limiti e continuità, matematica e principi di statistica, Dispense di Statistica

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MATEMATICA

a.a. 2019/

5. LIMITI Definizione, proprietà e calcolo. Limiti di funzioni e asintoti. Continutià

Il campo di esistenza è l’insieme di tutti i punti nei quali la funzione è definita. Se il campo di esistenza D è costituito dall’unione di più intervalli (limitati o illimitati) occorre prendere in considerazione separatamente gli estremi di ognuno di questi intervalli. § Se gli estremi appartengono a D, si calcola semplicemente il valore della funzione in tali punti. § Se invece un estremo, che indicheremo con a, non appartiene a D, si può solo analizzare cosa succede per i valori di f(x) quando x assume valori via via più vicini ad a. In linguaggio matematico, si tratta di determinare il limite di f(x) al tendere di x ad a. Definizione

In simboli: lim ( )

x a

f x

Più esattamente se a è l’estremo sinistro di un intervallo, x va fatto avvicinare ad a da destra, in modo tale cioè che x sia contenuto nell’intervallo in questione. In altre parole, si tratta di determinare il limite destro di f(x), al tendere di x ad a. In simboli: lim ( )

x a

f x

In modo simmetrico, se a è l’estremo destro di un intervallo, si tratta di determinare il limite sinistro di f(x) al tendere di x ad a. In simboli: lim ( )

x a

f x

Nel caso degli estremi «all’infinito» le scritture:

lim ( )

x

f x

®-¥

lim ( )

x

f x

®+¥ hanno rispettivamente il significato di limite destro e di limite sinistro. Definizione

𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 𝒙 − 𝟐 lim *→,- 3𝑥 𝑥 − 2 = 3 lim *→ 1 - 3𝑥 𝑥 − 2 = 3 lim *→ 23 3𝑥 𝑥 − 2 = +∞ lim *→ 26 3𝑥 𝑥 − 2 = −∞

Dalla definizione informale alla definizione formale: le nozioni di intorno e punto di accumulazione Si chiama intorno (di semi-ampiezza r) di un numero reale x 0 l’insieme dei numeri reali x che distano da x 0 meno di r: 𝑁@ 𝑥A = 𝑥 ∈ ℛ: 𝑑 𝑥, 𝑥A < 𝑟 L’intervallo (intorno completo) sarà quindi centrato in x 0 e di semi-ampiezza r Un punto a ∈ R* è punto di accumulazione per l’insieme 𝐴 ⊆ 𝐑 quando ogni suo intorno contiene almeno un punto di A, distinto da a. L’insieme dei punti di accumulazione di un insieme A viene chiamato insieme derivato di A e indicato con 𝐴′. Per l’intervallo reale 𝐼 = 𝑥 ∈ 𝑹: 0 < x ≤ 1 tutti i punti di I sono di accumulazione per I. Anche x=0 che non appartiene a I è di accumulazione, in quanto in ogni suo intorno (anche molto piccolo) c’è un punto di I. L’insieme derivato sarà quindi [0,1].

Sia f: 𝐴 ⊆ 𝐑 → 𝐑 e sia P ∈ 𝐴

R

. Diciamo che il limite di f (per 𝑥 → 𝑃) è

uguale a T, scrivendo

quando, per ogni intorno di T (fissato dunque arbitrariamente), esiste

un intorno di P tale che, per ogni x di A appartenente a tale intorno

(con al più 𝑥 ≠ 𝑃), la sua immagine f(x) appartiene all’intorno di T.

Definizione unitaria di limite lim

𝑓(𝑥) = 𝑇

Dalla definizione informale di limite alla definizione formale: dal generale al particolare Sia f: 𝐴 ⊆ 𝐑 → 𝐑 con x 0 punto di accumulazione per l’insieme A; diciamo che f ammette k come limite, al tendere di x a x 0 : Quando in corrispondenza a un qualsiasi 𝜀 > 0 è possibile individuare un numero r>0 tale che, per ogni 𝑥 ∈ 𝑥A − 𝑟, 𝑥A + 𝑟 , con x≠ 𝑥A, si abbia:

lim

→W

𝑓 𝑥 − 𝑘 < 𝜀 ovvero k − 𝜀 < f 𝑥 < k + 𝜀 I definizione particolare: Limite finito/finito

Dalla definizione informale di limite alla definizione formale: dal generale al particolare Sia f: 𝐴 ⊆ 𝐑 → 𝐑 con x 0 punto di accumulazione per l’insieme A; diciamo che f ammette +∞ (rispettivamente - ∞) come limite, al tendere di x a x 0 : quando in corrispondenza a un qualsiasi M> 0 è possibile individuare un numero r>0 tale che, per ogni 𝑥 ∈ 𝑥A − 𝑟, 𝑥A + 𝑟 , con x≠ 𝑥A, si abbia: lim

→W

𝑓(𝑥) = +∞ 𝑓 𝑥 > 𝑀 rispettivamente f x < −M II definizione particolare: Limite finito/infinito lim

→W

𝑓(𝑥) = −∞

1 f ( ) x x =

1 lim 1 lim

= +¥ = -¥

x

x

x x

« Ti amo come quando x→ 0 » 1 x Adattato da: R.L.Graham – D.E.Knuth – O.Patashnik, Matematica discreta, Hoepli Milano 1992

III definizione particolare: Limite infinito/finito Consideriamo una funzione f definita in un intorno di +∞ (oppure di - ∞). Quando il suo limite per 𝑥 → +∞ 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → −∞ risulta finito: lim *→+- 𝑓(𝑥) = 𝑘 oppure lim *→−- 𝑓(𝑥) = 𝑘 Diremo che il grafico di f ammette la retta di equazione y=k come asintoto orizzontale per 𝑥 → +∞ 𝑜𝑝𝑝𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑒𝑟 𝑥 → −∞. Se i limiti per 𝑥 → +∞ e per 𝑥 → −∞ sono entrambi uguali a k, la retta di equazione y=k è un asintoto orizzontale completo per la funzione f.

ASINTOTO ORIZZONTALE

Studio del comportamento della funzione: ( )

x

f x = e C E. : Â

1. CAMPO DI ESISTENZA 2. SIMMETRIA 3. POSITIVITA’ Né pari né dispari Sempre positiva 4. INCONTRO CON GLI ASSI 0 1 0 0 ì (^) = í î = ì (^) = (^) ì = í í = (^) î = î x x y e MAI y y e^ y x x P 1 =( 0,1)

IV definizione particolare: Limite infinito/infinito Sia f: 𝐴 ⊆ 𝐑 → 𝐑 con A insieme illimitato superiormente (a destra) o inferiormente (a sinistra); diciamo che f ammette limite uguale a +∞ (oppure a

• ∞) al tendere di x a ±∞: quando in corrispondenza a un qualsiasi M> 0 è possibile individuare un numero H> 0 (rispettivamente, ∀𝑥 < −𝐻) si abbia: lim *→±∞ 𝑓(𝑥) = +∞ lim *→±∞ 𝑓(𝑥) = −∞ 𝑓 𝑥 > 𝑀 rispettivamente f x < −M Dalla definizione informale di limite alla definizione formale: dal generale al particolare

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Se per x → 𝑃 la funzione f ammette limite positivo

(negativo), allora esiste un intorno di P (con x≠ 𝑃) in cui f è

positiva (negativa).