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Appello del 22 gennaio esame +risoluzione
Tipologia: Prove d'esame
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(b) Derivate prime: f (^) x′ = f (^) y′ = −
x + y − 1
(c) Derivate seconde: f (^) xx′′ = f (^) yy′′ = f (^) xy′′ =
(x + y − 1 )^2 Essendo f (^) xx′′ > 0, f (^) yy′′ > 0 e
f (^) xx′′ f (^) yy′′ − ( f (^) xy′′)^2 = 0
concludiamo che f e convessa su` Df.
L λ (x, y) = 2 x^4 + y^4 − λ (x + 4 y − 1 )
e calcoliamo
∇L λ (x, y) = ( 8 x^3 − λ , 4y^3 − 4 λ ) HL λ (x, y) =
24 x^2 0 12 y^2
Dobbiamo risolvere (^)
8 x^3 − λ = 0 y^3 − λ = 0 x + 4 y − 1 = 0 Dalle prime due abbiamo 8x^3 = y^3 , ovvero y = 2 x, che sosituito nella terza da 9 x − 1 = 0, da cui x = 1/9 e y = 2/9. Dunque, (1/9, 2/9) e l’unica candidata soluzione. Notiamo che HL λ non dipende da λ : dunque, non `e necessario il calcolo del moltiplicatore λ (ad ogni modo, dalla seconda equazione verrebbe λ = (2/9)^3 ). Essendo 24 x^2 > 0 12 y^2 > 0 ( 24 x^2 ) · ( 12 y^2 ) − 02 > 0
per ogni (x, y), concludiamo che L λ e convessa su tutto**R**^2 e dunque (1/9, 2/9)e soluzione del problema di minimo.
