Derivate matematica e principi di statistica, Dispense di Statistica

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MATEMATICA

a.a. 2019/

3.a DERIVATE: Definizione e proprietà. Derivate di funzioni. Calcolo delle derivate.

Definizione e proprietà

Fermo restando il punto x 0 , immaginiamo di ripetere la costruzione, in modo tale da scegliere x 0 +h via via più vicino a x 0. Al tendere di x 0 +h a x 0 , il punto P 1 si avvicina al punto P 0 e la retta secante tende ad assumere una posizione limite t, che prende il nome di retta tangente al grafico nel punto P 0. Consideriamo una funzione f: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 e un punto x 0 interno ad A (appartenente all’insieme di definizione della funzione) e sia P 0 = (x 0 , f(x 0 )) il punto di ascissa x 0 appartenente al grafico della funzione. Consideriamo un ulteriore punto 𝑥' + ℎ ∈ 𝐴 sia P 1 = (𝑥' + ℎ, f(𝑥' + ℎ) appartenente al grafico della funzione. I due punti P 0 e P 1 individuano una retta secante al grafico. Definizione Se P 1 tende a P 0 D (^) ( x ) D ( y ) 𝑥' + ℎ f 𝑥' + ℎ

A questo punto dati i due numeri reali 𝑥' 𝑒 𝑥' + ℎ entrambi interni ad A, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a h) la quantità: ,- .

Per completezza, l’equazione della retta secante sarà quindi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 1 0

f x f x y

y x x f x x x f x

x x x

• (^) D

• D Definizione Il rapporto incrementale di f relativo a h è il coefficiente angolare della retta passante per P 0 e P 1 ( coefficiente angolare retta secante ) rappresentando anche la variazione media della funzione f.

Definizione – punto angoloso Una funzione si dice derivabile in un punto 𝑥' quando in tal punto esiste il limite del rapporto incrementale e quindi quando esistono entrambi i limiti del rapporto incrementale (sinistro e destro, per 𝐡 → 𝟎 4 e per 𝐡 → 𝟎 3 ) e sono uguali. Una funzione è pertanto derivabile in 𝑥' quando ammette sia la derivata sinistra 𝑓 4 9 𝑥' sia quella destra 𝑓 3 9 𝑥' e i valori delle due derivate coincidono. Quando tali valori sono invece diversi, si parla di punto angoloso. Una funzione f: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 presenta un punto angoloso in 𝑥' ∈ 𝑖𝑛𝑡𝐴 quando il limite sinistro del rapporto incrementale non è uguale al limite destro lim .→'@

≠ lim .→'B

Definizione La derivabilità è quindi una proprietà più forte della continuità. Si dimostra che le funzioni base già introdotte (polinomi, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche) sono tutte derivabili. Il valore f’(x0) è per definizione la derivata prima di f in x 0. Non è detto che il limite esista finito! In altre parole non è sempre detto che si possa calcolare la variazione istantanea. TEOREMA Siano f: 𝐴 ⊆ 𝑅 → 𝑅 e 𝑥' ∈ 𝐴 un punto del suo insieme di definizione. Se in tal punto f è derivabile, allora è anche continua. Il viceversa del teorema non vale e esistono funzioni continue ma non derivabili. 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑖𝑛 𝑥 = 0 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒

Calcolo di derivate: funzioni algebriche Sia f, la funzione costante f(x)=c per ogni x appartenente ad R. In questo caso il rapporto incrementale, per h≠0 è: Quindi il rapporto incrementale di una funzione costante è sempre nullo, per cui il limite del rapporto incrementale è chiaramente sempre 0. Si è dimostrato quindi che: La derivata di una funzione costante è identicamente nulla. ( ) ( ) (^0) 0 f x h f x (^) c c h h h

• • (^) - = = = f (^) ( x (^) ) º c Þ f ¢( x ) º 0 f (^) ( x (^) ) = 3 f ¢( x )= 0

Calcolo di derivate: funzioni algebriche Sia f, la funzione lineare f(x)=mx+n. In questo caso il rapporto incrementale in x appartenente a R è dato da: In particolare, il rapporto incrementale non dipende da h (né da x) per cui chiaramente ammette limite (finito uguale a m) per h diverso da 0. Quindi: Le funzioni lineari (sono derivabili e) hanno derivata costante, uguale al coefficiente angolare. f (^) ( x h (^) ) f (^) ( x (^) ) m x ( h (^) ) n (^) ( mx n (^) ) mh m h h h

= = = f (^) ( x (^) ) = mx + n Þ f ¢( x (^) )º m f (^) ( x (^) ) = 3 x + 2 f ¢( x )= 3 f (^) ( x (^) ) = 5 x f ¢( x )= 5

La derivata della funzione esponenziale con base e sarà: ¢ é ù (^) = ë û x x e e La funzione esponenziale di base e coincide con la propria derivata. Calcolo di derivate: funzione esponenziale La derivata della funzione esponenziale Applicando la definizione di derivata alla funzione f(x)=ax, si ottiene: ln ¢ é ù (^) = × ë û x x a a a ( ) =^ x f x a

( ) 0 0 0 0 0 lim lim (^1 ) lim lim lim ln

® ® ® ® ®

= = × =

x h x h h x h (^) h x x h h h f x h f x (^) a a f x h h a a (^) a a a a h h Limite notevole 0 1 lim ln + ®

• = Î x x a a a R x

Calcolo di derivate: funzioni logaritmiche

In particolare per a=e si ha che la derivata del logaritmo naturale (base e)

corrisponde a:

La derivata della funzione :

[ ]

ln

x =

x

[ ]

log log

= ×

a a

x e

x

log

a

x

log

P

𝑥 R ln 𝑎

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (^) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) D é^ +^ +^ +^ ù^ -^ é^ + ù^ +^ +^ +^ -^ + ë û ë û = = = D

= + y^ f^ x^ h^ g^ x^ h^ f^ x^ g^ x^ f^ x^ h^ g^ x^ h^ f^ x^ g^ x x h h f x h f x g x h g x h h

¢ (^) ¢ ¢ éë f x + g x ùû = f x + g x DIMOSTRAZIONE. Scriviamo innanzitutto il rapporto incrementale della funzione relativo ad un generico punto x del suo insieme di definizione: Calcolo di derivate: derivata di somma di funzioni TEOREMA Se f e g sono derivabili nel punto x, passando al limite per h ®0 e ricordando che il limite della somma è uguale alla somma dei limiti otteniamo: per definizione di derivata delle funzioni f(x) e g(x) che, per ipotesi, sappiamo essere derivabili. Pertanto: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0

lim lim lim

D ® ® ®

D^ +^ -^ +^ -

x D h h

y^ f^ x^ h^ f^ x^ g^ x^ h^ g^ x

y

x h h

¢ é + ù = ¢^ + ¢ ë f^ x^ g x^ û f^ x^ g^ x

Calcolo di derivate: derivata di somma di funzioni In particolare se g(x)=c, con c costante, derivando la funzione: si otterrà: potendo così affermare che una costante additiva viene eliminata nella derivazione. y = f (^) ( x (^) )+ c y ¢^ = f ¢^ ( x (^) ) + 0 = f ¢( x ) y = 3 x + 5 y ¢ = 3

Calcolo di derivate: funzioni algebriche Per una qualsiasi funzione polinomiale si avrà: ( ) (^ ) 1 1 2 1 1 0 1 1 ... 1 ... n n n n n n n n f a x a x a x a na x n a x a

---

¢ (^) + + + + = + - + + 4 3 2 f ( ) x = x + 3 x + 8 x + 3 x + 2 3 2 f ( ) x = x - 3 x + 4 x - 1 f ¢ ( )^ x =? f ¢ ( )^ x =?

Calcolo di derivate: funzioni algebriche In maniera analoga alla somma, si ricava che: cioè: se f(x) e g(x) sono derivabili in x, anche la funzione y= [f(x)-g(x)] è derivabile in x, e la derivata della differenza è uguale alla differenza delle derivate. 4 2 3 y = 3 x - 2 x y ¢ = 12 x - 4 x ( ) ( ) ( ) ( ) ¢ é - ù = ¢^ - ¢ ë û f x g x f x g x