M
x sin x^3 dx
a
M (^) 3 x^2 sin x^3 3 x
dx p. p.
cos x^3 3 x (^) a
M
a
M (^) cos x^3 3 x^2
dx
M →
lim
a
M x sin x^3 dx 1
cos a^3 3 a
a
cos x^3 x^2
dx
a
cos x^3 x^2
dx CONVERGE
cos x^3 x^2
x^2
[ 2 ] Alcune considerazioni sugli INTEGRALI IMPROPRII
2. 1 ] INTEGRALI IMPROPRII di I specie
- f , g continue in a , b g t 0 g t 0 definitivamente per t → a
f t o g t per t → a
a
b g t dt CONVERGE
a
b f t dt CONVERGE
[ discende dal teorema del confronto ]
Criterio analogo per funzioni continue su a , b .
Sia f continua su a , b . Osservazioni su t → a
lim f t e
a
b f t dt :
t → a
lim f t
L ∈ R
a
b f t dt CONVERGE
∓ NON SI PUO’ CONCLUDERE NULLA su
a
b f t dt ( 1 )
f limitata in a , b
a
b f t dt CONVERGE
f illimitata in a , b , NON si puo’ concludere nulla su
a
b f t dt ( 2 )
a
b 1
x − a dx^ converge;^ a
b 1 x − a dx^ diverge.
a
b (^) 1 x − a
sin x^1 − a dx converge;
a
b (^) 1 x − a |sin^
1 x − a | dx^ diverge;
a
b (^) 1 x − a ^2 sin^
1 x − a dx^ e’ irregolare.
1
sin^2 x x dx^ diverge.
OSS. f t 0 ∀ t ∈ a ,
a
f t dt o CONVERGE o DIVERGE a
f t 0 ∀ t ∈ a ,
a
f t dt o CONVERGE o DIVERGE a −
2 ∗ ∗ Sia f continua su −, a . Analoghe osservazioni su t →−
lim f t
−
a f t dt.
[ 3 ] INTEGRALE DEFINITO e INTEGRALE IMPROPRIO
Per gli integrali improprii valgono le proprieta’ di omogneita’, additivita’ e monotonia e le formule di integrazione per parti e per sostutuzione degli integrali definiti, con le dovute attenzioni.
Es. 1.
−
3 xe^2 xdx .
p. p.
x 2 e^2 x −
3
−
3 e^2 xdx 1
32 e^6 − 14 e^2 x −^3 2
3 2 e
4 e
4 e
6
1 2 x e^2 x −^3 32 e^6 − x →−
lim x 2 e^2 x^ 32 e^6 − 0;
2 e^2 x −^3 e^6 − x →−
lim e^2 x^ e^6
Es. 2
e^2
x log^3 x
dx 1
2
t^3
dt − 1 2 t^2
2
1 t log x , dt (^1) x dx , t e^2 2, t
2 − 1 2 t^2
2 ^ lim t → − 1 2 t^2
ATTENZIONE
Non tutte le proprieta’ dell’integrale DEFINITO vengono mantenute per l’integrale IMPROPRIO. In particolare:
i )
INTEGRALE IMPROPRIO
f e g ammettono integrale improprio su un intervallo I fg ammette integrale improprio su I
Es 1. f x g x 1 x
, x ∈ 0, 1
0
1 1 x
dx 2,
0
1 1 x
x
dx
0
1 1 x dx^ .
Es.2 f x g x sin^ x x
, x ∈ 1,
1
sin x x
dx ∈ R ,
1
sin x x
sin x x
dx
1
sin^2 x x dx^ ∗
∙ ∀ M 1
1
M (^) sin^2 x
x dx^ ^ 1
M (^) 1 − cos 2 x 2 x
dx
1
M 1
2 x
dx −
1
M (^) cos 2 x 2 x dx
M →
lim
1
M 1
2 x
dx (^12) M →
lim log M ; M →
lim
1
M (^) cos 2 x 2 x
dx ∈ R
M →
lim
1
M (^) sin^2 x x dx^ M →
lim
1
M 1
2 x
dx −
1
M (^) cos 2 x 2 x
dx
INTEGRALE DEFINITO
f , g ∈ R a , b fg ∈ R a , b
ii )
INTEGRALE IMPROPRIO
f ammette integrale improprio su un intervallo I (^) | f | ammette integrale improprio su I
Es.
(^) sin x
x dx^ ∈^ R ,^
(^) |sin x | x dx^ .
INTEGRALE DEFINITO
f ∈ R a , b f ∈ R a , b
iii )
INTEGRALE IMPROPRIO
| f | ammette integrale improprio su un intervallo I f ammette integrale improprio su I
INTEGRALE DEFINITO
| f | ∈^ R a ,^ b ^ f^ ∈^ R a ,^ b ^ ∗
(*) Es. f x
− 1 se x ∈ Q 1 se x ∈ R \ Q
| f x | 1 ∀ x ∈ R | f | ∈ R a , b ∀ a , b ∈ R ;
f ∉ R a , b , poiche’
a
b
f x dx − 1 b − a e
a
b f x dx b − a.
