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TNTEGRALI INDEFINITI Ritofdo: 8a siquivota di uno fumzione data, se I, e vito, Imogite D(c+-f 00 +ca-fta)= Ca-fiba+ ca: ft), suve fa deuimato, cu Uma, Combimatione eimeare, di funzioni è Ca combimazione Gintoue, deste deivate, desde fumzioni. ( berivata = operatore lineare). Tratteremo ora il problema inverso della derivazione: data y=f(x), determinare una funzione che ammette f(x) come derivata e che per tale motivo viene detta funzione primitiva. se abbiluo fod= x 5, gix)= x3-1 0 im gtnurol@ X34k_, KEIR tutle nonno per derivato 3x*+ possono NSIStFALE, PiUÈ funzioni pumitivt oli uno. funzione data. Problema: ricercare tutte le funzioni Ja cui derivata sia uguale a una funzione assegnata f(x). pes Oss: se Fim È uno, puma di fix, Fii=f),. cura A[Fun+c]=Fa= fu). Dunque, se F(x) è una primitiva di f(x), F(x)+ C è la primitiva più generale e rappresenta TUTTE e SOLE le funzioni la cui derivata è uguale a f(x). Questa primitiva generale prende il nome di integrale indefinito di f(x): fica dhx| > contiene in sel la, costonnte arbitraria, Los fix] Si cUCE FUNtIONE INTEGRANDA., per def: fica dea = Fua+04=> Fhy=fo0. 7ale definizione evidenzia che: 1. l'integrale indefinito di f(x) è la\totalità delle primitive di f(x). 2 l'integrale indefinito può essere considerato l'operatore inverso della derivata, perché associa alla funzione integranda l'insieme di tutte e sole le funzioni primitive della funzione stessa. 088: l'operatore derivata è univoco, ma non lo è l'operatore integrale indefinito. Sorvarendo Sfonok 1 x india ie dufferenziale demo, variabite iispello amo, quale A ePRElUA L'integrazione. Dalla 2. : a) Dx [fico ss] fon ‘Sappiamo che Ja derivata di una funzione continua può non esistere in qualche punto. Invece, si potebbe dimostrare che di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato esistono sempre le funzioni primitive: b) 4 ffondu = fonda se Fone continuo, 3 {fica dx ma questo non equivale ad affermare di essere sempre in grado di determinare l'espressione analitica delle d fa fun= fun+C primitive di f(x) avvalendosi delle conoscenze fin qui acquisite. Gli integrali indefiniti godono di alcune Importanti proprietà: . una costante moltiplicativa si può trasportare dentro o fuori del segno { Je fon ala = ffowdix ke . l'integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni Jrco+bon]dx= Se vadr+ (forax . l'integrale indefinito è un operatore lineare, cioè l'integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazion lineare degli integrali delle funzioni (PRMESLA TURI = Ki fica dx + Ka |f 04 ar fr fa a fav]dx a E x dx (af 2 - prerneone € possibile scrivere, fon= KifL1+K26 00t...t nf 00) > ffondx= a i fundx 1% fionda. +cn fo dx, SCOMPONZIONE Untegrazioni immediate, » | {xfx sac con teiR-{1} mi Infoli: Def). cass) sano fax=x+o dti (dtd) » fi dx = Lal + X pi Ù Genemuzzazione : primitive du' us! [fon]: f'ual e 4= Eta 700) 5) p. fl L°] 2 teet fal f si dleoluce. che (Fux) (CS) + FIT del “|, "è uno priesitisa cl fo] fo) > J[po]isoo da Call® +6 ) Dx {ta|foo]}: 4 Son= fun =>|(Eug ax= Mmlfoal+o 1) es. ._3 (Calcolare (5 cosx Ax =! [Foa=sinx; a=2:f)= csi] = simix +0 es.) Caltolare foto dx fon= +1; d=4Flon=2x CI DI $ o Laax de 1 futentaxde= (x) +0) 2 2 10 es.Gl es.M Foo =sinx Codeolare fa: dx 3 Fixisaxeze fonsxx Fram xo = fax dx (fon=- Sx xx | cosx = Imw|xx +0 = (ex dx = - Ivlcosx] +0 = Sx es.B ore fi dx dovremmo citondure: auto Forma _e* + tte _e* dx Tex dex UPex o 4% = fax - let dx xi Qu (eX+#4) +0 ed Prumutize clefte, funzioni gouondriche J cosfug: Fx) ax= Un foa +e frinfoo. ton dx =- ST) +0 LAC3] fu f Fi SI, - (I (2.3) =-00t (o) at EE CIRO | sia cotton + Tm fisivo : fun= wx+@ fustiategrat = 1 sintuotegi Este l w bist?. . . a = ( tecoszx z {sia lwt+g)olt 1 -cosmwt+e) fo x ax ire dx 31f + AUoS2x dx= 1. {dx #4 focosa e = dx + fina) +0 2 4 f 1 dx= 3 -/Amixii] -Anlx-zl4 x-2 923) => (2x-3 dx- 3_\dx - e=L xx a xt 2° ws = atibrac= ax pe® Il 4 dx = 2 fueax a|l- 2 le ate a Ga Per pur = A_+_B_ © n Q(X-X) li xx] Alex) es.Ma A=>4L X4S dx a Î X+5 _ dx A + Bd = fix -Al3+B_ - x45 Stbie S(k-4a)? 9x3) | 30X143) EZZIZE 8*3)* | 8= 16,3 - [1 dx + 16 (1 dea 4 mia ded Ced Im ALL SES *+3 last 3 [gie # Tal 3 VEBITAs i s2c00so AO Fat IR e orticaria] numer 2 > 2 a nofibrecali di). a (x+4)- (Eetao) o (a) A a 9% la La 24 Lo 20 Lo® Aiiora l'inteprole@) si pud ritoncluste ou st si cerca. di scomporre fa. funzione integrande nella somma dii due razioni aLgtbriuhe in modo dhe pes l'inteprale (0) nella. prima Compaio la, derivato del Den (20x +b), mentre nella seconda, i num, sia una costante. r 10: 2% pxt9a = e(**3) = ta ( ii 2) -a [e £ | 20x46 Flac Arttbrtt | AXTbxto AAT 20 ONT 20 LAxbxtt — Axtbxto, es.Ma) 3x45 dr=|3 ([8xst 3.f 2-1 dx 3 Amex) + Li (1 dea fesa "= Jaca | ù v= 7 "i 8 Saia Im (4x®+12x41) +4. (_t_ x 23 Amata ita dx ) r AECEEEEUENTI | ) ® Jara) VErIEUATI oa = 3. & N FA sat) + Borta[ 23 \ a fer i così partiestori guoxdo» Lika pogg. 315-317. nero passare ciaua, nasiabite x 0 È, purche tale Suntione Integra zione peu sosutuitome sio derivabile e invertibile Se poniamo x=glti ; dx= g'lt)dt - [fax = ffrgengui dt. dA Srl I=| fax dx chiamo 3x+12=t ; x= t-2); dx=1dt + Je ddt =l2.t°40 = a 3 3 33 = 2.462 + es[t] chiamo SEL bj x=4nlt*44); dx atodi > 2 (1 dl t*+, tu T= det dx (9) 2 {zu di sa fi U dt = 2 [tf L dt]jaa:[t-& porci e |10= Ea Tai vat = 2t-4arctant, +C€ = atek 4 rarcton( (eri ) + = di J im. T== = Usi | Poni "at o ;dx= ad at Dim. che, a c A+ niamo x=0t A 0> 4 Jesi = orcsint + = Oscsin A +0. vol Dim. ne lane dx = dal oscsima + dx dotx® +0 com a>0 (°°) x= 0-Simt | dat(i-sinft) = a cost DI |x 21] dlx= Qt dt fato dt = ai (1- crt dt - r = datt +10*simQ2t)+c= Vatnt z 2 a = (t+simtst)ic a È (antinz + x [re )ac = z 2 (e o a 2 gl arcsina +X fox 4 vd 2 2 es.h5] 4 z asti 2 2 1 dy i id o di = 2: (Ct) die 2 40 fa fi at ii CAFE At A+tanx bi formule poramericha (tom t-tanx, ) sinx= 2% xe d'atctonut >| dx= _2__ dt CREA ZECE) osx At? CE Imreguazione per porti Corsideriamo y= fix).glx) | cufferenziamo ie prodotto du = d f10-gla+ 41) dg + 4or-dg00= dy-.960-df) Inmtepuiamo entrambi mempri. ff0ndg00=4- quo a go > 2 | foga dx = {00-g00 -f900-fonox deine a pae L'Integrale del prodotto di un fattore finito f(x) per un fattore differenziale dg(x)=g'(x)dx è uguale al prodotto del fattore finito per l'integrale g(x) del fattore differenziale, diminuito dell'integrale del prodotto dell'integrale trovato gx) per il differenziale f()dx del fattore finito. es. |] fresco = - X 008X + frosx dx = -X- CON +Sinx +0 X=f00 2 g'i=sinx > go=-cox esta] A aL A Tea 2 frosanx dx = k'astant-1 X_ dx = XK} actanx-4x + L'accranx +C = xh artant- x +0 CI zar 2 2 a 2 2 sasctanx. g'ia=xg0)= fuasos goasxagon= zi 
