Scarica intera seconda prova di matematica svolta e più Prove svolte di Maturità in PDF di Matematica solo su Docsity!
«La ragione non è nulla senza l’immaginazione» – Cartesio
Siano r > 0 , k < 0. Si considerino la circonferenza C r , di centro l’origine e raggio r, e la
funzione f k (x) = k|x|.
a) Continuità, non–derivabilità e settore circolare
- Continuità e cuspide in x = 0.
Per qualunque k la funzione f k è continua, perché
lim x → 0 −^
k|x| = 0 = lim x → 0 +^
k|x| = f k (0).
Le derivate laterali
f
′ k (
− ) = k, f
′ k (
) = −k
sono diverse ( k ̸= 0), perciò f k non è derivabile in x = 0.
- Determinazione dei due valori di r.
Un settore di raggio r ed ampiezza θ ha
area =
r
2 θ = π, contorno = 2r + rθ = 4 + π.
Eliminando θ:
θ =
2 π
r^2
=⇒ 2 r +
2 π
r
= 4 + π =⇒ 2 r^2 − (4 + π)r + 2π = 0.
Le due radici positive sono
r 1 =
4 + π −
√ (4 + π)^2 − 16 π
4
= π 2 , r 2 =
4 + π +
√ (4 + π)^2 − 16 π
4
- Scelto r = 2 (il maggiore dei precedenti), in Figura 1 è disegnata la circonferenza C 2
insieme al grafico di f− 1 (x) = −|x|.
b) Studio di g ( x ) =
4 − x^2
g : [− 2 , 2] −→ [0, 2], g(x) =
√ 4 − x^2.
Aspetto Risultato Motivazione
Dominio [− 2 , 2] radicando ≥ 0.
Simmetria g(−x) = g(x) (funzione pari) dipende solo da x^2.
Derivabilità g′(x) =
−x √ 4 − x^2
su (− 2 , 2) diverge agli estremi ± 2.
Monotonia Crescente in [− 2 , 0], decrescente in [0, 2] segno di g′.
Immagine [0, 2] g(0) = 2 massimo, g(±2) = 0 minimo.
Il grafico coincide col semicerchio superiore di C 2 (Figura 2).
grafico1.png
Figure 1: Circonferenza C 2 e grafico di f− 1 (x) = −|x|.
Invertibilità
g non è biunivoca su tutto [− 2 , 2]; l’intervallo di massima ampiezza con b > 0 in cui è monotòna
è
[a, b] = [0, 2].
Su tale intervallo l’inversa h è
h(y) =
√ 4 − y^2 , y ∈ [0, 2].
c) Quadrilatero AM OR di area (e perimetro) massima
Poni A(x, g(x)) con x ∈ (0, 2), quindi y = g(x) =
4 − x^2. Le coordinate dei vertici sono
A(x, y), M (x, 0), O(0, 0), R(0, y).
Area
A(x) = x y = x
√ 4 − x^2 , A
′ (x) =
√ 4 − x^2 −
x^2 √ 4 − x^2
Il punto stazionario:
A′(x) = 0 =⇒ 4 − 2 x^2 = 0 =⇒ x =
e A′′(
- < 0 dà un massimo:
A
) , Amax = 2.
grafico3.png
Figure 3: Quadrilatero AM OR massimo: quadrato di lato
Monotonia e concavità
F
′ (x) =
√ 4 − x^2 = g(x) ≥ 0 =⇒ F strettamente crescente,
F
′′ (x) =
−x √ 4 − x^2
{
0 (x < 0) convessa,
< 0 (x > 0) concava.
Unico punto di flesso : P
( 0 , π
) .
Tangente nel flesso
m = F
′ (0) = 2, y − π = 2(x − 0) =⇒ y = 2x + π.
Il grafico completo è in Figura 4.
Riepilogo numerico
- Valori di r per il settore: r =
π
2
≈ 1 , 57 e r = 2.
- Inversa di g sull’intervallo [0, 2]: h(y) =
√ 4 − y^2.
- Punto che massimizza area e perimetro di AM OR: x = y =
2 , con area = 2 e perimetro
= 4
- F (2) = 2π; retta tangente in (0, π): y = 2x + π.
grafico4.png
Figure 4: Grafico di F (x) con tangente nel punto di flesso (0, π).
Poiché x^2 + y^2 = AC^2 = b^2 , segue
b^2 = c^2 =⇒ b = c.
In altre parole: AB = AC.
Pertanto il triangolo ABC è isoscele con vertice in A. □
Esercizio 2
Si considerino la superficie sferica di equazione
(x − 1)^2 + (y − 2)^2 + z^2 = 1
e il piano
π : x − 2 y − 2 z + d = 0, d ∈ R.
1. Dati della sfera
Centro C(1, 2 , 0), raggio R = 1.
2. Distanza del centro dal piano
Per un piano ax + by + cz + d = 0 la distanza di un punto P (x 0 , y 0 , z 0 ) `e
dist(P, π) =
|ax 0 + by 0 + cz 0 + d| √ a^2 + b^2 + c^2
.
Nel nostro caso a = 1, b = − 2 , c = −2, da cui p a^2 + b^2 + c^2 =
√ 1 + 4 + 4 = 3.
Sostituendo le coordinate di C:
dist(C, π) =
| 1 − 2 · 2 − 2 · 0 + d |
3
=
| d − 3 |
3
.
3. Discussione di posizione
Confrontiamo la distanza con il raggio R = 1:
| d − 3 |
3
< 1 =⇒ piano secante,
= 1 =⇒ piano tangente,
1 =⇒ piano esterno.
Caso geometrico Condizione su d Secante 0 < d < 6 Tangente d = 0 oppure d = 6 Esterno d < 0 oppure d > 6
4. Piano che divide la sfera in due parti uguali
Ci`o avviene se e solo se il piano passa per il centro della sfera:
1 − 2 · 2 − 2 · 0 + d = 0 =⇒ d = 3.
5. Risultati conclusivi
- Il piano `e secante per 0 < d < 6.
- Il piano `e tangente per d = 0 oppure d = 6.
- Il piano `e esterno per d < 0 oppure d > 6.
- Il piano che divide la sfera in due emisfere `e
x − 2 y − 2 z + 3 = 0 (d = 3).
grafico_f.png
Figura 1: Grafico della funzione f su [− 1 , 2]. La linea tratteggiata verticale indica il punto di
cambio formula (x = 0).
5. Grafico
6. Sintesi finale
- Continuità: f è continua su [− 1 , 2].
- Derivabilità: f è derivabile in (− 1 , 0) ∪ (0, 2] ma non in x = 0.
- Grafico:
- Parabola decrescente da (− 1 , 4) a (0, 0).
- Curva tan traslata crescente da (0, 0) a (2, 3 ,66).
Soluzione del quesito
Passo 1 – Comprendere la traccia
E assegnata la curva^ `
y = g(x) sin^2 x,
dove g `e derivabile in R e
g
π 4
= 2, g′
π 4
Occorre determinare l’equazione della retta normale alla curva nel punto di ascissa
x 0 =
Passo 2 – Derivata della curva y = g(x) sin
2
x
Applicando la regola del prodotto,
y
′
d
dx
g(x)
sin
2
x + g(x)
d
dx
sin
2
x
da cui otteniamo
y
′
= g
′
(x) sin
2
x + g(x) 2 sin x cos x.
Passo 3 – Pendenza della tangente nel punto x 0 = π/ 4
Calcoliamo i singoli fattori:
sin
π 4
, sin
2
π 4
, cos
π 4
g
π 4
= 2, g
′
π 4
Pertanto
mtan = y
′
π 4
= g
′
π 4
sin
2
π 4
+ g
π 4
2 sin
π 4
cos
π 4
2 2
2 2
Passo 4 – Pendenza della normale
Essendo la normale perpendicolare alla tangente,
mnorm = −
mtan
