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Limiti notevoli, derivate e integrali immediati Docente Marini Claudio, mail: [email protected]
Limiti notevoli
- (^) xlim→ 0
sin x x = 1;^ f (limx)→ 0
sin (f (x)) f (x) = 1.
- lim x→ 0
arcsin x x
= 1; lim f (x)→ 0
arcsin (f (x)) f (x)
- (^) xlim→ 0
tan x x
= 1; lim f (x)→ 0
tan (f (x)) f (x)
- (^) xlim→ 0
arctan x x
= 1; lim f (x)→ 0
arctan (f (x)) f (x)
- (^) xlim→ 0
1 − cos x x^2
; lim f (x)→ 0
1 − cos (f (x)) f 2 (x)
- (^) xlim→ 0
(1 + x)α^ − 1 x
= α; lim f (x)→ 0
(1 + f (x))α^ − 1 f (x)
= α.
- (^) xlim→ 0
ex^ − 1 x
= 1; lim f (x)→ 0
ef^ (x)^ − 1 f (x)
- (^) xlim→ 0
ax^ − 1 x
= ln a; lim f (x)→ 0
af^ (x)^ − 1 f (x)
= ln a.
- (^) xlim→ 0
ln (1 + x) x
= 1, lim f (x)→ 0
ln (1 + f (x)) f (x)
- (^) xlim→ 0
loga (1 + x) x
ln a
; lim f (x)→ 0
loga (1 + f (x)) f (x)
ln a
- (^) xlim→ 0 (1 + x)
(^1) x = e; lim f (x)→ 0
(1 + f (x)) f (^1 x) = e.
- (^) xlim→∞
x
)x = e; lim f (x)→∞
f (x)
)f (x) = e.
- (^) xlim→∞
x
)x
e
; lim f (x)→∞
f (x)
)f (x)
e
- (^) xlim→∞
a x
)x = ea; lim f (x)→∞
a f (x)
)f (x) = ea.
- (^) xlim→∞
a x
)x
ea^ ;^ f (xlim)→∞
a f (x)
)f (x)
ea^.
Derivate delle funzioni elementari
- D(c) = 0;
- D(xα) = αxα−^1 ; D([f (x)]α) = D(f (x))α[f (x)]α−^1.
3. D(
x) =
x ;^ D(
f (x)) =
D(f (x)) 2
f (x)
- D( n
x) =
n n
xn−^1
; D( n
f (x)) =
D(f (x)) n n
[f (x)]n−^1
5. D
x
x^2 ;^ D
f (x)
D(f (x)) [f (x)]^2.
- D(ex) = ex; D(ef^ (x)) = D(f (x))ef^ (x).
- D(ax) = ax^ ln a; D(af^ (x)) = D(f (x))af^ (x).
- D(ln x) =
x
; D(ln (f (x))) =
D(f (x)) f (x)
- D(cos x) = − sin x; D(cos (f (x))) = −D(f (x)) sin (f (x)).
- D(sin x) = cos x; D(sin (f (x))) = D(f (x)) cos (f (x)).
- D(tan x) =
cos^2 x
= 1 + tan^2 x; D(tan (f (x)) =
D(f (x)) cos^2 (f (x))
- D(cot x) = −
sin^2 x
; D(cot (f (x)) = −
D(f (x)) sin^2 (f (x))
- D(arcsin x) =
√^1
1 − x^2
; D(arcsin (f (x))) = √D(f^ (x)) 1 − f 2 (x)
- D(arccos x) = −
1 − x^2
; arccos (f (x)) = −
D(f (x)) √ 1 − [f (x)]^2
- D(arctan x) =
1 + x^2 ;^ D(arctan (f^ (x))) =^
D(f (x)) 1 + [f (x)]^2.
Regole di derivazione
- Somma di funzioni: D(f + g) = D(f ) + D(g).
- Prodotto per una costante: D(kf ) = kD(f ), dove k ∈ R.
- Prodotto di funzioni: D(f · g) = D(f ) · g + f · D(g).
- Rapporto di funzioni: D
f g
D(f )g − f D(g) g^2.
- Reciproco di una funzione: D
f
D(f ) f 2
- Composizione di funzioni: D(f ◦ g) = D(f (g)) · D(g).
Tecniche di integrazione
- Integrazione per sostituzione:
f (x) dx =
f (g(t)) · D(g(t)) dt.
- Integrazione per parti:
u(x) · D(v(x)) dx = u(x) · v(x) −
D(u(x)) · v(x) dx.
