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tesina in statistica e metodi quantitativi
Tipologia: Appunti
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L'InterRail è un pass ferroviario, a disposizione dei residenti europei, per viaggiare in treno in 30 paesi con un
unico biglietto, ad un costo fisso e, se utilizzato su treni a bassa velocità, senza ulteriori spese. Nato come
modo per incentivare gli spostamenti per i giovani universitari, oggi il sito InterRail propone soluzioni ad hoc
per tutti, dalle famiglie con bambini agli over 65.
In particolare, l' offerta InterRail , valida per chi risiede in Europa da almeno 6 mesi, prevede un biglietto unico
per usufruire liberamente, in 1° o in 2° classe, di tutte le tratte nazionali di Francia, Germania, Gran Bretagna,
Norvegia, Svezia, Austria, Belgio, Olanda, Lussemburgo, Finlandia, Grecia, Irlanda, Italia, Spagna, Svizzera,
Croazia, Danimarca, Grecia, Ungheria, Polonia, Portogallo, Romania, Bulgaria, Repubblica Ceca, Macedonia,
Serbia, Slovacchia, Slovenia, Turchia, Bosnia.
Esistono 2 tipi principali di pass InterRail:
▪ InterRail Global Pass : permette di viaggiare senza limiti con le Compagnie di trasporto ferroviario nei
limiti della validità temporale scelta al momento dell'acquisto.
▪ InterRail One Country Pass : consente viaggi illimitati sui mezzi del trasporto ferroviario nazionale
dello Stato prescelto.
Il biglietto preso come riferimento per questo progetto è “InterRail Global Pass”, il quale si è rivelato essere
il più richiesto, poiché si tratta di un biglietto cumulativo che lascia libertà massima al viaggiatore, sia in
termini geografici che di tempo. Il prezzo infatti cambia in funzione del tipo di pass scelto, alla durata del
viaggio e all’età del passeggero.
Di seguito alcuni esempi di opzione viaggio con i relativi prezzi in seconda classe (aggiornati a Marzo 2017):
per adulto (bambini gratis);
per adulto (bambini gratis);
per adulto (bambini gratis);
per adulto (bambini gratis);
per adulto (bambini gratis)
▪ Viaggio ogni giorno in un periodo di 30 giorni Giovani 493€, Adulti 632€, Senior 570€, Famiglia 632€
per adulto (bambini gratis)
Come è stato evidenziato, non ci sono limiti geografici all’interno dell’area europea. Esistono però tratte
scelte con molta più frequenza; InterRail, analizzando i dati riportati sui biglietti usati, ha quindi potuto
mappare gli spostamenti come segue:
Interpretando la mappa come un grafo, possiamo vedere che le città individuate sono 73 e i collegamenti
ferroviari che legano tali città sono 208. Nello studio della rete ferroviaria abbiamo utilizzato le città come
nodi e i collegamenti ferroviari come archi, pesati secondo i tempi di percorrenza. Inoltre, osservando il
grafo si può notare come siano presenti due componenti sconnesse, ovvero due regioni non collegate: la
Finlandia e l’Irlanda, che sono costituite, rispettivamente, da 3 nodi e 2 archi, e da 4 nodi e 3 archi.
il percorso più breve che collega una diade (costituita da una coppia di nodi ed i potenziali legami tra questi),
descrive come i nodi sono connessi all’interno della rete e rappresenta pertanto il sentiero più breve tra i due
nodi. Nel nostro caso abbiamo osservato 208 collegamenti diretti, corrispondenti al 3.9% dei percorsi, 409
percorsi che comprendono un intermediario, corrispondenti al 7.8% dei percorsi, 473 percorsi che
comprendono due intermediari corrispondenti al 9% dei percorsi e così via. I collegamenti maggiori si hanno
attraverso quattro intermediari: 603, ovvero l’11.6% dei percorsi totali. (Immagine 3)
Analisi a livello di sottogruppi
Procedendo con un’analisi di ripartizione della rete in sottogruppi, ossia individuando sottogruppi associati
che rappresentano interazione tra alcuni nodi, distinguiamo:
Possiamo vedere come la rete è composta da tre componenti: il primo comprende 66 nodi pari al 90.4% dei
nodi totali, il secondo 4 nodi (5.5%) e il terzo 3 nodi (4.1%).
disgregazione della rete in diverse componenti. I blocchi , o bi-componenti, sono invece subgrafi connessi da
un cutpoint.
Per quanto riguarda i blocchi, nella rete sono in totale 33; il blocco più grande è il numero 24 e comprende
36 città.
Per quanto riguarda i cutpoints, o nodi di taglio, sono identificati con il numero 1 e sono 19.
Analisi a livello dei singoli nodi: misure di centralità
Ci sono diverse misure di centralità che possono essere utili per analisi dei nodi più importanti della rete. La
scelta della misura di centralità si opera in base allo scopo dell’analisi e a seconda delle caratteristiche che si
vogliono evidenziare; essa può essere basata sul grado, sulla vicinanza, sul ruolo di mediatore, ecc.
In questo modo si identificano i nodi più importanti della rete, i quali possono essere:
centrality )
centrality )
Andiamo a vedere le sopra citate misure di centralità applicate alla nostra rete:
Come si può notare dall’analisi, il grado di centralità di grado più alto (9) appartiene al nodo N04, Madrid,
con percentuale del 12.5% di nodi collegati. A seguire, i nodi N41, Monaco, e N64, Belgrado, entrambi di
grado 7 e con il 9.7% dei nodi collegati.
Per tale misura abbiamo assegnato il valore 1 alle capitali e il valore 0 alle altre città. La maggior
autocentralità è quindi risultata appartiene al nodo N59 (0.285), Vienna.
Al termine della nostra analisi abbiamo voluto rappresentare attraverso Ucinet il nostro grafo:
Legenda:
Verde capitali
Viola altre città importanti
2 .3 La rete dell’Interrailer
Un viaggio in InterRail non è solo una vacanza ma è una vera e propria esperienza di vita: chi lo compie diventa
un Interrailer, che si fa riconoscere dagli altri avventurieri attraverso un braccialetto e con un Arbre Magique
appeso allo zaino. Seguendo la logica dei viaggiatori e le loro mete predilette, abbiamo evidenziato le prime
dieci città europee più visitate per creare un nuovo grafo da poter studiare applicando diversi algoritmi, e
per trovare il percorso migliore che toccasse tutte le dieci città, ritornando poi a casa (presupposta a Milano).
Il grafo evidenziato ha come nodi le dieci capitali e come archi i collegamenti tra di esse. Tali collegamenti
sono stati scelti in base ai tempi di percorrenza: ogni nodo si collega in modo diretto con gli altri solo se un
viaggio diretto ha una durata inferiore rispetto al tragitto che prevede un cambio in una delle altre città-nodi.
Il grafo risultante è il seguente:
Sviluppato come matrice, dove il valore 0 simboleggia assenza di collegamento e il valore 1 un
collegamento non orientato, si presenta così:
BE
MST: 1.25h + 1.50h + 2.15h + 4.30h + 4.35h + 6.05h + 6.10h + 9.45h + 14.00h = 50.35h
Osservazione: Il cammino avrebbe potuto presentarsi leggermente diverso se, nel scegliere il percorso di
durata 6.10h, avessimo prediletto il collegamento Bruxelles – Berlino anziché Amsterdam – Berlino.
Secondo il teorema, perché un grafo sia euleriano è necessario che tutti i nodi abbiano grado pari. Per essere
semieuleriano basta invece che tra tutti i nodi solo due siano di grado dispari. Studiando i nostri nodi si può
vedere come:
I nodi dispari sono 4, quindi per definizione il nostro grafo non è né euleriano né semieuleriano. Supponendo
di aggiungere dei collegamenti (ad esempio PA-BE, realmente possibile sebbene, in termini di tempo, meno
conveniente che i collegamenti selezionati in precedenza), il grafo può diventare semieuleriano. Applicando
quindi l’algoritmo di Fleury avremo:
Il percorso che passa su tutti gli archi parte da uno dei due nodi ancora di grado dispari, ovvero MI=7, e
termina nell’altro nodo dispari, VA=3. PA e BE infatti, aggiungendo un collegamento, sono diventati di grado
6 e 6.
Aggiungendo ancora un collegamento, tra MI e VA, possiamo rendere il grafo un grafo euleriano. La
dimostrazione è fatta partendo e ritornando in Vienna.
Studiando il grafo ci siamo chieste se potesse o meno essere un grafo hamiltoniano. Secondo il teorema, che
esprime le condizioni sufficienti, ma non necessarie, affinché un grafo G si riveli hamiltoniano
Con G=(V,E) grafo semplice e connesso di ordine n con n≥3, se
D(v) + d(w) ≥ n ꓯ v,w ∈ V
v e w non adiacenti, allora G è hamiltoniano.
Esiste anche un corollario secondo cui basterebbe che d(v)≥
𝑛
2
Ritornando al nostro studio, abbiamo provato ad applicare il teorema ai nodi di Bruxelles e Varsavia:
d(VA) + d(BR) ≥ 10
La relazione risulta falsa quindi il teorema non è dimostrato. Provando ad applicare il corollario a VA abbiamo
3 ≥ 5 , nuovamente non vero.
Sebbene quindi non sia dimostrato dal teorema che il grafo sia hamiltoniano, abbiamo provato a trovare una
soluzione grafica. Empiricamente si ha che:
Quindi il grafo è hamiltoniano nonostante non sia dimostrato dal teorema.
Come ultima analisi della rete, abbiamo cercato di capire quale fosse la città europea migliore da cui partire
per poter più facilmente visitare tutte le altre città e successivamente ritornare a Milano, presupposta come
città di residenza, nel minor tempo possibile.
Abbiamo quindi applicato l’algoritmo di Dijkstra a tutte le 9 città dal nostro elenco, con l’accortezza iniziale
di orientare il grafo; gli orientamenti sono stati inseriti partendo dal nodo origine ed espandendosi verso
l’esterno, con nodo di fine sempre Milano.
BE
BE
50.50h
BE
52.30h
