DISTRIBUZIONE NORMALE
Lezione 27
Legge dei grandi numeri
Nella letteratura sono stati dati vari teoremi, secondo le ipotesi scelte, della legge dei grandi
numeri che costituiscono una formulazione matematica della legge empirica del caso. Una
formulazione semplice della legge dei grandi numeri è data dal teorema di Bernoulli, detto
anche legge dei grandi numeri nello schema benoulliano.
Teorema di Bernoulli
Se un evento ha probabilità costante p in ogni prova, la probabilità che la frequenza relativa di
n prove differisca, in valore assoluto, dalla probabilità p per meno di un numero ε > 0
arbitrario, tende all’unità al crescere del numero n delle prove.
La legge dei grandi numeri ci permette di affermare che la media che calcoliamo a partire da
un numero sufficiente di campioni sia sufficientemente vicina alla media reale.
Il concetto di «sufficiente» fa diretto riferimento alla probabilità e all’ampiezza campionaria.
Dipende dalla precisione che vogliamo raggiungere con il nostro test: dieci prove ci porteranno
ad avere una stima abbastanza grossolana, con cento potremmo avere una stima più precisa
che aumenta all’aumentare dell’ampiezza.
Quindi, il valore di n (ampiezza campionaria) che siamo disposti ad accettare come sufficiente
dipende dal grado di casualità (probabilità) che riteniamo necessario per la ricerca in
questione.
Un caso particolare di applicazione della legge dei grandi numeri è la previsione probabilistica
della proporzione di successi in una sequenza di n realizzazioni indipendenti di un evento E,
ovvero, la frequenza di E nelle n misurazioni: per n che tende a infinito, la proporzione di
successi converge alla probabilità di E.
In termini generici, per la legge dei grandi numeri si può dire:
• che la media della sequenza è un'approssimazione, che migliora al crescere di n, della media
della distribuzione;
• e che, viceversa, si può prevedere che sequenze siffatte mostreranno una media tanto più
spesso e tanto più precisamente prossima alla media della distribuzione quanto più grande
sarà n.
distribuzione normale
La distribuzione di variabile aleatoria continua più importante, sia per le applicazioni pratiche in
numerosi problemi, sia perché interviene in molti teoremi, è la distribuzione normale o
gaussiana.
Questa distribuzione di probabilità è molto usata in statistica perché molti fenomeni fisici,
biologici, psicologici, economici, ecc., hanno una distribuzione che si può rappresentare con
una distribuzione normale.
Inoltre, la distribuzione binomiale si può approssimare, per n grande, alla distribuzione
normale.
Illustriamo in modo intuitivo come si passa da una distribuzione statistica data mediante classi
ad una distribuzione continua approssimabile ad una curva normale.
Consideriamo un istogramma delle frequenze relative che rappresenti un fenomeno con
distribuzione simmetrica formato, ad esempio, da 7 classi, in modo che la somma delle aree
dei rettangoli valga 1 (essendo frequenze relative) e cerchiamo di “adattare” una curva
continua alla spezzata, come segue nella successiva figura.
La distribuzione normale è definita per qualsiasi valore reale, ossia nell’intervallo illimitato (- ∞,
+ ∞).
Tale funzione dipende da due parametri μ e σ2 che sono proprio:
• μ: valore medio e
• σ2 : varianza
La normale viene indicata con N (μ ; σ2).
