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Limiti Notevoli
Giuseppe Girardi
28 March 2024
1 Premessa
Il documento contiene un elenco dei limiti notevoli piu significativi, con le loro relative dimostrazioni. Essi svolgono un ruolo fondamentale nel calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata - in quanto quest’ultimi possono spesso essere ricondotti a uno dei casi notevoli gia noti -, oltre che nel calcolo delle derivate fondamentali. Tutti i limiti seguenti si presentano in una delle sette forme indeterminate (+∞−∞, 0 ·∞, ∞ ∞ ,^
0 0 ,^0 (^0) , ∞ (^0) , 1 ∞), che ne rendono il calcolo non immediato. Proprio per questo motivo,
oltre che per imparare ad applicare i risultati trovati al calcolo dei limiti, `e fondamentale conoscere lo loro dimostrazione.
2 Funzioni Goniometriche
I. lim x→ 0 sin x x
Dimostrazione. Per il Teorema dei due carabinieri:
II. lim x→ 0 1 − cos x x
Dimostrazione. La funzione data `e equivalente a: 1 − cos x x
1 − cos x x
1 + cos x 1 + cos x
1 − cos^2 x x (1 + cos x)
Da sin^2 x + cos^2 x = 1 segue che:
xlim→ 0
1 − cos x x = lim x→ 0 sin^2 x x (1 + cos x) = lim x→ 0 sin x x · sin x ·
1 + cos x
Per il limite notevole I. sar`a, dunque:
lim x→ 0 1 − cos x x
III. lim x→ 0 1 − cos x x^2
Dimostrazione. Analogamente al limite II., si avr`a:
lim x→ 0
1 − cos x x^2
= lim x→ 0
sin^2 x x^2 (1 + cos x)
= lim x→ 0
sin x x
1 + cos x
= 1^2 ·
IV. lim x→ 0 tan x x
Dimostrazione. Segue direttamente da I. che:
lim x→ 0 tan x x = lim x→ 0
sin x cos x x = lim x→ 0 sin x x
cos x
3 Funzioni Esponenziali e Logaritmiche
I. Definizione del numero di Eulero: e = lim t→∞
t
t
II. lim x→ 0 (1 + x)
(^1) x = e
Dimostrazione. Il limite notevole `e una definizione alternativa del numero di Eulero, ottenuta da I. ponendo x = (^1) t. Segue che x → 0 =⇒ t → 10 =⇒ t → ∞, da cui:
xlim→ 0 (1 +^ x)^
(^1) x = lim t→∞
t
t = e, x =
t
VI. lim x→ 0
ax^ − 1 x = ln a, (a > 0)
Dimostrazione. Ancor una volta, il limite notevole non e altro che un’estensione del caso V. alla funzione esponenziale di base a qualsiasi. Sara, in questo caso, t = ax^ − 1 ∼ x = loga (1 + t) con x → 0 =⇒ t → 0. Analogamente a V., si ottiene:
xlim→ 0
ax^ − 1 x = lim t→ 0 t loga (1 + t)
lim t→ 0
loga (1 + t) t
loga e
Dove l’ultimo risultato segue dal punto IV.. A questo punto, ricordando la propreit`a logaritmica del cambio di base
logb a = log logcc^ ab
sar`a:
lim x→ 0
ax^ − 1 x
loga e
loga a loga e = loge a = ln a
4 Utilizzo
Come gia accennato, molti limiti in forma indeterminata e quasi la totalita delle derivate fondamentali sono riconducibili ai limiti notevoli qui calcolati. Per quanto riguarda l’utilizzo dei limiti notevoli nel calcolo delle forme indeterminate, e utile notare come i risultati trovati valgano anche quando al posto della classica variabile x dovesse trovarsi una qualsiasi funzione f (x). Ad esempio, oltre a limx→ 0 sinx^ x= 1 vale anche limf (x)→ 0 sin f^ (fx^ ()x )= 1. Infatti, limx→ 69 sin ( x−x− 69 69) puo essere facilmente calcolato ponendo f (x) = x − 69 (da cui x → 69 =⇒ f (x) → 0), riconducendosi cos`ı alla forma limf (x)→ 0 sin f^ (fx^ ()x )= 1. Altri esempi di applicazione al calcolo dei limiti possono essere trovati qui. Per quanto riguarda, invece, l’applicazione alle derivate, i limiti notevoli sono utili per calcolare le derivate di funzioni elementari mediante la loro definizione.
Definizione della derivata di una funzione: f ′(x) = lim h→ 0
f (x + h) − f (x) h Esempi: si calcoli la derivata delle funzioni f (x) = ex, g(x) = ln x ricorrendo alla loro definizione e all’uso dei limiti notevoli.
