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Facoltà di Economia - Management per l’impresa
Metodi quantitativi per il management
Andriuzzi Alessandro 4604632
Bellotti Eleonora 4601540
Bianchi Martina 4607848
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tesina in statistica easyjest, Appunti di Statistica
tesina in statistica e metodi quantitativi
Tipologia: Appunti
2018/2019
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Facoltà di Economia - Management per l’impresa
Metodi quantitativi per il management
Andriuzzi Alessandro 4604632
Bellotti Eleonora 4601540
Bianchi Martina 4607848
Indice
- INTRODUZIONE………………………………………………………………………………
- 1.1. L’azienda………………………………………………………………………………….
- INTRODUZIONE………………………………………………………………………………
- ANALISI DELLA RETE EASYJET…………………………………………………………….
- 2.1. Grafo EasyJet…………………………………………………………………………….
- 2.2. Modalità di creazione della matrice di adiacenza………………………………….
- 2.2.1. Analisi a livello di rete…………………………………………………………..
- 2.2.2. Analisi a livello dei sottogruppi………………………………………………..
- 2.2.3. Analisi a livello dei singoli nodi………………………………………………..
- ANALISI DELLA RETE EASYJET…………………………………………………………….
- APPLICAZIONE AD UN CASO PRATICO………………………………………………….
- 2.1. Algoritmo di Kruskal……………………………………………………………………. - 2.1.1. Minimun spanning tree (distanze in Km)…………………………………….. - 2.1.2. Minimun spanning tree (costi aggiornati al 25 maggio 2017)……………..
- 2.2. Algoritmo di Fleury……………………………………………………………………...
- PROJECT MANAGEMENT…………………………………………………………………..
- 3.1. Analisi del progetto, suddivisione in fasi e durata………………………………….
- 3.2. Diagramma di GANTT…………………………………………………………………..
- 3.3. Pert e Stima probabilistica della durata del progetto………………………………
- BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA……………………………………………………………..
- Analisi della rete EasyJet
Il punto di partenza della nostra elaborazione mira a definire la rete di voli EasyJet e a individuare le caratteristiche principali che la contraddistinguono. A tale scopo verrà utilizzata la teoria dei grafi, sviluppando la mappa delle tratte che percorrono gli aerei della flotta EasyJet in tutti gli aeroporti europei dove la compagnia è presente.
2.1. Grafo EasyJet
Il modello matematico che rappresenta una rete è denominato grafo. Sia 𝑉 = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣𝑛} un insieme finito. Consideriamo un insieme 𝐸 di coppie di elementi di 𝑉: si definisce grafo la coppia di insiemi 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Un elemento 𝑣 di 𝑉 è detto nodo o vertice del grafo. Un elemento 𝑒 di 𝐸 è detto lato o spigolo del grafo. In merito alla nostra analisi, il grafo della rete EasyJet (elaborato con Ucinet) è il seguente:
I 100 nodi presenti rappresentano le città in cui la compagnia EasyJet offre il proprio servizio di volo; si tratta di un grafo orientato in quanto non vi è completa reciprocità nei voli di andata e ritorno.
2.2. Modalità di creazione della matrice di adiacenza
Una delle modalità di rappresentazione di un grafo è data dalla matrice di adiacenza. La matrice di adiacenza del grafo 𝐺 è la matrice quadrata binaria 𝑨(𝐺) di ordine 𝑛 i cui elementi sono:
𝑎𝑖𝑗 = {1 𝑠𝑒 (𝑣𝑖, 𝑣𝑗^ ) ∈ Ε 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖
La matrice di adiacenza del grafo EasyJet è stata costruita prendendo in considerazione l’elenco delle rotte europee; una parte della stessa risulta essere la seguente:
𝑨(𝐺) è una matrice: quadrata; binaria; di ordine 100; non simmetrica.
2.2.1. Analisi a livello di rete
L’analisi della rete EasyJet è stata condotta con Ucinet, un software per l'analisi dei dati della rete sociale che consente di effettuare elaborazioni con elevati quantitativi di dati. Il punto di partenza consiste nella definizione di una matrice 1-mode, dopodiché è possibile procedere con l’elaborazione.
Le misure che sono state determinate ai fini dell’analisi a livello di rete sono le seguenti: Densità È il numero delle relazioni presenti all’interno della rete sul totale delle relazioni possibili. Indica la coesione del gruppo. Dall’analisi della densità all’interno della rete EasyJet è risultato che: tra i 100 nodi della rete sono presenti 1508 legami corrispondenti al 15,2% delle relazioni possibili. Ogni nodo ha in media 15,08 contatti diretti all’interno della rete.
Centralizzazione Misura il grado in cui una rete si concentra intorno ad alcuni nodi centrali. Vi sono diverse misure di centralizzazione in base alla misura di centralità analizzata.
Città Indeg nIndeg Londra Gatwick 85 0, Ginevra 63 0, Bristol 56 0, Londra Luton 55 0, Basel-Mulhouse-Freiburg 50 0,
Città Outdeg nOutdeg Londra Gatwick 83 0, Ginevra 62 0, Bristol 57 0, Londra Luton 55 0, Milano Malpensa 52 0,
L’analisi a livello dei singoli nodi si è legata al calcolo delle misure di centralità. Una misura di centralità è una funzione che associa ad ogni vertice 𝑣 ∈ 𝑉 un numero reale non negativo 𝐶(𝑣) chiamato centralità di 𝑣. Si dice che 𝑢 è più centrale di 𝑣 se 𝐶(𝑢) > 𝐶(𝑣). Un nodo 𝑢 è centrale se ∀𝑣 ∈ 𝑉, 𝐶(𝑢) ≥ 𝐶(𝑣). Le misure di centralità che sono state analizzate sono le seguenti: Centralità di grado 𝐶 La degree indica il numero di contatti diretti di un nodo. Viene calcolata nel seguente modo: 𝐶 (𝑣) = (𝑣), ∀𝑣 ∈ 𝑉. Il software Ucinet fornisce anche la centralità di grado normalizzata ottenuta dal numero di contatti diretti di un nodo rapportato al numero massimo di contatti diretti possibili. All’interno della rete EasyJet, dato che i dati sono direzionati, è stato possibile analizzare una misura di in-degree e una di out-degree come segue: L’aeroporto di Londra è raggiunto da voli EasyJet provenienti da 85 altre città europee. Tali 85 nodi rappresentano 85,85% della rete. A seguire Ginevra, Bristol, Londra Luton, Basel -Mulhouse- Freiburg.
L’aeroporto di Londra risulta raggiungere 83 altre città europee con voli EasyJet. Tali 83 nodi rappresentano 83,83% della rete. A seguire Ginevra, Bristol, Londra Luton, Milano Malpensa.
A livello grafico è possibile osservare tali risultati:
Betweenness 𝐶
Misura il numero di volte in cui un nodo è posizionato lungo il percorso geodetico tra diadi. La betweenness si calcola rapportando il numero di cammini minimi che collegano e passando per 𝑣 con il numero di cammini minimi che collegano e : 𝐶 (𝑣) = ∑^
( ) 𝑗 ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑗 ,𝑖
. La normalizzazione di tale misura avviene rapportando la
misura assoluta con (𝑛^1 ), ovvero il numero di cammini minimi in un grafo completo. Il risultato della betweenness all’interno della nostra rete è il seguente: Londra Gatwick è il broker della rete con un valore di betweenness centrality pari a 2666,33. Tale nodo è posizionato lungo il 27,48% dei percorsi geodetici della rete; a seguire Ginevra. A livello grafico è possibile osservare tali risultati:
Closeness 𝐶 È ottenuta come il reciproco della somma delle distanze dal nodo 𝑣 con tutti gli altri: 𝐶 (𝑣) = (^) ∑ (^1) ( , ) , ∀𝑣 ∈ 𝑉. I nodi con closeness più alta possono interagire più facilmente con gli altri nodi della rete. Dall’output derivante da EasyJet emerge che i valori di in-closeness e out-closeness risultano più elevati per Londra Gatwick e Ginevra.
Città Betweenness nBetweenness Londra Gatwick 2666,336914 27, Ginevra 1077,861938 11, Bristol 666,5673218 6, Milano Malpensa 622,7388306 6, Londra Luton 607,3610229 6,
Città InClose InValClo InRecipClo Londra Gatwick 0,876106203 0,952861965 0, Ginevra 0,733333349 0,878787935 0, Bristol 0,673469365 0,838383853 0, Londra Luton 0,678082168 0,84175086 0, Basel-Mulhouse-Freiburg 0,664429545 0,83164984 0,
Dall’analisi possiamo osservare che i nodi principali della rete di Easyjet sono gli aeroporti di Londra
Gatwick e Ginevra. I due nodi infatti corrispondono agli aeroporti con più voli diretti e che si
trovano sulla maggior parte dei cammini minimi che collegano gli altri nodi tra loro.
Altri nodi che possiamo definire strategici nella rete sono Bristol, Londra Luton, Basel -Mulhouse-
Freiburg e Milano Malpensa.
Possiamo concludere che il modello di sviluppo della rete della compagnia aerea è costituito da
alcuni scali dove si concentrano la maggior parte dei voli, si tratta di aeroporti relativi a città che si
trovano principalmente al centro dell’Europa. Con questo modello Easyjet permette di collegare alla
rete aeroporti che altrimenti non sarebbero collegabili a causa di flusso di traffico insufficiente e
ineconomicità nel collegamento diretto.
3.Applicazione ad un caso pratico
3.1. Algoritmo di Kruskal
L’algoritmo di Kruskal è un algoritmo utilizzato per la determinazione di un albero ricoprente di costo minimo (minimum spanning tree).
L’algoritmo può essere così descritto:
- Si scrive una lista con i pesi in ordine crescente;
- Si estrae dalla lista lo spigolo con il peso minore;
- Si estrae un secondo spigolo con peso minore se non forma un ciclo;
- Se lo spigolo forma un ciclo con gli spigoli già estratti, viene scartato;
- Si termina quando si sono raggiunti tutti i nodi del grafo.
In merito a tale algoritmo abbiamo deciso di analizzare un caso pratico relativo a un percorso
turistico: abbiamo considerato il percorso di un turista che vuole visitare alcune delle principali città
europee: Barcellona, Ginevra, Parigi, Berlino, Amsterdam, Londra, Milano e Praga.
Per l’applicazione dell’algoritmo di Kruskal, abbiamo, quindi, costruito un grafo, in cui i nodi
rappresentano le diverse città da visitare e i collegamenti sono le rotte aeree offerte dalla
compagnia EasyJet.
Per aiutare il nostro turista nella pianificazione del viaggio, abbiamo ricercato l’albero coprente di
peso minimo in due casi diversi:
nel primo caso cerchiamo il percorso più breve che consente al viaggiatore di visitare le otto città elencate e quindi il peso dei collegamenti è rappresentato dalle distanze in Kilometri, che separano una città dall’altra. nel secondo, invece, ricerchiamo il percorso più economico e per questo abbiamo analizzato l’albero coprente che minimizzi il costo in Euro dei collegamenti.
3.1.2. Minimun spanning tree
(costi aggiornati al 25
maggio 2017)
Come nel caso precedente, elenchiamo di seguito i diversi lati in ordine crescente di peso e indichiamo con “si” se il lato deve essere considerato e con “no” se il lato viene invece escluso in quanto forma un ciclo.
Lati Costi in Euro Lati da considerare (1) Lati da considerare (2) A-B 62,1 Sì Sì D-G 62,61 Sì Sì C-G 66,89 Sì Sì B-F 67,13 Sì Sì E-F 75,3 Sì Sì A-C / A-D 81,8 A-C A-D C-D 84,57 No No E-H 108,56 Sì Sì B-E 118,16 No No C-F 119,1 No No B-C 147,19 No No F-H 160,23 No No E-G 232,29 No No G-H 238,35 No No F-G 249,89 No No
Possiamo notare che, analizzando i costi delle tratte aeree, non vi è una soluzione unica, ma vi sono due minimum spanning tree; infatti a partire dai lati AC e AD, entrambi di costo 81,8, si diramano due diversi cammini.
Soluzione 1: Soluzione 2:
3.2. Algoritmo di Fleury
L’algoritmo di Fleury trova un cammino euleriano a partire da un vertice arbitrario. Sia 𝐺 = (𝑉, 𝐸) un grafo euleriano, ovvero un grafo che ha un cammino chiuso contenente una e una sola volta tutti i lati di 𝐺 (cammino euleriano), l’algoritmo è il seguente:
- Scegliere un vertice di 𝐺 e chiamarlo 𝑣;
- Dal vertice v scegliere un lato (𝑣, 𝑢) da percorrere che non sia un ponte;
- Cancellare il lato (𝑣, 𝑢) per ricordarsi che non può essere percorso nuovamente;
- Rinominare 𝑣 = 𝑢;
- Ripetere i passi precedenti finché tutti i lati sono stati percorsi. L’algoritmo termina quando si ritorna al vertice iniziale e tutti i lati sono stati percorsi. Per l’applicazione dell’algoritmo ad un caso pratico abbiamo deciso di utilizzare il grafo precedentemente proposto e di renderlo coerente con l’ipotesi di grafo euleriano:
Il nostro obiettivo è quello di minimizzare l’itinerario che permetta al turista di percorrere ogni rotta una volta sola, ripassando eventualmente dalle stesse città. Secondo il Teorema di Eulero, un qualsiasi grafo è percorribile toccando tutti i lati una e una volta sola, se e solo se ha tutti i vertici di grado pari, o due di essi sono di grado dispari; per percorrere un grafo con due vertici di grado dispari, è necessario partire da uno di essi, e si terminerà sull’altro vertice dispari. Il grafo preso in considerazione è semi-euleriano, e i due vertici con grado dispari sono A e H. Per trovare il cammino minimo, quindi il turista comincerà il viaggio partendo da Barcellona (A), e lo concluderà a Praga (H). Partendo da A, allora, percorso che consente di percorrere tutte le rotte una volta sola è:
A - > B - > C - > A - > D - > C - > F - > D - > G - > F - > B - > E - > F - > H - > E - > G - > H
Dall’itinerario trovato, grazie all’applicazione dell’algoritmo, possiamo osservare che il turista tornerà nella stessa città due volte, per ogni città. Infine, aggiungendo un lato A-H, è possibile rendere il grafo di partenza euleriano. Così facendo il turista ha la possibilità tornare al vertice iniziale, Barcellona, alla fine del suo viaggio.
4.Project Management
Nella macro area delle fasi di volo sono comprese: H. Entrata in pista e accelerazione dei motori Dopo le attività D,F,G si può finalmente entrare in pista e in circa 5,20 minuti l’aereo staccherà le ruote da terra per il decollo. I. Sollevamento flap e salita Dopo il decollo inizia una fase delicata: ci si trova ancora in uno spazio aereo ristretto con la presenza anche di altri aerei e bisogna allontanarsi dall’aeroporto seguendo una precisa rotta. Siccome i flap vengono utilizzati per i voli a bassa velocità, man mano che questa aumenta i flap vengono sollevati nuovamente. La durata di questa fase è di quasi 15 minuti. J. Crociera La quota crociera si raggiunge quando l’aereo arriva tra i 25.000 ai 40.000 piedi, che rappresentano 8.500 – 12.000 metri. Per un passeggero è possibile accorgersi di essere a quota crociera in quanto l’aereo è talmente in alto quando che non si riesce più a riconoscere le strade, a terra tutto il paesaggio diventa quasi omogeneo e il rumore dei motori cala leggermente. Abbiamo ipotizzato per la nostra elaborazione che la fase crociera duri 60 minuti, facendo riferimento alle tratte percorse dei voli EasyJet che generalmente non sono di molto lunghe. K. Controllo degli strumenti di bordo È necessario che i comandi e la comunicazione con la torre di controllo funzionino correttamente per evitare in seguito problemi nella discesa e poi nel successivo atterraggio. Si possono impiegare anche 20 minuti per realizzare tali controlli. L. Catering Il catering è il complesso delle operazioni di rifornimento in massa di cibi e bevande pronti che vengono forniti dalla compagnia Easyjet durante la crociera. In generale il servizio di catering dura 20 minuti.
L’ultima macro area, quella comprendente le fasi preparatorie all’atterraggio, include: M. Graduale discesa La discesa è graduale, infatti la torre di controllo raramente dirà ai piloti discendere il più basso possibile. La prima importante quota di cui i piloti tengono conto è a 10.000 piedi. A questa quota infatti la velocità non può superare i 250 nodi, quindi devono per forza rallentare. Dura circa 15 minuti. N. Controllo da parte degli assistenti che tutti i passeggeri abbiano le cinture allacciate Una volta raggiunti i 10.000 piedi, gli assistenti di volo hanno circa 6 minuti per controllare che tutti i passeggeri abbiano la cintura di sicurezza allacciata così che la cabina sia pronta per l’atterraggio. O. Avviso alla torre di controllo ed entrata nello spazio aereo Questa è una fase delicata che dura di solito 7 minuti perché, come per il decollo, ci si trova in un’area ristretta con altri velivoli e bisogna rispettare alla lettera quello che la torre di controllo dice di fare. Verranno date indicazioni di rotta, quota e velocità e i piloti dovranno seguire precise procedure di avvicinamento. P. Abbassamento flap e carrello A bassa quota e bassa velocità i flap verranno abbassati di poco (inizialmente). Successivamente si abbasserà il carrello e anche i flap perché la velocità inizierà a ridursi molto rapidamente. Dopodiché i flap verranno estesi completamente. A questo punto si è sicuramente sopra i 1000 piedi (circa 300 metri) che è l’altezza esatta alla quale l’aereo si deve trovare per essere pronto per l’atterraggio. Queste operazioni avvengono in circa 1,30 minuti.
Q. Atterraggio È la fase del volo in cui l’aeroplano prende contatto con il suolo della pista. Poi frenando l’aereo rallenterà e si fermerà. La durata è di circa 13 minuti.
Dopo l’indicazione delle durate per ogni attività 𝑎𝑖(𝑖 = 1, , … 𝑛) che nel nostro caso sono espresse in minuti, è necessario determinare: il tempo 𝑇𝑚𝑖 in cui l’attività dovrà iniziare al più presto e il tempo 𝑇𝑀𝑖 in cui potrà iniziare al più tardi, senza creare problemi di svolgimento dell’intero progetto, e infine lo scarto 𝑆𝑐𝑖. In particolare:
Il tempo al più presto 𝑇𝑚𝑖 rappresenta quella data in cui 𝑎𝑖 può essere al più presto iniziata, in funzione di ciò che la precede, ricollegandola all’evento di inizio della rete. La formula di calcolo è la seguente:
𝑇𝑚𝑖 = {𝑀𝑎𝑥 (𝑇𝑚𝑗^ +^ 𝑗) 𝑃𝑖^ ≠ ∅ 0 𝑃𝑖 = ∅ Tale formula se applicata al nostro caso, ad esempio per il calcolo del tempo al più presto relativo all’attività H (vedi tabella sottostante), diventa: Predecessori di H sono le attività D, G, F 𝑇𝑚ℎ = 𝑀𝑎𝑥 (𝑇𝑚 + ; 𝑇𝑚 + ; 𝑇𝑚𝑓 + (^) 𝑓) = 𝑀𝑎𝑥 ( 5,5 + 15; 3 ,5 + ; 5,5 + 0,75) = 40,
Il tempo al più tardi 𝑇𝑀𝑖 è la data in cui potrebbe essere potrebbe essere al più tardi iniziata o completata una attività, rispettando la condizione di non causare ritardi nella data finale del progetto. La formula di calcolo è la seguente:
𝑇𝑀𝑖 = {
Tale formula se applicata al nostro caso, ad esempio per il calcolo del tempo al più tardi relativo all’attività C (vedi tabella sottostante), diventa: Successori di C sono le attività D, E, F 𝑇𝑀 = 𝑚𝑖𝑛 (𝑇𝑀 ; 𝑇𝑀 ; 𝑇𝑀𝑓 ) = 𝑚𝑖𝑛 ( 5,5 5; 31,5 5; 39,75 5) = 0,
Lo scarto è dato dalla differenza tra i suddetti tempi, ovvero 𝑆𝑐𝑖 = 𝑇𝑀𝑖 𝑇𝑚𝑖 e rappresenta lo slittamento temporale che l’attività può subire, ovvero l’intervallo entro cui si è liberi di far iniziare l’attività o di farla terminare. Questa specificazione è molto importante, perché aiuta a discriminare le “attività flessibili” nella loro esecuzione dalle attività critiche, ovvero quelle che presentano uno scarto nullo e per le quali un eventuale ritardo causerebbe uno slittamento di tutte le attività successive e quindi della conclusione dell’intero progetto.
Per la rappresentazione grafica della rete di attività abbiamo fatto ricorso al metodo di rappresentazione AON (activity on nodes), dove i nodi rapprendano le attività mentre gli archi sono i vincoli di precedenza; il grafo orientato che ne risulta è il seguente:
Grazie alla identificazione delle attività critiche (quelle con scarto nullo) è stato possibile ricostruire il cammino critico:
Start - > A - > B - > C - > D - > H - > I - > J - > M - > N - > O - > P - > Q
4.2. Diagramma di GANTT
Verrà ora presentato il diagramma di Gantt del progetto attuato, ovvero la rappresentazione grafica delle attività su scala temporale.
ID ATTIVITA' Start Start A
Caricamento caburante e bagagli B Chiusura stiva C
Richiesta alla torre per accendere i motori D Attesa pista libera E Dimostrazione di sicurezza F Abbassamento flap G
Assistenti di volo prendono posto H
Entrata in pista e accellerazione motori I Sollevamento flap e salita J Crociera K
Controllo degli strumenti di bordo L Catering M Graduale discesa N
Controllo assistenti cinture allacciate O
Avviso torre ed entrata nello spazio aereo P Abbassamento flap e carrello Q Atterraggio 20 20,5 25,5 26,3 32,5 34,5 40,5 45,7 60,7 120,7 135,7 140,7 142 148,7 150 163
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