1 Il grafico in figura, rappresentativo della funzione continua 𝑦 = 𝑓 (𝑥), è unione dell’arco di parabola Γ 1 , dell’arco di circonferenza Γ 2 e dell’arco di iperbole Γ 3.

y

2 O^1 x

Γ 1

Γ 2

Γ 3

1

a) Scrivere un’espressione analitica della funzione 𝑓 definita a tratti nell’intervallo [−2; 2], utilizzando le equazioni:

𝑦 = 𝑎(𝑥 + 2 )^2 , 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑏 = 0 , 𝑥^2 − 𝑦^2 + 𝑐 = 0 ,

e individuare i valori opportuni per i parametri reali 𝑎, 𝑏, 𝑐. Studiare la derivabilità della funzione 𝑓 e scrivere le equazioni delle eventuali rette tangenti nei punti di ascissa 𝑥 = − 2 , 𝑥 = 0 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 2.

b) A partire dal grafico della funzione 𝑓 , dedurre quello della sua derivata 𝑓 ′^ e individuare gli intervalli di concavità e convessità di 𝐹 (𝑥) =

− 2 𝑓^ (𝑡)𝑑𝑡.

c) Si consideri la funzione 𝑦 = 14 (𝑥 + 2 )^2 , definita nell’intervallo [−2; 0], di cui Γ 1 è il grafico rappresentativo. Spiegare perché essa è invertibile e scrivere l’espressione analitica della sua funzione inversa ℎ. Studiare la derivabilità di ℎ e tracciarne il grafico. d) Sia 𝑆 la regione limitata del secondo quadrante, compresa tra il grafico Γ 1 e gli assi cartesiani. Determinare il valore del parametro reale 𝑘 affinché la retta di equazione 𝑥 = 𝑘 divida 𝑆 in due regioni equivalenti.

2 Fissato un parametro reale 𝑎, con 𝑎 ≠ 0 , si consideri la funzione 𝑓𝑎 così definita:

𝑥^2 − 𝑎𝑥

𝑥^2 − 𝑎

il cui grafico sarà indicato con Ω𝑎.

SECONDA PROVA DI MATEMATICA 2023 Testo

a) Al variare del parametro 𝑎, determinare il dominio di 𝑓𝑎, studiarne le eventuali discontinuità e scrivere le equazioni di tutti i suoi asintoti. b) Mostrare che, per 𝑎 ≠ 1 , tutti i grafici Ω𝑎 intersecano il proprio asintototo orizzontale in uno stesso punto e condividono la stessa retta tangente nell’origine. c) Al variare di 𝑎 < 1 , individuare gli intervalli di monotonia della funzione 𝑓𝑎. Studiare la funzione 𝑓− 1 (𝑥) e tracciarne il grafico Ω− 1. d) Determinare l’area della regione limitata compresa tra il grafico Ω− 1 , la retta ad esso tangente nell’origine e la retta 𝑥 =

QUESITI

1 Sia 𝐴𝐵𝐶 un triangolo rettangolo in 𝐴. Sia 𝑂 il centro del quadrato 𝐵𝐶𝐷𝐸 costruito sull’ipote- nusa, dalla parte opposta al vertice 𝐴. Dimostrare che 𝑂 è equidistante dalle rette 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶.

2 Un dado truccato, con le facce numerate da 1 a 6, gode della proprietà di avere ciascuna faccia pari che si presenta con probabilità doppia rispetto a ciascuna faccia dispari. Calcolare le probabilità di ottenere, lanciando una volta il dado, rispettivamente:

un numero primo;
un numero almeno pari a 3;
un numero al più pari a 3.

3 Considerata la retta 𝑟 passante per i due punti 𝐴(1; −2; 0) e 𝐵(2; 3; − 1 ), determinare l’equazione cartesiana della superficie sferica di centro 𝐶 (1; −6; 7) e tangente a 𝑟.

4 Tra tutti i parallelepipedi a base quadrata di volume 𝑉, stabilire se quello di area totale minima ha anche diagonale di lunghezza minima.

5 Determinare l’equazione della retta tangente alla curva di equazione 𝑦 =

25 − 𝑥^2 nel suo punto di ascissa 3, utilizzando due metodi diversi.

6 Determinare i valori dei parametri reali 𝑎 e 𝑏 affinché:

lim 𝑥→ 0

sin 𝑥 − (𝑎𝑥^3 + 𝑏𝑥) 𝑥^3

7 Si consideri la funzione:

− 1 + arctan 𝑥 se 𝑥 < 0 𝑎𝑥 + 𝑏 se 𝑥 ≥ 0

Determinare per quali valori dei parametri reali 𝑎, 𝑏 la funzione è derivabile. Stabilire se esiste un intervallo di R in cui la funzione 𝑓 soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Motivare la risposta.

8 Data la funzione 𝑓𝑎 (𝑥) = 𝑥^5 − 5 𝑎𝑥 + 𝑎, definita nell’insieme dei numeri reali, stabilire per quali valori del parametro 𝑎 > 0 la funzione possiede tre zeri reali distinti.