Codifica dei numeri razionali
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Informatica (B015854) ·2016-2017
Laurea triennale in Fisica e Astrofisica
Leonardo Lanzi Codifica dei numeri razionali 1 / 11
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Lezione sulla codifica dei numeri razionali, Appunti di Elementi di Informatica
Slides con spiegazione di come si codifica e dell'utilizzo dei numeri razionali nel linguaggio C
Tipologia: Appunti
2017/2018
1 / 11
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Codifica dei numeri razionali
Leonardo Lanzi – [email protected]
Dipartimento di Fisica e Astronomia
Informatica (B015854) · 2016- Laurea triennale in Fisica e Astrofisica
Numeri razionali
I (^) In un sistema di numerazione in base B la sequenza 0 .c 1 c 2 · · · ck rappresenta il numero frazionario:
c 1 × B−^1 + c 2 × B−^2 + · · · + ck × B−k
I (^) Esempio:
(0.0101) 2 = 0 × 2 −^1 + 1 × 2 −^2 + 0 × 2 −^3 + 1 × 2 −^4 = 0 + 0.25 + 0 + 0.0625 = (0.3125) 10
Se > 1 , (11.101) 2 = 1 × 21 + 1 × 20 + 1 × 2 −^1 + 0 × 2 −2 + 1 × 2 −^3 = 2 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125 = (3.625) 10
Numeri razionali: approssimazione
I (^) La condizione precedente potrebbe non verificarsi mai; in tal caso si ripete il procedimento per un numero prefissato di volte (di bit di codifica). I (^) Esempio: 0.45 × 2 = 0. 0.9 × 2 = 1. 0.8 × 2 = 1. 0.6 × 2 = 1. 0.2 × 2 = 0.4 ...ecc. ⇒ (0.45) 10 ≈ (0.01110) 2
Numeri in virgola mobile / singola e doppia precisione
I (^) La rappresentazione dei numeri in virgola mobile `e in relazione con la notazione scientifica. I (^) L’Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE) ha definito uno standard (IEEE-754) per la rappresentazione in virgola mobile:
- singola precisione: 32 bit (4 byte)
- doppia precisione: 64 bit (8 byte)
Singola precisione: dettagli
I (^) L’esponente di un numero in singola precisione pu`o assumere i valori tra 0 e 255, con la seguente classificazione: Categoria E M Zeri 0 0 Numeri denormalizzati 0 non zero Numeri normalizzati 1 - 254 qualunque Infiniti 255 0 NAN (Not A Number) 255 non zero
Massimo e minimo valore in singola precisione
In questa rappresentazione, I (^) il massimo valore codificabile `e:
∑^23
i=
2 −i^ ) × 2254 −^127 = (1 + 1 − 2 −^23 ) × 2127
≈ 2128 ≈ 3. 402823 × 1038
I (^) il minimo `e:
2 −^23 × 2 −^126 = 2−^149 ≈ 1. 401298 × 10 −^45
Propagazione degli errori di arrotondamento
int main () { int i; int N = 1000000; float s = 0.1; float x = 0; float r = 0; for(i = 0; i < N; i++) { printf("%d %f %f\n", i, (x + s) * 10, 100 * (i - x * 10)/ (i+1)); x = x + s; } return 0; }
Propagazione degli errori di arrotondamento
-0.
-0.
-0.
-0.
0
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000 800000 900000 1e+
Errore relativo [%]
i
Accumulo errore N = 1000000